SVM颗粒运动形态及其能量耗散的预测分析

徐志凯，尹忠俊，韩 天

(北京科技大学 机械工程学院，北京 100083)

0 引 言

颗粒阻尼(NOPD)技术是一种将一定数量的金属或非金属颗粒填充在振动结构体中，利用颗粒与颗粒以及颗粒与阻尼器内壁之间的碰撞及摩擦来消耗振动体能量的被动控制技术[1]，由于具有结构简单、减振效果好等优点，广泛应用于航空航天、机械工程以及土木建筑等领域[2]。

随着NOPD技术应用领域的不断拓宽，如何使阻尼器减振效果达到最大化已成为众多学者研究的方向[3]。目前，绝大多数学者都是通过实验或者仿真来研究颗粒系统能量耗散的变化规律，由于实验成本高，仿真周期长，很难连续、快速地对其进行追踪和分析。因此，如何建立有效的NOPD预测模型，用适当的研究方法实现颗粒系统能量耗散的定量预估就成为颗粒阻尼技术工程应用中的难点和急需解决的问题。

Veeramuthuvel等[4-5]将BP和RBF两种神经网络应用于铝合金梁结构颗粒阻尼特性的预测，探究了阻尼器参数与阻尼因子之间的非线性关系；李来强等[6-7]利用改进的BP神经网络算法对颗粒碰撞振动阻尼进行了预测，获得了颗粒粒度、颗粒填充率和系统阻尼之间的关系；夏兆旺等[8]则采用支持向量回归机的方法对悬臂梁减振结构的阻尼特性进行了预测。由于颗粒阻尼属于开放性的复杂系统，在不同的激振条件下会表现出不同的运动形态，消耗的系统能量也是千差万别，为了获取颗粒运动形态及其能量耗散与激振条件之间的非线性关系，本文引入了基于结构风险最小化理论的支持向量机方法[9-10]。作为一种常用的非线性建模方法，支持向量机(SVM)很好地解决了以往困扰很多学习方法的小样本、非线性、过学习、高维数、局部极小点等实际问题，具有很强的推广能力，是目前针对小样本分类、回归等最常采用的方法。

本文以仿真获取的有限数据样本为研究对象，采用基于GS方法优化的SVM建立了颗粒运动形态及其能量损耗的分类和回归预测模型，并通过预测模型揭示了颗粒系统在不同激振条件时的能量耗散的变化规律。

1 SVM非线性模型原理

1.1 SVM原理

SVM解决非线性问题的基本思想是：定义最优线性超平面，并把寻找最优线性超平面的算法归结为求解一个凸规划问题。进而基于Mercer核展开定理，通过非线性映射φ，把样本空间映射到一个高维的特征空间(Hilbert空间)，使在特征空间中可以应用线性学习机的方法解决样本空间中的高度非线性分类和回归等问题。

SVM基本模型[11]的实质是定义在特征空间上间隔最大的二值分类器。为了充分利用SVM二值分类的泛化能力，本文采用一对多分类策略[12]把颗粒运动形态多分类的问题转化为多个二值分类问题。对于颗粒运动形态的分类，必须解决以下优化问题:

(1)

式中:(xi,yi)是学习样本;xi,xj∈Rd表示特征向量;yi,yj∈R={-1,1}表示样本标签;n为训练样本的数量;αi,αj为拉格朗日乘子;C为惩罚系数，表示对超出误差样本的惩罚程度;K(xi,xj)=φ(xi)·φ(xj)为将低维空间中的训练样本通过SVMφ转化到高维特征空间的核函数。

结合KKT互补条件，求解上述的二次规划问题，最终构造的SVM分类函数为

f(x)=sgn(x)=

(2)

为了解决回归拟合的问题，在SVM分类的基础上引入ε不敏感损失函数，构造了支持向量回归机，其基本思想是寻求一个最优线性超平面使得所有训练样本离该最优线性超平面的误差最小。对于颗粒系统能量损耗的回归预测，必须解决如下的二次规划问题:

(3)

仿照分类问题的求解思路解决上述优化问题，最终构造的支持向量机回归函数为

(4)

式中:α=(α1,α2,…,αi,…,αn)T表示拉格朗日乘子的最优解向量;ε表示对回归函数的误差要求，ε越小表示回归函数的误差越小。

1.2 基于网格搜索法优化SVM参数

研究SVM的最优参数发现,惩罚系数c和核函数宽度g对预测模型的准确性具有重大影响[13]，所以如何优化SVM参数就显得尤为重要，参数c和g的取值需要根据颗粒运动形态及其能量耗散的仿真数据进行分析与筛选。由于分类机与回归机的参数优化过程极其相似，所以本文仅对支持向量分类机的参数优化过程加以介绍。

