化椭为圆 其妙无穷

摘 要：直线与圆锥曲线的位置关系问题是近年来解析几何问题中的一个高频考点，尤其是与圆锥曲线有关的相交弦问题，此类问题计算量偏大，属于难点.基于圆的特性及椭圆和圆的内在联系，可以利用伸缩变换将椭圆变换为单位圆，把直线与椭圆的位置关系问题转化为直线与圆的位置关系问题，从而实现“椭圆问题圆解决”，使问题的运算量下降、难度降低.本文就“化椭为圆”法解决直线与椭圆相交问题举例说明.

关键词：化椭为圆;转化与化歸;伸缩变换

椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0，经伸缩变换φ：x′=xa，y′=yb，得到x′2+y′2=1，有如下结论[1]：

（1）伸缩变换前后，坐标成比例变换;

（2）伸缩变换前后，直线斜率成比例变换：伸缩变换前，椭圆上任意两点AxA，yA，BxB，yB，连线的斜率（假定存在）k=yA-yBxA-xB，则伸缩变换后，k′=ab·k;

（3）伸缩变换前后，直线与曲线的位置关系不变：设变换前直线与椭圆方程联立消去y所得一元二次方程的判别式为Δ，则伸缩变换后Δ′=a2b2Δ;

（4）伸缩变换前后，面积成比例变换：S′=1abS.

题1 已知椭圆E：x236+y29=1和点P4，2，直线l经过点P且与椭圆交于A，B两点.当点P恰好为线段AB的中点时，求l的方程.

分析 此问题是直线与椭圆相交的中点弦问题，解决此问题的方法有：①借助根与系数的关系，采用设而不求的数学思想;②代点相减法（点差法）;③利用直线的参数方程法[2];④利用“化椭为圆”法.

解析 利用伸缩变换φ：x′=x6，y′=y3，将椭圆E：x236+y29=1变换为圆E′：x′2+y′2=1，点P4，2变换为点P′23，23，所以kO′P′=1 .

因为点P为直线与椭圆E相交弦AB的中点，所以P′23，23为圆E′的弦A′B′的中点.

利用圆的性质可得kO′P′·kA′B′=-1.

所以kA′B′=-1.

即kA′B′=-1=2kAB.

所以kAB=-12.

所以直线的方程为y-2=-12（x-4）.

即y=-12x+4.

通过上述解答可以得到一般的结论：

已知椭圆E：x2a2+y2b2=1和点Px0，y0，直线l经过点P且与椭圆相交于A，B两点.当点P恰好为线段AB的中点时，直线l的斜率为k=-b2a2·x0y0.

证明 利用伸缩变换φ：x′=xay′=yb将椭圆E：x2a2+y2b2=1变换为圆E′：x′2+y′2=1，点P（x0，y0）变换为点P′（x0a，y0b），所以kO′P′=y0bx0a=ay0bx0.

因为点P为直线与椭圆E相交弦AB的中点，所以P′（x0a，y0b）为圆E′的弦A′B′的中点.

利用圆的性质可得kO′P′·kA′B′=-1.

所以kA′B′=-bx0ay0.

所以kA′B′=-bx0ay0=abkAB .

所以kAB=-b2a2·x0y0.

评注 此解法采用伸缩变换“化椭为圆”的方法，基于圆的特性及椭圆和圆的内在联系，利用伸缩变换将椭圆变换为单位圆，把直线与椭圆的位置关系问题转化为直线与圆的位置关系问题，从而实现“椭圆问题圆解决”，使问题的运算量下降，难度降低.

题2 已知点A0，-2，椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率为32，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为233，O为坐标原点.

（1）求椭圆的方程;

（2）设过点A的动直线l与椭圆相交于P，Q两点.当ΔOPQ的面积最大时，求l的方程.

分析 第（2）问求当ΔOPQ的面积最大时l的方程，其常规解法是：设出直线的方程，利用韦达定理求出弦长以及点到直线的距离;再得出ΔOPQ面积的函数表达式;最后利用函数思想处理最值问题.虽然思路比较清晰，但是在这一过程中对数学运算的核心素养能力有较高的要求，同时还要求学生具有较强的分析问题、解决问题的能力.为了简便一些，下面就利用“化椭为圆”法求解此题.

解析 （1）设Fc，0，直线AF的斜率为233，所以2c=233，解得c=3.

