“小游戏”有“大学问”

臧楠楠

摘要：发展学生的應用意识，需要关注“学以致用”和“用以促学”的关系。“学以致用”讲的是先学而后以致用;“用以促学”讲的是在反复应用中促进更深刻的学习，从而达到“学用相长”的效果。特级教师王凌在学生已经学习了“和与积的奇偶性”的基础上，创造性地运用教材，把学生应用意识的培养贯穿在整个教学过程中，促使学生在反复应用“和与积的奇偶性”的过程中，逐渐提升运算技能和思维能力。

关键词：数学游戏应用意识《结果为0的秘密》

弗赖登塔尔指出：“数学根植于现实，在现实中成长，最终应用于现实。”培养学生的数学应用意识是数学课标中明确提出的要求。要发展学生的应用意识，需要让学生所学的数学知识有用武之地。不同版本的小学数学教材除了编排解决简单的实际问题与综合实践活动之外，也都有所拓展，如苏教版的《动手做》栏目与人教版的《数学广角》栏目，都提供了有趣的数学问题，让学生依据所学的数学知识开展探索。教师应在发展学生数学应用意识上有所建树，可结合教学内容开发相应的学习素材，真正让学生在做中学，学后用，学用结合。

近日，听了特级教师王凌执教的《结果为0的秘密》一课，感触颇深。王老师在学生学习了“和与积的奇偶性”之后，进一步引导学生应用和与积的奇偶性去破解“结果为0的秘密”，在游戏中发展学生的应用意识，提升学生的数学学力。

一、教学过程

（一）游戏引入，渗透分类思想

1.简单算式引入。

师今天我们来玩一个数学游戏，游戏的名称叫作“结果为0的秘密”。

（教师出示题目：不改变数的顺序，在算式“1□2□3□4=0”的□中填上“+”或者“-”，使算式成立。学生尝试后展示做法。）

生1-2-3+4=0。

师这里的“1-2”不好算呀？

生先算1+4=5，再算2+3=5。

（教师同步板书。）

师这样，数就自然分成了2类：加的一类，减的一类。这里，1+4=5，2+3=5，5和5相等，抵消为0。这用的其实就是“搭小桥”的方法。

生我用的是求和的方法，我先算1+2+3+4=10，10÷2=5，那就表示要加上5，也要减去5。

引入新课的第一道题，选材精当，填写符号的方法唯一，数的量少，便于学生探究。同时，唯一的填法有助于学生将其合理分类，为后续自主想到将更多数字分成和相等的两部分做铺垫。这里，教师还注意引导学生勾连已有的学习经验——“搭小桥”的方法。

2.提高游戏难度。

（教师出示题目：不改变数的顺序，在算式“1□2□3□4□5□6□7□8=0”的□中填上“+”或者“-”，使算式成立。学生尝试后展示做法，主要有“搭小桥”和“分成相等的两部分”两种方法，如图1、图2。）

师我们来看看对不对，要算两个括号吗？

生算出一个括号是18，另一个括号肯定也是18。

师看来填符号的方法很多，不管是用什么方法，都把这8个数自然地分成了2类：填加号的一类，填减号的一类。

面对难度升级的题目，多数学生不再毫无方向地尝试，而是进一步熟悉“分成相等的两部分”的方法，部分学生还会想到先求和的方法。每个学生都在各自的“最近发展区”有所提升。

