亲历概念形成 走向数学本质

李志 何昌斌

解读教材：

“负数”概念对于小学生来说比较抽象，《数学课程标准（2011版）》要求学生“在熟悉的生活情境中，了解负数的意义，会用负数表示日常生活的一些量”。负数在生活中应用广泛，教材例1通过中央电视台发布的6个城市某一天的气温预报，让学生先认识负数，知道负数的读法和写法，并借助某一时刻具体的温度，初步理解负数所表示的含义。例2通过存折明细中存入和支出的对比，进一步体会正数、负数可以表示两种相反意义的量。例3安排一个活动情境，在一条直线上，从一点向两个相反方向行走，可以用正数、0和负数表示行走的距离和方向，从而完善数轴的基本模型。知道每一个数在数轴上都有一个点与之对应，渗透数轴的概念，形成数的比较完整的认知结构，感受数形结合的基本数学思想。

研究历程：

第一次教学活动：

教者在研究了人教版教材，查阅大量文献资料的基础上，独立设计，完成第一次教学。她的总体思路是学生在天气预报视频播放的过程中找到负数和正数（-5℃和+5℃），在温度表中表示;接下来在6个城市的天气预报中找到比5摄氏度高的温度，比负5摄氏度低的温度，初步感知理解负数，理解0摄氏度是零上温度和零下温度的分界点，通过温度对比让学生初步理解相反意义的量;然后从生活中的正、负数中选择有代表性的四组，让学生自己探究，再通过研究过程中出现的相反意义的词语归纳概括正、负数的意义，最后介绍负数历史、知识应用和总结。

在温度中初步认识和感知正、负数：

师：这是中央电视台的天气预报，老师摘出视屏资料里的几个城市的天气情况。观察这几个城市的天气预报，你发现了什么？（学生有些懵。）

生1：有的数字前面有个减号，表示零下温度。

生2：海口的最高气温是18摄氏度。

生3：南京的气温是-2 度 到6度。

师：像刚才同学们用来表示零下温度的-3是负数。（板书：负数。）这个“-”表示负号，-3读作负三。如：-3摄氏度表示零下3摄氏度，读作负三摄氏度;比0摄氏度高的温度叫零上温度，在数字前面加“+”（正号），一般情况下可省略不写。如：18摄氏度，23摄氏度。（板书两个正数。）18摄氏度表示零上18摄氏度，读作正十八摄氏度，也可以写作18摄氏度，读作18摄氏度。

师：你能在温度计上找到-5和5吗？（课件上出示没有刻度的温度计。）

生：老师，我觉得在这里不能找到这两个温度。

师：为什么？

生：因为没有0摄氏度。

师：（课件出示刻度表中刻度数字。）现在呢？

生：（学生指）5摄氏度是比0摄氏度高的温度;-5摄氏度是表示比0摄氏度低的温度。（学生指温度，课件显示。）

师：0在这里是什么作用呢？

生：0把零上温度和零下温度分开。

师（补充）：也就是高于0摄氏度是零上温度，低于0摄氏度是零下温度，对吗？

生：对。

师：是的，0摄氏度就是淡水开始结冰的温度。刚才同学们找的5摄氏度和-5摄氏度，哪个温度更低一些，为什么？

生：-5摄氏度更低一些，-5摄氏度比0摄氏度温度还低，5摄氏度是比0摄氏度更暖和的温度，所以-5摄氏度的温度更低一些。

师：在这一时期内，有比负5摄氏度还低的温度吗？

生：有银川、哈尔滨，这一时间内，最低气温最低的是哪个城市呢？

师：是多少？（-27摄氏度。）他们该穿什么？（课件出示穿厚衣服和薄衣服进行对比。）

师：这一时间内，最高气温最高的是哪个城市呢？是多少？

生：台北。

师：这里的学生穿什么？

生：23摄氏度，穿短袖。（课件出示温度计和衣服。）

接下来就是找生活中的负数，表示生活中的四组负数。和今天是一样的，就是在四组负数之后多了一个辨析环节，即练习题的第四题。

…………

第一次课后研讨

课后研讨中，大家认为从目标达成来看，基本实现了预设的目标;从学习活动上来看，学生的主体地位得到了体现。学生在自主探究生活中四个负数意义活动中非常投入，通过画图、语言、等方式充分理解了负数;从教学活动上看，重点突出，学生在研究温度、表示四组负数的含义和概念辨析中逐渐理解了负数的意义。学生经历从实际生活中发现、提出、分析和解决问题的过程，体会数学在日常生活中的作用，也理解并发现了正数和负数是两种表示相反意义的量。

但是，研修团队讨论认为：本节课把教学重点放在了学生的探究活动，理解正、负数意义内涵中，忽略了正数、负数的形成过程。课堂从导入的生活素材中找到负数，再在温度表中表示负数、理解负数这一环节也就是第一个活动（教学例1）完全遵从了教材的安排，学生从生活中找到负数——在温度表上指出负数——说负数的含义，没有让学生经历负数的产生形成过程，没有为学生建构负数的概念的过程。他们对负数概念的理解是在第二个活动中才逐渐深刻的，所以學生对负数理解在第一个活动中只停留在表象，天气预报导入的这个素材没有发挥到它应有的作用。