又ca=32，所以a=2，b2=a2-c2=1.

故椭圆的方程为x24+y2=1.

（2）令φ：x′=x2，y′=y， 则椭圆经过伸缩变换φ后得单位圆x′2+y′2=1.

设θ为线段OP与OQ的夹角，则变换后△OPQ的面积S′=12sinθ≤12，当且仅当θ=π2时等号成立.

此时，圆心到直线的距离为22.

显然，当l⊥x轴时不符合题意.

所以可设l′：y′=k′x′-2，则2k′2+1=22.

则k′=±7=y′1-y′2x′1-x′2=y1-y2x12-x22=2（y1-y2）x1-x2=2k.

所以k=±72.

所以SΔOPQ=abS′=2×1×12=1.

此时，直线l的方程为y=±72x-2.

评注 此解法采用“椭圆化圆”法求解，与常规法相比“椭圆化圆”充分利用了“数形结合”的思想，降低了题目的思维难度，简化了运算的过程，充分体现了转化与化归思想的优越性，同时也培养了数学学科核心素养.

题3 设A，B为椭圆x22+y2=1上满足ΔAOB的面积为64的任意两点，E为线段AB的中点，射线OE交椭圆C于点P，设OP=tOE，求实数t的值.

分析 此题的常规解法是：设直线AB的方程y=kx+b，将其代入椭圆方程，利用判别式、根与系数的关系即可得到弦长AB;利用点到直线的距离公式求得ΔAOB的面积表达式;利用12AB·d=64得到k，b之间的关系;再由题设E为线段AB的中点，OP=tOE，点P在椭圆C上，利用中点坐标公式即可得到点P的坐标;最后代入椭圆方程可得到k，b，t的关系式，再与上面得到的关系式联立即可得到t的值.很明显，常规解法涉及到的变量较多，运算量较大且不易求解，尤其是涉及k，b，t的关系，进而求t的值.下面利用“化椭为圆”法求解此题，以体现其优越性.

解法1 令φ：x′=x2，y′=y， 则椭圆经过伸缩变换φ后得单位圆x′2+y′2=1.

SΔA′O′B′=12SΔAOB=12×64=34.

即SΔA′O′B′=12·21-d2·d=34 .

所以d2=14或34.即d=12或d=32 .

所以t=OPOE=O′P′O′E′=1d .

所以t=2或233.

解法2 令φ：x′=x2，y′=y， 则椭圆经过伸缩变换φ后得单位圆x′2+y′2=1.

SΔA′O′B′=12SΔAOB=12×64=34 .

所以∠A′O′B′=π3或2π3.

所以d=OE=rsinπ6=12或d=OE=rsinπ3=32.

所以t=OPOE=O′P′O′E′=1d=2或233.

评注 此解法采用“化椭为圆”法求解，与常规法相比“化椭为圆”充分利用了“数形结合”的思想，降低了题目的思维难度，简化了运算的过程，其优越性不言而喻.

椭圆与圆之间存在着许多内在联系，在学习和研究椭圆问题时，若能有意识地挖掘椭圆与圆之间的内在联系，利用伸缩变换将椭圆变换为单位圆，把直线与椭圆的位置关系问题转化为直线与圆的位置关系问题，从而实现“椭圆问题圆解决”.圆与椭圆的相互转化可以使我们领略知识之间并不是孤立的，这就促使我们在研究问题时，要善于转化，善于在知识之间建立合理的联系，善于将复杂问题合理地向简单问题转化，“化橢为圆”让学生多了一种选择，促进了学生数学思维的发展，有利于培养学生程序化思考问题的习惯，提升学生的数学运算能力，促使其形成一丝不苟、严谨求实的科学精神.

学生数学学科素养的形成和发展，是在教师的启发和引导之下，通过自己的独立思考悟出来的，是一种逐渐养成的思维习惯和思想方法.数学之美，在于发现，因此有效挖掘题中所给信息，不仅是解题的需要也是优化知识结构、训练思维、提高数学素养的需要.

参考文献：

[1]侯宝坤.伸缩变换——兼谈化椭圆为圆问题[J].中学数学研究，2004（04）：31-33.

[2]王海军.聚焦“中点”多样解题[J].理科考试研究，2019，26（03），20-21.

（收稿日期：2019-10-28）