基于模糊层次分析法和D数的决策方法研究

莫泓铭，徐建林

(1.四川民族学院 图书馆，四川 康定 626001；2.四川民族学院 人事处，四川 康定 626001)

决策在日常生活中无处不在[1]. 决策过程主要涉及决策目标、决策者和决策对象等，比较复杂. 决策者是指决策过程的参与者，由多位专家组成. 决策者根据具体的决策目标，从多角度评价决策对象，找出明确的决策目标，完成决策过程. 但决策者由于知识、经验等主客观因素的限制，有可能产生不同的评价结果. 同时，决策对象通常是多属性的，不同属性在决策过程中所扮演的角色或者说起到的作用是不同的，即权重信息不同. 如何对决策者、决策对象的属性进行合理的权重分配及将决策信息有效融合一直以来都是决策方法研究领域的热点话题之一.

近年来，针对决策方法中权重分配问题，专家们提出了许多有效的办法，大致可以分为客观权重分配法，如灰色度关联法[2]、熵值法[3]、粗糙集法[4]；主观权重分配法，如层次分析法(AHP)[5]、模糊层次分析法(FAHP)[6-7]、二项式系数法[8]等；还有一类是将主客观权重分配方法按照某种运算规则合成，如基于离差平方和的集成法[9]等. 尽管权重分配方法众多，但至今没有一种普遍适用，都因其不同的原理与计算方式，适用于不同领域，并需结合实际采取不同的权重分配方法，提升决策的准确性与有效性.

层次分析法是20世纪70年代 Saaty教授提出的一种将定性与定量信息相结合的系统分析方法[10]，近年来被广泛应用于污水处理技术优选[11]、教学评价[12]、产业战略研究[13]等领域. 但存在诸多限制与不足，一是当矩阵的元素较多时，计算矩阵的最大特征根工作量大，检验判断矩阵的一致性非常困难；二是当矩阵不一致时，需调整矩阵的元素，使其具有一致性，但可能需要反复调整、校验多次才能满足一致性要求；三是检验矩阵一致性的标准CR<0.1来源于经验数据，缺乏必要的科学依据；四是当某一层次的评价指标多于4个时，判断矩阵的一致性与人们的常规思维有显著差距[14]. 基于此，模糊层次分析法[6-7]将模糊数学与层次分析法的优势有机结合起来，采用三角模糊数取代精确评价，克服了层次分析法的上述限制和不足，简化了决策过程，更加灵活可靠，结果更加科学、合理、贴近实际，并在生态脆弱性评价[15]、供应商可持续性评估[16]、高速公路路线优选[17]等领域得到了广泛应用.

证据理论(Evidence theory)是Dempster于1967年提出[18]，由Shafer进一步推广用于作为处理不确定信息的数学工具[19]. 与贝叶斯概率论相比，不需要先验信息，并且将贝叶斯概率单子集的赋值空间推广到幂集赋值空间. 由于其强大的不确定信息表达与处理能力，被广泛应用于图像融合[20]、故障诊断[21]等领域. 然而仍然存在诸多限制，如辨识框架上的元素之间必须两两互斥、信息必须完整，特别是著名的Zadeh悖论[22]，即“一票否决”制，进一步限制了其应用范围等. 为此，D数理论应运而生[23]，基于证据理论框架，汲取其优点并克服不足，提供更为灵活的信息表达与处理方式. 目前已被广泛应用于紧急决策研究[24]、环境影响评估[25]、灾害评估[26]等领域.

目前，Deng等将AHP和D数的聚集属性相结合，建立了D-AHP决策方法模型，并被应用于供应商选择，取得了良好的效果[27]. 但鉴于AHP在权重分配方面的限制与不足，本文拟结合FAHP和D数，建立D-FAHP决策模型. 在该决策模型中，运用FAHP来获取决策对象的属性权重、决策者的决策权重等信息；决策者的评价信息采用D数的方式来表达，一方面可以使决策者更加切合实际做出相应的评价，另一方面D数的相关特性有利于信息的快速融合，简化决策过程.

1 基础知识

1.1 模糊层次分析法(FAHP)

图1 三角模糊数

模糊层次分析法用三角模糊数的方式表达决策者的比较判断信息.

定义1设论域R上的模糊集F，或称三角模糊数F，可表示为(l，m，u)，如图1所示. 则F的隶属度函数μF：R→[0，1][28]表示为：

其中，l≤m，l≤u，l和u分别表示的下界和上界.u-l表示模糊集F的模糊程度，值越大，则模糊程度越高. 当该模糊数集F的隶属度为1时，其值为m.