本文采用GS[14]对(c,g)进行参数寻优，该方法能够高效地在规定的取值范围内寻得最优值。为了避免系统误差给(c,g)的寻优结果带来不利影响，还采用了5重交叉验证法，即每次取1/5的样本作为测试集，4/5的样本作为训练集，并以分类正确率(Accuracy)判断是否获得最佳参数。图1为参数(c,g)的寻优流程，图2为基于网格搜索法优化支持向量机的颗粒运动形态及其能量耗散的预测分析的流程。

图1 参数(c,g)的寻优流程

图2 颗粒运动形态及其能量耗散预测分析流程

2 颗粒运动形态及其能量耗散预测模型

2.1 仿真模型建立

基于离散单元法建立的颗粒阻尼器的DEM仿真模型如图3所示，将500颗直径为3.5 mm的钢质圆球填充在密闭的圆柱形有机玻璃容器(D×H=φ26 mm×78 mm)内，仿真中涉及的相关参数来源于参考文献[15]中已被验证的模型。给阻尼器施加竖直方向的正弦激励，其激振频率f为15～90 Hz，激振加速度Γ为1～30g。

2.2 颗粒运动形态及其耗能分析

通过仿真分析发现，在竖直激振条件下，阻尼器内的颗粒会呈现类固态、局部流化、全局流化、蹦床、对流、莱顿弗罗斯特效应(莱氏效应)以及浮力对流7种运动形态[3]，具体的运动形态如图4所示。

图3 DEM颗粒阻尼仿真模型

(a) 类固态

(b) 局部流化

(c) 全局流化

(d) 蹦床

(e) 对流

(f) 莱氏效应

(g) 浮力对流

当容器内的颗粒与颗粒以及颗粒与容器内壁之间没有发生相对运动时，颗粒系统表现为类固态(见图4(a))，此时，整个阻尼器的减振效果仅相当于一个附加质量块，所以其能量损耗几乎为零。

当观察到阻尼器中底部颗粒未发生相对运动，而顶部颗粒层中部分颗粒产生轻微运动时，颗粒系统就处于局部流化状态(见图4(b))；随着这种运动扩散至阻尼器内的所有颗粒层时，颗粒系统整体上进入了全局流化的状态(见图4(c))。此时，颗粒之间以及颗粒与阻尼器内壁之间碰撞次数的急剧增加会使系统耗散的能量出现大幅度的提升。

蹦床状态(见图4(d))出现时，阻尼器内的颗粒以整体的方式进行上下周期往复运动，除上层少许颗粒发生流化现象外，其余颗粒之间几乎无相对运动。由于此时产生的倍周期分岔现象不利于系统减振[16]，所以蹦床状态下的能量损耗往往维持在一个较低的水平。

发生对流现象(见图4(e))时，颗粒间不但会产生剧烈的相对运动，而且不同层间的颗粒还会出现互换位置的现象。由于颗粒系统的方向发生了周期性变化进而增加了颗粒碰撞的可能性，所以系统损耗的能量往往比全局流化状态时略大一点。

莱氏效应(见图4(f))表现为阻尼器底部稀疏的颗粒层发生剧烈的振荡，像蒸汽一样托起一簇具有六角密排结构的密集颗粒簇，它会以较低的速度在初始位置附近来回浮动。由于使颗粒簇悬浮时需要消耗额外的能量，所以颗粒系统耗散的能量会出现较大的提升。

浮力对流(见图4(g))除了会出现莱氏效应现象之外，还会在悬浮的颗粒层中产生对流运动，因而被视为莱氏效应与对流现象的叠加。因为悬浮层中的颗粒发生对流时需要消耗额外的能量，所以浮力对流状态下的系统能量损耗往往要高于莱氏效应。

进一步研究发现，不同的激振条件会使颗粒表现出不同的运动形态，由于不同运动形态下的颗粒系统的耗能方式各不相同，从而导致系统的能量损耗也是千差万别。分析仿真数据发现，激振频率与激振加速度在不同区域时对颗粒系统的运动形态及其能量耗散的影响程度不一样，即两者之间存在着某种多元强非线性关系。为了准确地表征这种非线性关系，建立一个精确的颗粒系统运动形态分类预测模型与能量损耗回归预测模型对在工程应用中及时掌握颗粒系统能量耗散变化规律并实现定量预估具有非常重要的意义。

