运动纠缠双原子与二项式光场相互作用的纠缠特性

宫艳丽, 萨楚尔夫, 张采花

(1.内蒙古电子信息职业技术学院, 呼和浩特市 010022; 2. 内蒙古师范大学图书馆， 呼和浩特市010022)

1 引 言

“墨子号”量子卫星的成功发射，标志着我国在量子通信信息安全传递的国际领先水平. 量子通信技术和量子计算等量子信息科学领域的突破离不开量子信息的理论支撑. 量子纠缠交换、量子密集编码、量子离物传态等[1, 2]都是利用最基本的量子资源去拓展量子通信领域. 作为最基本的量子资源之一的量子纠缠[1]在量子信息论中起着非常重要的作用. Phoenix等[3, 4]将熵引入量子光学以来，人们在量子系统研究中充分利用熵的特性即包含系统密度矩阵的全部统计矩，详尽描述了纠缠度. 到目前为止，人们已经分析了一系列系统中的量子纠缠特性[5, 6]，关于二项式光场[7, 8]与原子组成的各种系统的研究或是关于运动纠缠双原子[9]与不同场态[10, 11]之间所组成系统的各种量子特性的讨论已广泛讨论，但是二项式光场与运动纠缠双原子的场熵或原子熵的演化的讨论还未涉及到，本文主要是利用Von Neumann 熵[6]，讨论二项式光场与运动纠缠双原子相互作用系统的场熵演化特性，主要是当光场调节参数、场膜结构参数、光场中的光子数等参量发生改变时对系统场熵的影响进行讨论. 由于实际当中原子是运动的并且具有纠缠性，那么对于原子运动所引起的量子效应不容忽视，分析运动情况下系统场熵演化规律在实际应用中具有较高的理论参考价值.

2 模型建立与求解

理论模型选取的是运动纠缠双原子与二项式光场相互作用所组成的系统，系统的哈密顿量[10]为(ħ=1):

(1)

(2)

二项式光场[13]一般定义为:

(3)

光场的初始态矢为：

(4)

初始时刻两运动原子进入腔时处在纠缠态

(5)

那么，t=0时刻系统的态矢为

(6)

考虑系统简化，这里仅仅考虑共振情况(ω=ω0)下随着时间的变化，系统在任意时刻(t>0)态矢可表示为

Bn(t)|eA,gB,n〉+Cn(t)|gA,eB,n〉+

Dn(t)|gA,gB,n+1〉]

(7)

(8)

式中

考虑原子的速度为υ=gL/π，则

F(t)=[1-cos(pgt)]/pg

(9)

利用前面所得到的关系式，讨论运动纠缠双原子与二项式态光场间的量子纠缠特性.

3 量子纠缠的计算

利用Von Neumann 统计熵[6,14-17]，度量原子与光场相互作用系统的量子纠缠.由于科学家们很早就发现熵的计算包括了系统中密度矩阵的高阶统计矩，所含信息量最全的物理量之一，通过场熵或者原子熵的值来说明原子与光场之间的纠缠度.在这里主要利用场熵来度量系统中的量子纠缠. 系统中原子熵、场熵和系统熵满足三角不等式:

|Sa(t)-Sf(t)|≤S(t)≤Sa(t)+Sf(t)

(10)

系统的密度矩阵为ρ=|φ(t)〉〈φ(t)|，场的约化密度算符为：

|ν1(t)〉〈ν1(t)|+|ν2(t)〉〈ν2(t)|+

|τ(t)〉〈τ(t)|=|μ(t)〉〈μ(t)|+

|ν(t)〉〈ν(t)|+|τ(t)〉〈τ(t)|

(11)

其中

(12)

当t≥0 的任意时刻，场熵与原子的熵相等[7,10](Sa(t)=Sf(t)). 在这里利用场的约化密度矩阵得出量子系统的场熵为

(13)

式中λfi(t)(i=1，2，3)为场约化密度算符的本征值.

4 数值计算与分析

通过改变系统的不同参量，讨论系统的量子纠缠演化情况，重点分析场熵随不同参数的变化随时间演化特性. 然而我们知道当场熵Sf等于它的最小值0时，表示光场和原子处于退纠缠态，接近于0时为解纠缠态；而系统最大量子纠缠度接近Sf=ln3≈1.1 ，表示光场和原子处在最大纠缠态. 下面在图1-3中，分别讨论M、η、p分别取不同值时系统纠缠特性.

4.1 光场变量M对场熵的影响

当光场中光子数逐渐增大，观察系统的量子纠缠演化情况，其数值结构见图1.图1(a)-(d)分别表示当光场参数η和场模参数p为恒定值时，光场的光子数M逐渐增大时，系统场熵的演化情形.由图1可知，场熵的演化情况有明显的周期性，说明原子与光场的纠缠呈周期性的变化. 当光场中的光子数较少时，场熵在周期内有四峰振荡，振幅较大，并且出现退纠缠现象，或是部分时刻接近退纠缠. 随着光场中光子数的增多，场熵的振动周期并没有发生改变，但是周期内的振荡频率减小，变为三峰周期性振荡，振荡幅度减小，振荡相对较平稳，随着光子数增大场熵的退纠缠持续时间也逐渐缩短.

