π/4-CQPSK信号的频偏估计算法

牛景昌，周德强

(装备工程技术研究实验室，河北 石家庄050081)

0 引言

在无线通信中，由于多普勒频移和本地载波误差的影响，接收信号中存在频偏和相偏，影响信号的相干解调，因此必须在载波同步中进行补偿[1-3]。载波同步一般有2种方法：① 闭环方法[4-5]，用于对载波进行捕获和跟踪；② 开环方法，直接估计载波的频偏与相偏，在解调时予以补偿。一部分开环方法需要数据辅助[6-8]，例如Kay算法[9]、M&M算法[10]、Fitz算法[11]和L&R算法[12]等；一部分开环算法不需要数据辅助，而是通过非线性变换将调制信号转化为单音信号，从而利用DFT进行频偏估计[13]。

π/4-CQPSK是一种在QPSK基础上发展起来的线性调制技术，在GEO-移动无线电接口(GEO-Mobile Radio Interface，GMR)中得到了广泛使用[14-15]。在借鉴已有的QPSK信号频偏估计算法的基础上，提出了π/4-CQPSK信号的频偏估计算法，并从理论上揭示了二者的不同之处，即四次方谱中谱线出现的位置不同。

1 信号模型

假设信道模型为加性高斯白噪声(AWGN)信道，接收端经过了精确的定时同步，则接收的QPSK信号和π/4-CQPSK信号可以统一表示为：

xi=Aej(2πfeiT+φi+φ0+θi)+ni，

(1)

(2)

式中，i=0,1,2,…,N-1；ni是均值为0、双边功率谱密度为N0/2的复高斯随机变量；A是信号幅度，fe是频偏；T是符号周期；φi是QPSK调制的相位，由发送比特决定，具体的映射方式如表1所示，所以φi=mπ/2 ，m是整数，φ0是相偏，θi的取值如式(2)所示。可见，π/4-CQPSK调制方式的本质是在QPSK调制的基础上对每个符号增加了iπ/4的相位旋转。

表1 QPSK调制的映射关系

Tab.1 Relations of QPSK modulation

比特相位/(°)00001901118010270

2 算法原理

2.1 理论分析

根据文献[16]，MPSK信号的非数据辅助的频偏的最大似然估计为：

(3)

式中，M是MPSK信号的调制阶数。式(3)的本质是利用xiM运算来去除调制信息，将其转化为单音信号估计频偏。

根据文献[1]，接收信号xi可以表示为：

xi=Bej(2πfeiT+φi+φ0+φn+θi)，

(4)

式中，φn是相位噪声；B是幅度噪声。将接收信号进行四次方可得：

xi4=B4ej(8πfeiT+4φi+4φ0+4φn+4θi)。

(5)

由于φi=mπ/2，所以4φi=2mπ，式(5)可进一步简化为：

xi4=B4ej(8πfeiT+4φ0+4φn+4θi)。

(6)

当信号是QPSK调制时，式(6)可简化为：

yi≜xi4=B4ej(8πfeiT+4φ0+4φn)。

(7)

当信号是π/4-CQPSK调制时，式(6)可以简化为：

zi≜xi4=B4ej(8πfeiT+4φ0+4φn+iπ)=

ej(iπ)B4ej(8πfeiT+4φ0+4φn)=

ej(iπ)yi。

(8)

由式(7)可以看出，QPSK信号的四次方yi可以看作是含有噪声相位的频率为4fe的单音信号。由式(8)可以看出，π/4-CQPSK信号的四次方是频率为4fe的单音信号yi与ej(iπ)的乘积。记yi的离散傅里叶变换(DFT)为Y(k)≜DFT(yi)，则Y(k)是QPSK信号的四次方谱。假设DFT的长度N为偶数，根据频域循环卷积定理[17]，π/4-CQPSK的四次方谱为：

Z(k)≜DFT(zi)=

δ(k-N/2)⊗Y(k)=

(9)

式中，⊗表示循环卷积；δ(k)的定义为：

(10)

可见，π/4-CQPSK信号的四次方谱是将频率为4fe的单音信号的频谱进行了N/2的循环移位，而QPSK信号的四次方谱则没有循环移位，从而导致二者四次方谱中谱线出现的位置不同。由式(9)可知，π/4-CQPSK信号频偏的估计值为：

(11)

2.2 实现步骤

π/4-CQPSK信号的频偏估计算法的实现步骤如下：

① 将接收信号xi进行四次方运算得到zi；

② 对zi进行DFT运算得到四次方谱Z(k)；

③ 利用式(11)计算频偏的估计值。

2.3 性能分析

由于在算法中用到了四次方，由采样定理[18-20]可知，归一化频偏feT必须满足：

(12)

频偏的估计精度取决于DFT的频率分辨率1/(TN)，因此增加DFT的长度(数据不够时补零)可以提高频偏的估计精度。

在算法的实际实现中，可以利用快速傅里叶变换(FFT)代替DFT，提高运算速度。

3 仿真试验

3.1 算法验证

仿真中设置信号长度N=4 096，归一化频偏feT=50/N≈0.012 2。图1给出了QPSK信号和π/4-CQPSK信号的四次方谱。由图1可以看出，QPSK信号的四次方谱中谱线出现在位置50*4=200处，π/4-CQPSK信号的四次方谱中谱线出现在位置4 096/2+50*4=2 248处，与理论分析一致。

图1 π/4-CQPSK与QPSK四次方谱的比较

3.2 算法性能

仿真中设置信号长度N=32 768，归一化频偏feT是-0.1～0.1之间均匀分布的随机数，相偏是-π/5～π/5之间均匀分布的随机数，FFT长度是32 768，信噪比在-14～30 dB以步进2 dB递增，在每个信噪比下进行10 000次蒙特卡罗仿真，归一化频偏的均方误差随信噪比的变化如图2所示。

图2 不同信噪比下归一化频偏估计的均方误差

由图2可以看出，当信噪比大于0 dB时，归一化频偏的均方误差小于5×10-12。

仿真中设置信号长度N为256，归一化频偏feT是-0.1～0.1之间均匀分布的随机数，相偏是-π/5～π/5之间均匀分布的随机数，信噪比为15 dB，FFT的长度分别取256，512，1024，2 048，4 096，8 192，16 384，32 768，数据不足时补零，在每个FFT长度下进行10 000次蒙特卡罗仿真，归一化频偏的均方误差随FFT长度的变化如图3所示。由图3可以看出，当数据长度一定时，通过补零适当增加FFT长度可以提高频偏的估计精度。

图3 不同FFT长度下归一化频偏的均方误差

4 结束语

借鉴QPSK信号的频偏估计方法，从理论上分析了QPSK信号和π/4-CQPSK信号的四次方谱的不同之处，提出了π/4-CQPSK信号的频偏估计算法，给出了算法的实现步骤，通过仿真试验测试了算法性能。在信噪比大于0 dB时，算法估计的归一化频偏的均方误差可以达到不超过5×10-12的精度，足以应用于π/4-CQPSK信号的解调中。