2.3 分类与回归预测模型

颗粒系统运动形态及其能量损耗与激振条件之间的函数关系如下:

Y=F(x)=F(f,Γ,…)

(5)

式中:f为激振频率;Γ为激振加速度。对于分类问题，Y为颗粒呈现类固态、局部流化、全局流化、蹦床、对流、莱氏效应、浮力对流时对应的标签号1～7；对于回归问题，Y为衡量系统能量耗散的损耗因子。

按照颗粒系统仿真时表现出的运动形态，将每一种激振条件xi=(f,Γ,…)作为SVM的输入向量，将颗粒运动形态标签号或者损耗因子yi作为输出向量，组成(xi,yi)的学习样本。将学习样本随机分成训练集与测试集，利用SVM对训练集进行训练并建立颗粒运动形态的分类预测模型以及能量损耗的回归预测模型，通过测试集对训练模型的准确性加以验证，其模型结构如图5所示。

图5 颗粒运动形态或能量损耗预测模型

3 颗粒运动形态及其能量耗散预测分析

3.1 样本分类及处理

选取上节基于离散单元法的1 829组仿真数据作为学习样本，影响颗粒运动形态及其能量损耗的因素考虑f和Γ。仿真时的激振频率为15～90 Hz，间隔为2.5 Hz；激振加速度为1～30g，间隔为0.5g，图6给出了颗粒运动形态及其损耗因子的部分数据分布。为了避免人为因素对预测模型的准确率造成干扰，采用随机选择的方式对学习样本进行分类。其中训练样本为1 600组，测试样本为229组，训练集与测试集中7种不同的颗粒运动形态的样本数量统计如表1所示。为了减少计算的复杂性并准确地选择SVM的参数，本文选用了高斯径向基(RBF)核函数，并对学习样本进行了归一化预处理，归一化的区间为[-1,1]。

(a) 颗粒运动形态

(b) 损耗因子

表1 训练集和测试集样本分类

颗粒运动形态及标签号类固态局部流化全局流化蹦床对流莱氏效应浮力对流训练集样本数2918158322726327290测试集样本数227762746447

3.2 预测模型优化与检验

在使用SVM对颗粒运动形态进行分类以及对系统能量损耗进行拟合时，本文选用网格搜索法对参数c和g进行优化。其中，c和g的搜索范围均为[2-8,210]，步长均为2-0.5，K=5，将颗粒运动形态与损耗因子的训练样本分别代入式(2)与(4)中，然后计算每组(c,g)对应的Accuracy与回归均方差(MSE)，进而获得最优(c,g)组合。最佳分类对应的c=256,g=27.857 6，其Accuracy高达96.31%；最佳拟合对应的c=2.828 4,g=362.038 7,其MSE低至0.024 7。

依据颗粒运动形态分类结果，图7给出了229个测试样本的可视化混淆矩阵图，混淆矩阵的每一列表示颗粒运动形态的预测类别；每一行代表其真实类别。由混淆矩阵计算得到颗粒呈现类固态、局部流化、全局流化、蹦床、对流、莱氏效应、浮力对流时的分类精确率分别为：1、1、0.934 2、0.963 0、0.872 3、0.666 7、1；召回率分别为：1、1、0.934 2、0.963 0、0.891 3、0.5、1；综合评价指标分别为：1、1、0.934 2、0.963 0、0.881 7、0.571 4、1。由于各个类别的分类精确率、召回率和综合评价指标在[0,1]范围内均取得了较大值，由此可见，基于网格搜索法的支持向量机在对颗粒运动形态分类时取得了十分理想的预测效果。

图7 可视化分类效果

图8(a)和图8(b)分别为测试样本损耗因子预测值与真实值的对比与损耗因子预测值的误差分布。从图中可以看出，测试样本损耗因子的预测值与真实值高度吻合，其相对误差主要分布在[0,0.01]。由此表明，基于支持向量机的颗粒系统能量损耗回归预测模型不但具有很强的推广泛化能力，而且能够准确地表达系统能量损耗与激振条件之间的非线性关系。

(a) 预测—真实结果对比

(b) 预测结果相对误差

3.3 颗粒运动形态及其能量耗散预测分析

为了快速地对颗粒运动形态及其能量损耗实现准确预估进而实现阻尼效果最大化，本文利用上述建立的SVM预测模型，构建了如图9所示的颗粒运动形态分布云图与损耗因子曲面图。