定义2假如有两个模糊数F1=(l1，m1，u1)和F2=(l2，m2，u2)，其相关运算规则为

(2)

考虑到决策者的模糊与犹豫性，FAHP的两两比较矩阵采用三角模糊数F1、F3、F5、F7、F9来代替传统的1、3、5、7、9等精准数据，用F2、F4、F6、F8表示中间数值(如表1所示).

表1 FAHP评价信息表

模糊层次分析法获取权重的步骤如下：

第三步计算指标的综合模糊值并归一化. 即得到指标的初始权重为

(3)

其中，aij为矩阵中的元素，为模糊数形式.

第四步去模糊化，将矩阵中的模糊值转化为常数值. 假设F1=(l1，m1，u1)和F2=(l2，m2，u2)是两个三角模糊数，则F1>F2的可能度可定义为

(4)

那么，一个模糊数大于其他n-1个的可能度为

di=P(Fi≥F1，F2，…，Fj，…Fn)=minP(Fi≥Fn)，i，j=1,2,…,n，i≠j

(5)

其中，di代表第i个指标的初始权重. 将di归一化，即得到指标的最终权重，即

(6)

wi代表第i个指标的初始权重.

1.2 D数理论

假设U是一个有限的非空集合，D数是一个映射，即D：U→[0，1]，满足

(7)

其中，Ø是空集，A为集合U的任意子集. 与证据理论相比，在D数中，集合U中的元素不要求两两互斥，可以允许有交叉存在，如U={好，很好，一般，差，很差}，但彼此之间却很难找到明确的界限. 同时，辨识框架可以不完整，即允许D数的映射之和小于等于1，而不必硬性要求等于1. 当小于1时，信息是不完整的；等于1时，信息是完整的. 基于D数理论，决策者可以根据实际情况，灵活地表达相应的评价信息，而不用考虑信息是否完备.

属性1交换不变性假设D1={(d1，v1)，…(di，vi)，……(dn，vn)}和D2={(dn，vn)…(di，vi)…(d1，v1)}，其元素及对应的值完全一样，只是顺序不同，即顺序无关的，那么D1和D2相等.

属性2聚集性假设存在一个离散型D数，D={(d1，v1)…(di，vi)…(dn，vn)}，那么其聚集操作为

(8)

2 D-FAHP决策方法模型

本部分将建立D-FAHP决策方法模型，主要包括问题描述、权重信息(FAHP)、决策评价(D数)和信息融合(D数)等4部分(模型流程如图2所示).

图2 D-FAHP决策方法模型流程

问题描述 主要由决策组织者介绍决策问题的基本情况，含决策问题背景、决策对象、预期目标等，和如何合理选择评估专家(决策者)进行评估决策.

权重信息(FAHP) 主要由3个阶段构成. 首先，决策者群策群力等共同对决策对象进行层层分析，旨在确定其属性集. 其次，各决策者根据自身知识能力水平、偏好等主客观因素对属性集的元素两两进行比较，比较结果即评价信息以三角模糊数的方式表示，并构建属性指标权重信息评价矩阵. 最后，运用FAHP计算得到各属性指标的权重值. 需要说明的是，各属性指标有可能存在下一级指标，则重复上述步骤，进而得到各子属性指标的最终权重值.

决策评价(D数) 首先由决策组织者向决策者提供一个公用语言评价标准集. 然后，决策者对各决策对象的各属性进行评价，评价信息以D数的方式呈现. 最后，将评价信息进一步整理，构建基于决策者、决策对象及决策属性的决策评估矩阵.

信息融合(D数) 首先提供一张语言评价信息量化表，旨在将相关的语言评价信息转换成数值形式. 其次，基于D数的聚集属性，结合决策评估矩阵引入决策对象的属性权重信息. 再次，对各决策对象进行综合评估，得到综合评价信息. 最后，根据综合评价信息对各决策对象进行排序，供决策组织者参考.

3 案例应用

图3 汽车评估指标层次结构

某公司拟采购一批同型号的高级轿车，经初步调研，有同价位区间V1、V2、V3等三种品牌的某型号汽车满足要求，进入候选. 为确保评估结果的客观与公正性，公司邀请了资深汽车行业媒体人、具有二十余年驾龄的驾驶员以及大型汽车修理厂高级技工等三组专家(DM1、DM2、DM3)进行进行评估.

第一步确定属性权重信息.

决策组讨论并结合项目组织者需求，评估所涉及到的一级属性指标主要由发动机、品牌溢价和驾乘感受等构成. 其中，发动机由反应能力、油耗、发动机声音、加速效果等二级属性指标衡量；品牌溢价由口碑、市场占有率、高科技配置、维修/保养成本等二级指标构成；驾乘感受可从减震效果、通过性、隔音效果等二级指标层面考量，如图3所示.

本阶段的主要任务在于确定各属性指标的权重. 根据FAHP方法的流程步骤，组织三组决策者分别对相关属性指标进行两两比较，并以三角模糊数的方式表示评价信息.