4.2 改变光场中的光子数系统场熵的变化

图2(a)—(d)为光场中的光子数为定值，场模结构参数不变的情况下场熵的演化规律如图所示. 当场调节参量η较小时，场近乎于Fock态时，场熵的演化呈明显的周期性，周期内多次出现退纠缠现象，并以四峰的频率振荡，场熵的振荡幅度相对较小；随着场调节参量η的增大时，场熵的完全退纠缠周期性没有发生改变， 但是周期内退纠缠的次数明显减小，但是振幅增大，当场调节参数取较大值时即接近于相干态时，虽然变化周期未变但振幅又回落了，通过图2(a)—(d)的变化规律可以发现，当场调节参数η处于中间值，即光场处于二项式态时，系统的量子纠缠度幅值最大，最接近最大纠缠度.并且退纠缠的次数最少，场熵的退纠缠时间最短.这对我们今后在实验上制备相关纠缠态具有一定意义.

4.3 场模参量改变引起系统纠缠度的变化

a:M=3 b:M=30 c:M=50 d:M=100图1 η=0.03; P=1时场熵随时间演化特性曲线 Fig. 1 Time evolutions of the field entropy for η=0.03 and p=1

a:η=0.0001 b:η=0.001 c:η=0.01 d:η=0.1 图 2 p=1; M=50时场熵随时间演化特性曲线Fig. 2 Time evolutions of the field entropy for p=1andM=50

a:p=1 b:p=3 c:p=5 d:p=8 图3 η=0.03, M=30时场熵随时间演化特性曲线Fig. 3 Time evolutions of the field entropy forη=0.03 and M=30

5 结 论

考虑介于Fock态和相干态之间的二项式态考虑其特殊性，这里主要研究了其与运动纠缠双原子相互作用系统的纠缠特性，分析了原子运动速度发生变化是场熵的演化情形以及影响场熵变化的场模结构参数和场调节参数发生变化时对场熵的影响. 结构发现：当光场调节参数较大或较小时，也就是近乎于Fock态和相干态时，场熵的演化具有明显的周期性变化，但是最大纠缠度不高，振幅较小，光场调节参数较小时退纠缠时间持续较长. 然而处于二项式态时，场熵的纠缠度较高，最接近系统纠缠最大值. 通过计算分析及场熵图形演化所示可以得出，原子运动可以引起场熵周期性变化，所以改变原子运动速度(或者场模结构参数)，致使场熵的演化周期发生明显变化，随着取值增大，使得场熵演化周期变短，系统出现退纠缠的频次增加，同时场熵的最大值随场模结构参数的增大而减小. 另外，场的光子数对系统的纠缠度也有影响，光子数的变化虽然不影响场熵的演化周期性，但是光子数的变化影响退纠缠持续时间，当光子数较少时，周期内振荡频率较大，并且退纠缠持续时间较长，随着光子数增大，系统纠缠度变化周期不变但是，周期内振荡频率减小，一般为三峰振荡，但是振荡幅度随之降低.

为了得到较好的理论参数值支撑量子信息工程的基础，有利于调整量子计算、量子隐形传态及量子密码的应用范围，现将运动纠缠双原子分别与二项式光场、压缩相干态、薛定谔猫态相互作用的系统场熵演化情况进行对比，为今后实验制备提供有力依据.

(1) 原子速度和场模结构参数的变化对系统纠缠度的影响. 经比较发现，考虑原子静态时只有在初始时刻系统的纠缠度为零，其它任意时刻都未出现退纠缠现象. 都呈现周期行变化并且随着常模结构参数的增大振荡周期明显缩短，但是场模结构参数影响着纠缠的最大值和周期内纠缠峰值的变化频率. 当场模参数为p=1时，与薛定谔猫态相互作用系统纠缠度[薛定谔]在周期内变化较为平稳，且纠缠最大值较高，当p=3时，与二项式态和压缩相干态相互作用系统纠缠度周期内变化较为平稳，双峰微小振荡；然而当p=8时，系统的振荡频率明显加快，在π周期内都出现四次振荡，但是与不同场态作用的系统纠缠度的最大值发生明显变化，与薛定谔猫态相互作用系统纠缠度最大值接近于1，与二项式光场相互作用系统的退纠缠现象明显，时间持续较长.

(2)系统纠缠度的比较.运动纠缠双原子分别与三种场态[9,14]所构成的系统都是利用相同算法即场熵度量系统纠缠度，经对比发现，系统场熵的变化周期是相同的；当原子运动速度一定时，三种系统的纠缠度几乎接近最大值，只是周期内振荡频率不同，接近退纠缠现象的程度不同. 相比较与二项式光场作用时周期内纠缠度变化相对较稳定.