一类不定方程的解*

窦晓霞

(宝鸡文理学院数学与信息科学学院，陕西 宝鸡 721013)

整数是数学研究的一个方向。组合数学中就有关于正整数在不同分部量下分拆数的研究[1-2]。对于一个给定的不定方程(或方程组)，它是否有解，如果有解，解是不是唯一的，能不能求出它的所有解，这是数论的一个研究方向。有的方程或方程组没有整数解或者没有正整数解[3-6]，有的方程或方程组只有有限个整数解[4-5]，有的方程或方程组有无数多个整数解[7-8]，还有些方程虽然未找到解的具体形式，但却找到了方程是否有解的条件。文献[7-9]给出一类方程有整数解的充分条件；文献[10-11]给出所讨论方程存在无数个解的充要条件；文献[12-13]给出所研究方程的解数上界。另外，有一些方程，大家只关心其特殊解(如文献[14]中方程的素数解等)。除此之外，还可以从其它角度研究不定方程。在已知方程解的基础上，文献[15]就从代数的角度研究了两个二次方程的整数解集。

设a,b,c,d都是正整数，a,b,c是d的因数、互素且不含平方因子。对于方程

ax2+by2+cz2=m+dxyz

(1)

称其满足不等式组

(2)

的整数解为方程(1)的基础解。当m=0时，文献[16]利用二元二次型和同余理论给出了方程

ax2+by2+cz2=dxyz

存在基础解时正整数a,b,c,d的所有可能取值以及对应的基础解，并且指出，方程的其它所有非平凡解(如果方程的解(x,y,z)满足不等式xyz≠0，则称解(x,y,z)是方程的非平凡解)可以由这些基础解求出。当m=1时，利用二元二次型和同余理论，文献[17]解出了方程

ax2+by2+cz2=1+dxyz

存在基础解时正整数a,b,c,d的所有可能取值以及对应的基础解，同时也说明该方程的所有非平凡解可以由这些基础解求出。

利用二元二次型和初等数学的知识，如果不定方程(1)有基础解，本文讨论得到正整数a,b,c,d和非负整数m的所有可能取值以及对应的基础解(x,y,z)，进一步得到方程的多个整数解。

在方程(1)中，由于(a,x),(b,y),(c,z)地位对称，所以当三者的顺序互相交换时，得到的依然是同类型的方程。因而对这种由(a,x),(b,y),(c,z)交换顺序引起的新方程及对应的解，看做是相同的，尽可能避免重复讨论。

1 主要结论及证明

定理1设正整数a,b,c互素，不含有平方因子且都是正整数d的因数，m是非负整数。如果(x,y,z)是方程

ax2+by2+cz2=m+dxyz

的基础解，则

(3)

且右边等号当且仅当m=0时成立。

X2+Y2+Z2=m+DXYZ

(4)

在上面的方程中，X,Y,Z地位对称，不妨设1≤X≤min{Y,Z}，此时就有2Z≤DXY。

当Y≤Z时，由方程(4)可得

(DXY-2Z)2=(DXY)2-4X2-4Y2+4m

于是

两端平方，整理得

DXY2≤X2+2Y2-m≤3Y2，m=0时右边等号成立。

当Z

定理2设正整数a,b,c都不含有平方因子且都是正整数d的因数，(a,b,c)=1，m是非负整数，如果不定方程(1)

ax2+by2+cz2=m+dxyz

有基础解，则方程(1)中a,b,c,d,m的可能取值及对应的基础解都出现在表1中。

表1 方程(1)存在基础解的可能情形及对应基础解

证明把方程(1)看成变量y,z的二元二次型

F(y,z)=by2+cz2-(dx)yz(=m-ax2)

这个二元二次函数的判别式Δ(F)=(dx)2-4bc。由于b,c地位对称，可以设b≤c。二元二次型有相关结论[18]：当Δ(F)≤0时，F(y,z)≥0；当Δ(F)>0时，F(y,z)可正可负。在系数a,b,c都不含有平方因子的条件下，结合定理1的结论，当(x,y,z)是方程(1)的基础解时，则x以及系数b,c,d是以下10类可能之一：