（二）延伸探究，引发数学猜想

1.“无解”的难题。

师有了前面的经验，我们来填一填：1□2□3□4□5=0。

（有些学生选择“搭小桥”的方法，失败后就一直靠碰运气在尝试;有些学生用求和的方法很快就发现本题“无解”。）

生我不用填就知道不行，因为1+2+3+4+5=15，15÷2=7.5，不能分成相等的两个整数，所以不行。

（其他学生恍然大悟，纷纷鼓掌。）

师看来要使结果等于0，必须能够分成相等的两个整数。判断行不行，我们得用“求和”的方法，如果不行，“搭小桥”就没有作用了。

借助一个“无解”的难题，巧妙地把学生对“算法”的关注，聚焦到本节课的核心——分成相等的两部分。

2.引发数学猜想。

师（出示下页图3）同学们，观察这三个例子，你有什么发现？

生我发现它们都是从1开始的连续自然数。

生我发现只要是双数结尾的就行，比如“1—4”和“1—8”，结果就可以为0;单数结尾的就不行，比如“1—5”。

（很多学生表示赞同。）

师这是一个有趣的猜想！要看猜想是否成立，我们还需要想办法加以验证，你打算怎样验证呢？

（学生表示可以举例，先独立举例验证后汇报交流。）

生我不同意他的发现。“1—2”也是双数结尾，结果无法为0;“1—3”是单数结尾，1+2-3=0;“1—6”也是双数结尾，它们的和是21，也不行。

（其他学生纷纷点头表示赞同。）

生我发现不管是哪道题，我们都应该先求和来判断结果能不能为0，不然做的就没有意义了。

师大家都好厉害啊，敢于去猜想，更懂得用举例子的方法去验证猜想！结果能不能为0，与结尾是单数和双数无关，那到底看什么？

生应该判断和的奇偶性，如果和是偶数，就可以分成相等的两部分，抵消为0;如果和为奇数，就不能分成相等的两部分。

（教师引导学生检验黑板上的例子。）

师那“1—7”行不行呢？

（学生尝试后呈现如图4—图6的3种填法。）

师谁来说一说填符号的方法是什么？

生先求和;然后找和的一半，是14;接着，把要加的数凑出14，其他的数前面填减号就行了。

回顾以往的公开课，学生提出的猜想都是正确且趋同的——这可能也是小学生往往缺乏验证意识的一个原因。真实的猜想一定是有对有错的。这组素材，既有利于学生观察比较，提出猜想，也便于通过验证猜想，进一步体会验证的重要性。这就可以很好地帮助学生养成科学思维，将批判精神和求真意识融入数学学习中。学生在丰富的素材中进一步弱化了对“算法”的关注，聚焦核心知识“分成相等的两部分”。

（三）反复应用，丰富解题路径

师“1—7”和“1—8”都做过了，那“1—9”行不行呢？

生肯定不行，“1—8”行，说明和是偶数，再加1个9，和就是奇数了不行。

师那“1—10”行不行？

生不行，“1—9”和是奇数，再加1个10，和还是奇数。

师“1—11”行不行？

生行，“1—10”和是奇数，再加1个11，奇数加奇数，和是偶数。

师大家填填看。

（学生汇报多种填法。）

生我有发现，算式结果为0总是2个行2个不行这样交替出现的。

生我来补充：不行的情况肯定是和为奇数，如果后面再来的一个数是奇数，奇数+奇数=偶数，就行;接着再来一个数那就是偶数，偶数+偶数=偶数，比如“1—6”的和是21，为奇数，那么它后面再来一个7也可以，再来一个8还是可以。

生其实这种2个行2个不行的规律，还是由于和的奇偶性导致的，因为奇数个奇数的和还是奇数，偶数个奇数的和才是偶数。

师真厉害！原来和的奇偶性的知识在解密这个数学游戏时有这么大的作用，我们只要综合运用和的奇偶性的知识，就能很快判断出结果是否为0了。今年是2020年，“1—2020”行不行？

生我是用求和公式算的，（1+2020）×2020÷2=2021×2020÷2=2041210，结果是偶数，可以为0。

生我觉得不需要完全算出来。2021是奇数，2020是偶数，在乘法算式中，偶数乘奇数，结果还是偶数，所以“1—2020”的和一定是偶數。

师又用到了积的奇偶性判断。那么去年呢，“1—2019”行不行？

生行，“1—2020”行，说明和是偶数，“1—2019”比“1—2020”只少了一个2020，偶数减偶数还是偶数，所以“1—2019”的和一定也是偶数。

生我们可以看“1—2019”里面奇数的个数，它一定是奇数多一个的——1010个奇数和1009个偶数，奇数的个数是偶数，和一定是偶数。

生也可以用求和公式，（1+2019）×2019÷2=2020×2019÷2=1010×2019，结果一定是偶数。

课堂因生成而精彩。在这个教学片段中，教师真正做到了将儿童“归还”到课堂中央，学生在这种自由对话中完成提炼、概括，规律背后的本质内核越辨越明。经过这样的过程，学生不仅深化了对“结果为0的秘密”的认识，也提升了思维能力。教师在其中只是一位观望者，也表明充分放手才能聆听到学生谱写出的自由快乐的乐章。

（四）回顾反思，感受数学方法

师现在你知道“结果为0的秘密”了吗？

生用的就是书上的和与积的奇偶性，这些数相加的和是偶数就行，和是奇数就不行。

师这节课，你有什么收获吗？

生书本上学习的方法我们要灵活应用。

生我们研究问题时，要先从简单的想起。

生复杂的问题，我们可以运用分类的方法。

生当我们有了猜想要去验证时，如果不能严谨地推理证明，可以尝试举例子。

课末，教师引领学生回顾反思，帮助学生体验探究带来的成就感的同时，进一步巩固、加强数学应用意识。原来，探究课依然可以“有法可依”。

二、几点感悟

王凌老师将数学游戏开发成一节应用数学知识开展数学探究的活动课，它有这样几个明显的特征：首先，游戏任务在开始时是没有一个可预料的、预演好的方法或路径可借鉴的;其次，要求学生探索和理解数学观念、过程和关系的本质;再次，要求学生对自己的认知过程进行自我调控，真正学会猜想;最后，要求学生启用相关知识和经验，并在任务完成过程中恰当使用，发展应用意识。

