利用平均值不等式解题的四个常见思维误区

曹宗明

【摘要】平均值不等式是求解最值问题、证明不等式的重要工具，也是历年来高考的热点内容;但由于其约束条件苛刻，不少同学在应用时常常会出现错误，导致解题失误。

【关键字】平均值不等式 忽视 条件 错解

【中图分类号】G633.6

【文献标识码】A

【文章编号】1992-7711（ 2020） 06-161-01

平均值不等式

当且仅当a=b时“=”成立）是高中数学的重要内容，是求解函数最值问题、证明不等式的重要依据，利用均值不等式解题时有四个制约条件：“一正”、“二定”、“三等”、“四同”，但同学们在解题中常常顾此失彼，出现各种错误的解法，下面略举数例加以分析说明。

一、忽视"a.b均为正数”的条件

例1：

错解：

剖析：由于

，不满足均值不等式中“a，b均为正数”的条件，因此需先对函数式进行符号转换后，才能运用平均值不等式进行求解。点评： “a，b均为正数”是平均值不等式成立的前提条件，因此在应用平均值不等式解题时，要先判断a，b是不是正数，如不是正数，则不能直接套用公式。

二、忽视“a+b或ab为定值”的条件

例2.

错解：

剖析：

点评：在应用平均值不等式

解题时，要明确只有当a，b各项的和（积）为定值时，其积（和）才有最大值（最小值）。

三、忽视“=”成立的条件

例3.

错解：

剖析：

正解1：

正解2：

点评：利用平均值不等式

求解最值问题时，一定要注意“=”成立的条件，当且仅当a=b成立时，“=”才成立。

四、忽视“同一代数式中若多次使用均值不等式时，前后变量取值须相同”的条件

例4.若x，y∈R+，x+y=16，求9/x+1/y的最小值。

错解：

剖析：

正解：

点评：在同一代数式中若多次使用平均值不等式时，要明确只有当前后变数取值相同时，等号才成立。

综上所述，我们在利用平均值不等式求解最值问题时，必须明确不等式成立的几个前提条件“一正，二定，三等，四同”，避免各種错误类型的发生。