接下来，对这些可能逐一进行分析。

于是有0≤m≤a-1。当a=1,m=0时，解得(a,b,c,d)=(1,1,5,5),(x,y,z)=(1,2,1)，这是情形5。当a=5,m=0时，解得(a,b,c,d)=(5,1,5,5),(x,y,z)=(1,5,2)，这是情形11。当a=5,m=1时，如果z=1,b=1,2,3，不等式组无解。如果z=1,b=4，则b有平方因子，不做讨论。当z=2,b=1时，有(a,b,c,d)=(5,1,5,5),(x,y,z)=(1,4,2)，这是情形17。当a=5,m=2时，如果z=1,b=1，不等式组无解。如果z=1,b=3，有(a,b,c,d)=(5,3,15,15),(x,y,z)=(1,2,1)，这是情形21。当a=5,m=3时，如果z=1,b=1，不等式组无解。如果z=1,b=2，有(a,b,c,d)=(5,2,10,10),(x,y,z)=(1,2,1)，这是情形24。当a=5,m=4时，(a,b,c,d)=(5,1,5,5),(x,y,z)=(1,2,1)，这是情形26的特例。

于是有0≤m≤a-2。当a=2,m=0时，解得(a,b,c,d)=(2,1,6,6),(x,y,z)=(1,2,1)，这是情形9。当a=3,m=0时，解得(a,b,c,d)=(3,1,6,6),(x,y,z)=(1,3,1)，这是情形10。当a=3,m=1时，(a,b,c,d)=(3,1,6,6),(x,y,z)=(1,2,1)，这是情形16。当a=6,m=0时，如果z=1,b=1，不等式组无解。如果z=1,b=2,3,6，则c有平方因子，不做讨论。当a=6,m=1,2时，不等式组无解。当a=6,m=3时，有(a,b,c,d)=(6,1,6,6),(x,y,z)=(1,3,1)，这是情形25。当a=6,m=4时，(a,b,c,d)=(6,1,6,6),(x,y,z)=(1,2,1)，这是情形26的特例。

于是有0≤m≤a-3，所以a=7。当m=0时，不等式组无解。当m=1时，如果z=1,b=1，不等式组无解。如果z=1,b=2，解得(a,b,c,d)=(7,2,14,14),(x,y,z)=(1,2,1)，这是情形19。当m=2时，解得(a,b,c,d)=(7,1,7,7),(x,y,z)=(1,3,1)，这是情形23。当m=3时，21b2z2+4bm-4ab不是完全平方，不等式组无解。当m=4时，(a,b,c,d)=(7,1,7,7),(x,y,z)=(1,2,1) ，这是情形26的特例。

于是当a=m=1时，解得(a,b,c,d)=(1,b,b,2b),(x,y,z)=(1,z,z)，这时，bz2≥1。这是情形13。当a=m=2时，解得(a,b,c,d)=(2,b,b,2b),(x,y,z)=(1,z,z)，这时，bz2≥2，且(2,b)=1。这是情形20。

于是有0≤m≤a-1。当a=1,m=0时，解得(a,b,c,d)=(1,2,3,6),(x,y,z)=(1,1,1)，这是情形6。当a=2,m=0时，如果z=1,t=1，不等式组无解。因为a,b,c不含平方因子，所以z=1,t=2不做讨论。当a=2,m=1时，解得(a,b,c,d)=(2,2,3,6),(x,y,z)=(1,1,1)，这是情形15。当a=3,m=0时，如果z=1,t=1，不等式组无解。因为a,b,c无平方因子，所以z=1,t=3不做讨论。当a=3,m=1时，如果z=1,t=1，不等式组无解。因为a,b,c无平方因子，所以z=1,t=2不做讨论。当a=3,m=2时，(a,b,c,d)=(3,2,3,6),(x,y,z)=(1,1,1)，这是情形20的特例。当a=6,m=0时，如果z=1,t=1，不等式组无解。如果z=2,t=1，有(a,b,c,d)=(6,2,3,6),(x,y,z)=(1,3,2)，这是情形12。当a=6,m=1时，如果z=1,t=1，不等式组无解。如果z=1,t=5，有(a,b,c,d)=(6,10,15,30),(x,y,z)=(1,1,1)，这是情形18。如果z=2,t=1，3t2z2+2tm-2at不是完全平方，不等式组无解。当a=6,m=2时，如果z=1,t=1，不等式组无解。如果z=2,t=1，有(a,b,c,d)=(6,2,3,6),(x,y,z)=(1,2,2)，这是情形22。当a=6,m=3,4,5时，不等式组都没有解。