针对这一问题，团队给出的建议：我们在负数教学时一定让学生感受到需要用负数，负数才产生，一定要经历负数的抽象、形成、概括的形成过程，学生才能对负数有深刻理解。应该让学生经历从语言表示正、负温度到用简洁明了的形式表示用正、负温度数。让学生感受负数是因为我们需要才产生的，教师带着学生经历负数的产生过程，才能让学生对负数有深刻的理解。

大家的研讨带给笔者很深的触动和思考。对教材有了质疑以后，笔者查阅北师大版、苏教版教材，对三个版本的教材进行了横向梳理。发现三个版本的教材都以温度为主要情境引入正负数，但在处理上是不同的。

人教版是直接出示温度（正、负数写法），让学生在温度计上找温度并理解正、负数的含义。

北师大版（四年级上册）是出示温度的文字叙述方式，让学生想办法表示两个温度，学生在温度计上表示——用箭头等符号——再到正数和负数，也是经历了一个概念的形成过程，从而认识正数和负数。（类似以上教学片段。）

苏教版（五年级上册）是出示三个城市的图片，并一个图片配一个温度计，让学生自己观察，并说出发现了什么。学生先从温度计上认识零上温度和零下温度，再揭示零上温度用正数表示，零下温度用负数表示，从而认识正数、负数。

从教材梳理中，笔者有以下思考：人教版安排在六年级下册，编者是不是认为学生已经有了科学学科的学习基础和以往的生活经验，以为对温度中的负数认识就简单容易，所以才看到温度（用正、负数表示的温度）来解释正、负数的含义，但实际上这样教学学生并没有理解。是地域的差异？还是学生的认知基础的差异？概念教学不让学生经历概念的产生形成过程，只让学生在活动中理解概念的含义是符合学生学习的认知规律吗？

再者：数轴是本节课的后续学习，怎么恰当把握本节课的教学要求，给后续学习做好思维铺垫呢？

带着这样的思考，笔者进行了二次备课，将原有的思路调整为：让学生在听温度、找温度、表示温度、对比优化表示方法中感受负数的形成过程，让学生在思考、操作、对比、观察、优化的过程中，深刻认识负数在温度中的应用，从而在第一个教学环节中对负数有清晰深刻的认识。从教学实际情况来看，二次课堂实践发生了如下变化：

第二次教学活动：

在温度中初步认识和感知正、负数：

师：这是中央电视台天气预报中的一段视频。请大家仔细听，看看你能得到哪些数学信息？

生1：北京是零下9度到2度。

生2：天津的最高气温和最低气温是零下5摄氏度和5摄氏度。（出示卡片。）

师：你能在这里找到零下5摄氏度和5摄氏度吗？（出示黑板右边没有刻度的温度计。）

生：不能。

师：为什么？

生：因为没有0摄氏度。

师：也就是说找5摄氏度和零下5摄氏度首先要确定哪个温度？

生：在这中间找一个刻度当成0摄氏度。

师：（标上0）可以吗？（师再标上刻度）现在能来指一指这两个温度吗？

生：（边指边说）5摄氏度比0摄氏度高5度，在0摄氏度的上面找出5摄氏度;零下5摄氏度是比0摄氏度低5度，在0摄氏度的下面找出5摄氏度。（卡片贴在这里。板书：高于、低于。）

师：（把5摄氏度换成零下5摄氏度的卡片。）也就是说5摄氏度是零上5摄氏度，是吗？

师：零上5摄氏度可以在这里吗？（指着零下5摄氏度的地方。）为什么？

生：因为5摄氏度是比0摄氏度高的温度，应该在比0摄氏度高5度的地方。

师：零下5摄氏度可以在这里吗？（指着零上5摄氏度度的地方。）为什么？

生：因为零下5摄氏度是比0摄氏度低5度的地方，应该在比0摄氏度低5度的地方。

师：0在这里是什么作用呢？

生：0有分界的作用，高于0摄氏度是零上温度，低于0摄氏度是零下温度。

师：是的，0摄氏度就是淡水开始结冰的温度。我们以0摄氏度为分界点，比0摄氏度高5度的温度是零上5摄氏度，比0摄氏度低5度的温度是零下5摄氏度。

师：那么，除了用文字叙述表示这两个温度，你能用更简洁的方式记录这两个温度吗？（拿两张卡片贴在黑板中间。）

（学生试着写一写，找人写在黑板上。）

生1：三角符号。

生2：箭头。

生3：+5摄氏度   -5摄氏度。

师：说说你是怎么想的？

师：看这三种，你更喜欢哪一种？为什么？

生：加号、减号表示更清楚，而且是以0摄氏度为标准，更形象。

师：是呀，这样表示确实简洁形象。我觉得大家真的是有当数学家的潜质。同学们，（指-5 ）这样的数是负数，前面的小短横是符号，读作负5（教读）;比0摄氏度高的温度是零上温度，在数字前面加“+”，读作正号，一般也可以不写。读作5摄氏度。