首先，三组决策者给出一级属性指标比较评价矩阵(如表2所示).

表2 一级指标比较矩阵

由于涉及到三组决策者的评价信息，将其以算术平均的方式进行整合(见表3).

表3 一级指标权重信息评价矩阵

表4 一级指标(发动机)下属二级指标权重信息评价矩阵

同理，三组决策者对二级指标的权重信息进行评估并整理(如表4-6所示).

表5 一级指标(品牌溢价)下属二级指标权重信息评价矩阵

表6 一级指标权重信息评价矩阵

其次，根据式(2)和(3)计算一级指标的综合模糊值并归一化，即获得一级指标的初始化权重.

∑E=(1,1,1)+(1,2,3)+(1/5,1/3,1)=(2.2, 3.3333, 5)；

∑B=(1/3,1/2,1)+(1,1,1)+(1/4,1/3,1/2)=(1.5833, 1.8333, 2.5)；

∑C=(1,3,5)+(2,3,4)+(1,1,1)=(4,7,10)；

∑E+∑B+∑C=(7.7833, 12.1667, 17.5)；

再次，将得到的一级指标的初始权重去模糊化得到

一级指标E相对于一级指标B、C更重要的可能度为

而指标B、C分别相对于其他一级指标更重要的可能度为

最后，将一级指标E、B、C的可能度归一化，即得到一级指标E、B、C的权重为

将一级、二级指标权重整合，即得到二级指标的总权重，如表7所示：

表7 二级指标总权重

第二步决策评价.

决策组织者向决策组提供一个公用语言评价集，以便决策者在决策时采用. 本例采用五级制的公用语言评价集，即L={很好(E)，好(G)，一般(A)，将就(I)，差(P)}.

首先，决策组对在公用语言语言集框架下，以D数的方式对V1，V2，V3的各二级指标进行评价. 三组决策者的初步决策评估信息如表8-10所示.

表8 决策组DM1关于决策对象的评估决策矩阵

表9 决策组DM2关于决策对象的的评估决策矩阵

表10 决策组DM3关于决策对象的的评估决策矩阵

其次，采用语言评价信息量化表实现语言评价信息的数字化，如表11所示.

表11 语言评价信息量化表

再次，整理决策者评价信息表. 以决策组DM1关于决策对象V1的评价为例，据表8第2列可得

(9)

基于D数的聚集属性，结合表11和公式(9)，决策组DM1针对决策对象V1的最终评价可表示为：

(10)

结合表7中各二级指标的权重信息，运用D数的聚集属性，式(10)可简化为：

(11)

同理，决策组关于决策对象V1，V2和V3的最终评价信息如表12所示.

表12 决策者评价信息

决策对象的综合评价信息(如表12最后一列所示)，数值大小顺序为10.7618>9.7847>9.6009，即汽车品牌的候选顺序为V2>V1>V3，决策组应向决策组织者推荐采购V2汽车.

4 结语

汽车评估问题通过层次化建模的方式，将整体决策评估问题转化为对决策对象的属性评估. 基于FAHP法，构建汽车的一级指标两两评价矩阵，获得一级指标权重，再运用递归方法，得到第二层指标权重. 决策者在对不同汽车进行评估时，采用D数表达其评价信息，结合语言量化表，运用D数的聚集属性，最终得到各汽车的最终评价得分. 需要说明的是，传统的AHP法无法处理应用于本例，因为对各属性的权重评价模糊数不是对称的，不能简单取模糊数中值或将上下界值与中值的平均值来作为信息；即便模糊数是对称的，也需考虑矩阵一致性校验问题，如果不满足校验标准，也不能应用. 但可以将传统AHP法中的值扩展成上下界及中值完全一样的模糊数. 另外，虽然D数源于传统的证据理论，但证据理论却不能应用于本例，主要是因为存在信息不完整的情况，如表8中的第5行第2列.

本文将模糊层次分析法和D数理论相结合，构建了D-FAHP决策方法模型，实现了定量信息与定性信息的结合. 实例验证表明该方法是科学有效的. 本决策模型充分利用了FAHP和D数的优点，将复杂问题层次化、条理化. 运用FAHP确定权重，基于三角模糊数的方式来表达评价信息，与层次分析法的精确值相比，更加灵活与人性化. 并且权重信息仅分配到决策对象属性这一层面，可以进一步拓宽权重的分配范围，例如可以为决策者分配不同的权重信息，以期使D-FAHP与实际情况结合得更加紧密. 由于D数具有允许信息不完整等特性，可以允许决策者少评价甚至不评价，不用考虑评价信息必须完整的约束，因而D-FAHP在信息的表达方面具有灵活性.