于是有0≤m≤a-1。当a=1,m=0时，解得(a,b,c,d)=(1,1,2,4),(x,y,z)=(1,1,1)，这是情形4。当a=2,m=0时，解得(a,b,c,d)=(2,1,2,4),(x,y,z)=(1,2,1)，这是情形8。当a=2,m=1时，解得(a,b,c,d)=(2,1,2,4),(x,y,z)=(1,1,1) ，这是情形13的特例。

当a=1时，则z=1,b=1，解得(a,b,c,d)=(1,1,1,3),(x,y,z)=(1,1,1)，这是情形2。当a=3时，如果z=1,b=1，不等式组无解。如果z=2,b=1,5b2z2-4ab不是完全平方。因为(a,b,c)=1，所以c=b=3不做讨论。

所以(a,b,c,d)=(1,b,b,b),(x,y,z)=(2,z,z)，这里bz2≥4。这是情形26。

于是有0≤m≤4a-1。当a=1,m=0时，如果z=1,b=1，不等式组无解。如果z=2,b=1，解得(a,b,c,d)=(1,1,2,2),(x,y,z)=(2,2,2)，这是情形3。当a=1,m=1时，如果z=1,b=1，不等式组无解。如果z=1,b=3，解得(a,b,c,d)=(1,3,6,6),(x,y,z)=(2,1,1)，这是情形16。当a=1,m=2时，如果z=1,b=1，解得(a,b,c,d)=(1,1,2,2),(x,y,z)=(2,2,1) ，这是情形20的特例。因为a,b,c没有平方因子，所以z=1,b=2不做讨论。当a=1,m=3时，不等式组无解。当a=2,m=0时，如果z=1,b=1，不等式组无解。如果z=2,b=1，解得(a,b,c,d)=(2,1,2,2),(x,y,z)=(2,4,2)，这是情形7。当a=2,m=1时，如果z=1,b=1，不等式组无解。如果z=2,b=1，解得(a,b,c,d)=(2,1,2,2),(x,y,z)=(2,3,2)，这是情形14。如果z=1,b=7，解得(a,b,c,d)=(2,7,14,14),(x,y,z)=(2,1,1)，这是情形19。当a=2,m=2时，如果z=1,b=1，不等式组无解。如果z=2,b=1，2b2z2+bm-4ab不是完全平方，不等式组无解。如果z=1,b=3，解得(a,b,c,d)=(2,3,6,6),(x,y,z)=(2,2,1) ，这是情形22。当a=2,m=3时，如果z=1,b=1，不等式组无解。如果z=2,b=1，2b2z2+bm-4ab不是完全平方，不等式组无解。如果z=1,b=5，解得(a,b,c,d)=(2,5,10,10),(x,y,z)=(2,1,1)，这是情形24。当a=2,m=4时，如果z=1,b=1，不等式组无解。如果z=2,b=1，解得(a,b,c,d)=(2,1,2,2),(x,y,z)=(2,2,2)，这是情形26的特例。当a=2,m=5,6,7时，不等式组无解。

当b=1时，如果z=1,2，不等式组无解。如果z=3，解得(a,b,c,d)=(1,1,1,1),(x,y,z)=(3,3,3)，这是情形1。如果z=4，5b2z2-36b不是完全平方，不等式组无解。当b=3时，如果z=1，不等式组无解。如果z=2， 2b2z2+bm-4ab不是完全平方，不等式组无解。因为a,b,c没有平方因子，所以b=9不做讨论。

证毕。

2 总 结