进一步感受正数和负数。

师：这个温度你能用刚才创造的形式表示出来吗？（师出示卡片：-19℃   +20℃，学生说老师写。）

师：-19℃和-5℃相比，谁更低呢？能说说吗？

生：-19℃是比0℃低19度的温度，5摄氏度是比0℃高5度的温度，所以-19摄氏度更低一些。

师：+20摄氏度和5摄氏度相比，谁的温度更高一些？

生：+20℃是比0℃高20的温度，5℃是比0℃高5度的温度。所以20摄氏度更高一些。

师：在-19摄氏度的这一天，学生穿什么？

生：棉袄。（课件出示。）

师：+20度这一天呢？

生：短袖。

师：20℃比-19℃高多少度呢？

生：20攝氏度是比0摄氏度高20度的温度，-19摄氏度是比0摄氏度低19度的温度。20+19=39，20摄氏度比-19摄氏度高39度。

师：真了不起。

二次研讨中，大家充分肯定了笔者的设计思路，认为本次课堂教学目标明确，思路清晰，重点突出，负数经历了从产生到形成的过程。概念经过直观感知——建立表象——揭示本质的过程，学生深刻理解了正数、负数概念的含义，尤其是学生的思维，积极活跃，主动性更强。同时，也提出了一个新问题：温度示意图中左边是以0为分界点，上面和下面的数字一样，而右边是+5℃和-5℃，是不是有些不妥，而这个图不是真正意义上的温度计，是不是能把温度示意图变成学生学习数轴的一个思维启发点呢？

再者总结正、负数是表示相反的两个量之后，再来概念辨析显得有些零碎，应把这一环节调整到练习环节，一气呵成，准确把握概念的生长点、连接点，形成概念体系。

第三次教学活动：

根据大家的建议，第三版的教学设计，笔者调整为：在学生第一个互动的第二个片段汇报中，教师适时加上正号和负号。在课结束的时候让学生想象假如把这个温度计 倒过来，变成了什么，接着动画演示，旨在学生的心目中做一个知识的延伸点，为接下来的学习做好准备，并把概念辨析环节调整到练习应用环节，增强教学的有效性，使学生在不断扩展的认识中逐步形成概念网络。

从课堂实践情况来看，第三版的教学设计体现了概念的产生、形成、内化、应用的过程，层层深入，更重要的是让本节课的知识也得到延伸，为下节课的学习做了铺垫。以下是课堂教学中的片段：

感知正、负数：

在指明了两个简洁的方式是正数和负数后：

师：那这个温度你能用刚才创造的形式表示出来吗？（师出示卡片。）

-19℃   +20℃

师：-19℃和-5℃相比，谁更低呢？能说说吗？

生：-19℃是比0℃低19度的温度，5摄氏度是比0℃高5度的温度，所以-19摄氏度更低一些。

师：这个地方就应该是-10℃、-20℃、+5℃ +10℃ 。（师在刻度上补充负数和正数。）

师：+20摄氏度和5摄氏度相比，谁的温度更高一些？

生：+20℃是比0℃高20的温度，5℃是比0℃高5度的温度，所以20摄氏度更高一些。

师：在-19摄氏度的这一天，学生穿什么？

生：棉袄。

师：（课件出示。）+20度这一天呢？

生：短袖。

师：20℃比-19℃高多少度呢？

生：20摄氏度是比0摄氏度高20度的温度，-19摄氏度是比0摄氏度低19度的温度。20+19=39，20摄氏度比-19摄氏度高39度。

师：真了不起，我要为大家的思考探究能力点赞。

从三次课堂实践、三次研讨中看出，第三次的教学设计真正让学生体验了概念的形成过程，让学生亲身经历了概念是因为需要产生，教学目标的定位更加准确，重点更加突出，更注重了学生思维能力的培养，更突出了学生的主体地位;更加关注了概念的产生、需要、形成、内化、应用的发展过程;帮学生建构了完整的知识体系，加深学生对数概念的理解，认识数系扩充的必要性，抓住了概念教学的本质属性。

反思成果：

人们常说：“教学有法，教无定法，贵在得法。”确实，教学方法可以不同，但教学内容的内涵实质必须把握住。我们一致认为：概念学习的本质把握，应落脚在概念内涵意义上。

1.经历概念的形成过程。核心环节教学活动的组织，不管是设计怎样的活动，都要让学生在自主参与中经历概念的形成过程。

2.深化概念的本质内涵。对负数意义的把握要注重整体结构的把握，要在探究素材的选择、知识灵活应用环节巧妙设计，抓住概念的內涵和外延，注重丰富学生对概念的认识。

3.体验概念的价值意蕴。负数概念的建构具有特殊性，从熟悉的生活情境中来，进一步理解内涵，抽象至数学模型后，又回归于生活情境中的应用。这样动态推进的概念学习核心环节与层层递进的后续练习，后续活动也是对概念实质把握的渐进与深化过程。且时时刻刻都在培养学生的数感，让学生体验着负数概念的价值意蕴，为后续学习做好了准备。

编辑/魏继军