例谈高中数学解题逻辑

魏建华

[摘  要] 高中数学中的知识结构化、方法结构化、逻辑结构化是数学学习的重要目标，為了引领学生实现答题逻辑结构化，教师首先得有结构化的解题逻辑.

[关键词] 解题逻辑;结构化

为了能在解题中巩固知识、发散思维、训练逻辑、提升能力，师生需要深入领会和驾驭数学解题逻辑. 为了系统地建立数学解题逻辑，本文以一道解析几何题为例，抽取知识逻辑、方法逻辑、答题逻辑，生成解题逻辑，给出操作建议，以飨读者.

抽取逻辑，多解归一

从知识逻辑、方法逻辑、答题逻辑三个角度对以上八种解法进行统计.

第八种解法从直线与圆的角度，再回到最基本的方法逻辑：先猜再证.

在知识逻辑的环节本题函数是主线，分别选取代数主元和几何主元;在方法逻辑上，本题主要是几何转代数和直接在几何范围内考虑;在答题逻辑板块调用结论这个环节，对于综合体而言，需要充足的知识储备，调用多知识板块的结论.总之，八种解法虽丰富却不复杂，从知识逻辑、方法逻辑、答题逻辑解析，条分缕析.

生成逻辑，三生万数

1. 知识逻辑

解决问题时，通常都会把实际问题数学化，进而得到等量关系或不等关系或几何图形，也可直接抽出等量关系或不等关系. 等量关系体现为方程以及函数，不等关系体现为不等式，几何图形一方面是静态分析，另一方面是动态分析，动点、动线、动图形在解三角形、平面向量、解析几何、立体几何、函数板块都很常见. 为了讨论与交流的方便，把选取的核心变量称为主元，其他变量称为参考变量或中间变量. 所以高中阶段就四种知识逻辑，即“关于主元的函数”“关于主元的不等式”“关于主元的方程”“关于主元的图形”.

2. 方法逻辑

解决问题时，从一般的角度考虑，总结出通法，例如导数的单调性讨论就有先二项式系数讨论，再判断根有无，最后求根与区间端点比较大小的通法. 在没有通法或者通法比较烦琐的情况下，便采用特值加检验的方法. 例如函数奇偶性求参问题，例如导数恒成立抓特殊点，带特殊值求解只满足了必要性，继续验证充分性即可.当定义域离散时，如求数列通项，或者证明与n有关的等式或不等式，往往可以采取数学归纳法. 另外，数学有几何、代数两条主线，解析几何这条交叉线，很多问题能从几何、代数这两个角度求解，同时几何代数之间存在互化与结合，例如线性规划就是典型的代数转几何，空间向量就是典型的几何转代数，圆锥曲线是几何与代数的完美结合. 所以笔者这里总结出“特殊与一般”“几何与代数”这两条方法逻辑.

3. 答题逻辑

高中数学按知识分了很多题型，但又可归结为一种题型，即“能用结论用结论;不能用结论可转化成结论;既不能用结论又不能转化成结论就回到基本的方法逻辑”.

4. 逻辑框架

解题逻辑

知识逻辑关于…的函数

关于…的不等式

关于…的方程

关于…的图形

方法逻辑特殊与一般特值检验

数学归纳

几何与代数

答题逻辑用结论

转化成结论

回到基本的方法逻辑

启迪心灵，携手共进

2018年的高考试题是典型的入口宽，路径多，充分考查学生的基础知识储备和综合应用知识的能力，为了适应新课改和新高考，在将题海整理成有限的题型的同时，还要引导学生深刻剖析解题逻辑，把好题的多种解法以表格的形式从三层解题逻辑的角度归纳，从而达到建立解题逻辑以及熟练运用解题逻辑的效果，使得学生不仅在基础知识储备上更上一层楼，更在综合解题能力上节节拔高.