这节课的重点在于引导学生寻找问题内隐的数学结构。《结果为0的秘密》是一节典型的“做数学”课例，它源于课本又生长出课本外。学生已经学习了“和与积的奇偶性”，如何让课本内的“奇偶性”与课外的巧填符号“做数学”实现更好的对接和应用？学生是否可以自己寻找到问题内隐的数学结构，在认知过程中不断自我调控，探得“结果为0的秘密”的有效路径？本节课教学亮点纷呈，集中体现为以下三点：

（一）经验先行，让新旧知识对接有意义

教师在教学中要关注学生的认知起点，以便帮助他们更好地将新知纳入到原有的知识体系中去。那么，本节课的学生认知起点在哪里？王老师这样理解：其一，学生明白结果为0就是要填加号的数字和与填减号的数字的和相等;其二，学生在混合运算的学习中已经充分掌握类似于“1+3-4+5-6=1+3+5-4-6”这样“带着符号搬家”的运算技巧;其三，学生知道和的奇偶性与积的奇偶性的判别方式。

基于这样的理解，王老师设计了在学生经验基础上，运用计算技巧让新知自然生长的教学思路。教学中，王老师紧紧抓住了“递等式”这个“脚手架”，一次次让学生感受不同题组结果为0都是分成相等的两部分的数学现实。当探寻出“结果为0的秘密”时，学生自然产生了对和的奇偶性的判断需求。连续自然数求和，这里既可以数形结合巧妙地勾连梯形面积公式，也可以看奇数的个数，还可以用积的奇偶性找求和公式中的偶数。学生一系列的已有知识经验就像一颗颗种子，在动脑想、动手做、动口说中开出了美丽的花朵。

（二）问题驱动，让新知创生有意义

本节课的新知生长处为“分成相等的两部分”，于是，王老师紧紧抓住“1—4”和“1—8”两个问题的解题经验，再以“1—5怎么填”这一问题杀了一个回马枪。此时，学生用已有的知识储备解决“1—5”遇到了瓶颈：“搭小桥”方法失灵了。学生在观察、比较中感受到：“搭小桥”只是一种方式，结果能不能为0还是得看能不能分成相等的两部分。

提出问题“观察（‘1—4‘1—8和‘1—5）这三个例子，你有什么发现？”后，教师放手让学生去说、去思辨。这其实就是已有经验在生长处所经历的荆棘和坎坷，越是磨砺越是美丽。因为有这样的生长点，所有错误的猜想都可以在举反例中“夭折”，比如1+2-3，它不满足奇数结尾，但是只要保证“分成相等的两部分”，就可以使结果为0;因为有这样的生长点，才让原有经验“先破后立”成为可能，“1—5”不行的实质是不能分成相等的两部分，学生在看到“分成相等的两部分”表象的同时，深刻理解了内在的本质“和为偶数”，进一步实现了有意义的知识创生。

（三）道理解读，让秘密看破不说破

“结果为0的秘密”其实不止1个“秘密”：（1）当数的个数是4的倍数或数的个数除以4余数为3时，结果一定可以为0;（2）当和为偶数时，结果一定可以为0。二者是从特殊到一般的关系，前者是后者的表象，后者可以用来解释前者。二者的关系是应该“捅破”还是应该“淡化”？显然，王老师的做法是淡化，学生在“1—4”和“1—8”这两组题目中用的“搭小桥”的方法，其实就是在潜移默化地运用每4个一组抵消为0，在一组一组中分成相等的两部分。在填写“1—8”时，王老师特意把学生的不同思考成果呈现在黑板上，其实也是进一步让学生明确：“搭小桥”的方法必定会使数的个数分成相等的两份，4个填加号，4个填减号。但有一个学生的方法却是5个数填加号，3个数填减号，在一题多解中揭示了分成相等的两部分指的是“和”而不是“数的个数”，当学生遇到“1—5”“搭小桥”遇到困难时自然会选择求和的判断方法。学生逐渐感受到“求和”的合理性以及什么时候“搭小桥”、什么时候求和的关系转变为“手段和依据”。

发展学生的应用意识，需要关注“学以致用”和“用以促学”的关系。“学以致用”讲的是先学而后以致用;“用以促学”讲的是在反复应用中促进更深刻的学习，从而达到“学用相长”的效果。王老师在学生已经学习了“和与积的奇偶性”的基础上，创造性地运用教材，把学生应用意识的培养贯穿在整个教学过程中。学生在反复应用和与积的奇偶性的过程中，逐渐提升运算技能和思维能力。整堂课，王老师创设的民主开放的教学氛围，也是学生在“做数学”中体会数学的应用价值、提高自身应用意识的一大利器。诊断有道