(a) 颗粒运动形态预测分布

(b) 损耗因子预测数值

从图中可以看出,当激振加速度小于1g时，颗粒系统在整个研究的激振频率范围内均表现为类固态，此时系统的损耗因子几乎为零，颗粒阻尼器并未发挥阻尼效果。

随着激振加速度幅值的增大，颗粒的运动形态逐渐向局部流化和全局流化发生转变，此时系统的损耗因子呈现线性增长的趋势。当激振加速度增加到3.4g时，系统的损耗因子均达到了流化状态下的峰值，其峰值集中在[0.37,0.59]。继续增加激振加速度至5.3g时，颗粒运动突破了固体流化状态而进入了气体流化状态，此时颗粒间的相互摩擦作用将随激振加速度的增大而迅速减小,于是损耗因子就呈现快速下降的趋势，最小的损耗因子低至0.065，由预测模型得到的损耗因子的变化规律与文献[17]中研究的结果高度吻合。

当激振加速度增加至10g左右时，颗粒系统逐渐出现了对流现象。此时，颗粒间不但会产生强烈的相对运动，而且不同层间的颗粒还会互换位置，因此，系统的损耗因子会较气体流化状态时有一个较大的提升，其损耗因子的峰值将在激振加速度到达7.2g左右时出现，约为0.21。

当激振加速度低于22g时，由于此时的颗粒系统运动程度很低，而且相对运动很差，致使颗粒间碰撞与摩擦耗能较少，因而系统的损耗因子几乎维持在0.17左右。当激振加速度继续增大时，颗粒从外界获得较大的动能，并以整体的方式与容器的上下端面频繁地发生剧烈的冲击，从而使系统的损耗因子逐渐增加至峰值，该值为0.614 7。

对流出现的区域并不像蹦床那样集中，它会与全局流化现象在较宽的频率范围内随着激振加速度的增大交替出现，少许的对流现象发生在7～10g的宽频范围内，大部分的对流现象主要集中在40～80 Hz以及11～26g的激振区域，该区域内的损耗因子会随着全局流化现象与对流现象的交替出现而在[0.1,0.2]范围内产生相应的交替波动。

莱氏效应只发生在激振频率高于75 Hz且激振加速度集中在12～15g的狭小区域内，由于其耗能方式除了颗粒间的相对运动外，还需消耗额外的能量来维持悬浮颗粒的来回浮动，因此，其损耗因子较对流现象有一个较小幅度的提升，约为0.24。

与莱氏效应相比，浮力对流的发生需要提供更大的激振加速度，其分布的激振频率范围也更广。当激振加速度增加至25g以上时，系统的损耗因子会在高于55 Hz的宽频范围内出现多个交替变化的波峰与波谷，并且最低的损耗因子也能保持在0.25，最高的损耗因子已高达0.59,这充分表明处于浮力对流状态下的颗粒阻尼器具有良好的减振效果。

分析比较上述各种运动形态下的能量耗散变化规律发现，类固态下的颗粒阻尼器未能发挥阻尼效果；气体流化、对流、莱氏效应以及低激振加速度下的蹦床都具有一定的阻尼减振作用，且其减振效果相当；固体流化、浮力对流以及高激振加速度下的蹦床效应都具有很强的阻尼减振效果，其损耗因子的峰值均能达到0.59。其中，激振频率为20 Hz、激振加速度为25g的蹦床现象能够实现最大的阻尼减振效果，其损耗因子高达0.614 7。

4 结 语

本文以基于离散单元法仿真获取的有限数据样本为研究对象，采用基于GS优化的SVM分别建立了颗粒运动形态及其能量耗散的分类与回归预测模型，利用优化后的SVM预测模型，研究了阻尼器内颗粒在不同激振条件下的运动形态及其能量耗散的变化规律，得到的主要结论如下：

(1) GS方法能够选取较优的SVM参数，基于GS方法优化的SVM能够建立一个预测准确度很高、推广泛化能力很强的分类和回归预测模型，其颗粒运动形态分类准确率Accuracy高达94.32%，系统损耗因子的回归均方差MSE低至9.8×10-5,平方相关系数R2高达0.997 75。

(2) 阻尼器内颗粒在不同运动形态下的阻尼减振效果各不相同，其中固体流化、浮力对流以及高激振加速度下的蹦床减振效果最好，气体流化、对流、莱氏效应以及低激振加速度下的蹦床的减振效果次之，类固态下的颗粒阻尼器未能发挥阻尼效果。