“向心加速度、向心力”的深度教学

摘   要：学习圆周运动时，部分学生不能从运动学的角度理解向心加速度，从而不能通过学习圆周运动深化对力和运动关系的理解，这不利于促进学生力和运动观念的形成。笔者在教学时，从运动学的角度，从速度的矢量运算和运动的合成与分解两个方向，引导学生探究了匀速圆周运动向心加速度和向心力的表达式，并利用推导的结果讨论了物体做向心运动和离心运动的条件。实现学生物理观念的形成和核心素养的培养。

关键词：物理观念;力和运动;匀速圆周运动;速度变化;向心加速度

中图分类号：G633.7 文献标识码：A    文章编号：1003-6148（2020）2-0056-4

匀速圆周运动是一个重要的物理模型。分析和研究圆周运动是力和运动关系在具体情境中的综合运用。深入挖掘这部分内容进行深度教学，有助于促进学生力和运动观念的形成，有助于学生科学思维能力的培养，有助于学生物理学科核心素养的提高。

1    问题的提出

做匀速圆周运动的物体速度大小不变，方向不断发生变化。很多学生知道匀速圆周运动是变速运动，认为做匀速圆周运动的物体应该有加速度;但处理加速度大小时，他们会将速度的数值直接代入a= ，这样他们会认为做匀速圆周运动的物体加速度大小为零。很多学生知道向心力的概念，处理匀速圆周运动的实际问题时，很多学生能直接写出向心力的表达式Fn=m ，但当你问起这个表达式和牛顿第二定律的关系时，他们往往觉得这是处理圆周运动的专用公式，和牛顿第二定律无关。在一般性的教学中，学生获得向心加速度的方式往往是通过实例感受向心力的存在，进而得出做匀速圆周运动的物体有向心加速度。但对“这个加速度是如何随着时间的累积不断改变物体的速度的？”“有了这样的加速度物体的运动轨迹为什么会是圆周？”一般都不作进一步的探讨和说明。这其实割裂了运动学里速度和加速度等物理概念之间的本质联系，不利于学生把圆周运动等相关物理知识统整在力和运动的大概念之下，不利于学生力和运动观念的形成[1]。

2    教学实践

北京师范大学的王磊教授提出：学科知识的认识方式是知识转化为能力素养的核心机制。在这部分教学中，笔者引导学生建构物理模型，用两种不同的方法从运动学的角度推导匀速圆周运动向心加速度的表达式，并通过向心力演示器半定量地验证向心力和各个物理量的关系。让学生经历了一个较为完整的探究过程。在努力加深学生对圆周运动的基本知识和分析方法认知的同时，实现学生力和运动观念的形成和物理学科核心素养的培养。

2.1    学情分析

学生已经学习了描述圆周运动的线速度、角速度、周期、频率等概念;积累了一定的使用牛顿运动定律处理匀变速直线运动的物理经验;会使用平行四边形定则或三角形法则处理力的合成与分解问题;學习了平抛运动，有了一定的处理运动合成与分解的经验。高中学生思维正从直观形象型向逻辑抽象型过渡，但思维还常常与感性经验直接联系，思维过程中仍需具体、形象的材料支持。

2.2    利用速度运算的矢量法则和牛顿运动定律分析匀速圆周运动问题

2.2.1    做匀速圆周运动的物体的加速度

（1）建构物理模型

根据匀速圆周运动的特征，建构如图1所示模型，质量为m的小球，以O为圆心，以大小为v的速度，做半径为R的匀速圆周运动。经过一小段时间从A点运动到B点，小球经过A、B两点时速度分别为vA、vB。

（2）做匀速圆周运动小球的速度变化

如图2，将矢量vA从A点平移至B点，则图中由vA指向vB的有向线段即为小球从A点到B点的速度变化Δv。

因为△OAB和矢量△BCD都是等腰三角形，又因为∠AOB=∠CBD

所以△OAB∽△BCD

所以 =   即  =

整理得： Δv= v  （1）

（3）做匀速圆周运动的小球的瞬时加速度大小

根据加速度的定义a= ，将（1）式代入得：

a= v  （2）

若取时间t趋于零，则可得小球的瞬时加速度。且若t趋于零，AB段弦长可看作弧长。可得AB=vt（3）

将（3）式代入（2）式可得：a=

（4）做匀速圆周运动的小球的瞬时加速度方向

因a= ，讨论瞬时加速度方向，也应取时间t趋于零。若取时间t趋于零，则∠AOB趋于0°，因∠AOB=∠CBD，故∠CBD也趋于0°，所以等腰三角形△BCD的两个底角趋于90°。因此可以认为CD⊥BC，即Δv⊥vA。而加速度a的方向和速度变化Δv的方向相同，所以小球在A点时的瞬时加速度a垂直于小球的瞬时速度vA。可见，小球的瞬时加速度方向是指向圆心的。我们称这个加速度为向心加速度，记为an。

所以，做匀速圆周运动的物体，速度不断发生变化，加速度大小为an= ，方向始终指向轨迹的圆心。

2.2.2    做匀速圆周运动物体的受力

要想产生指向圆心方向、大小为 的向心加速度，根据牛顿运动定律，物体必须受指向圆心方向、大小为m 的合力。我们称这个合力为向心力，记为Fn。

2.2.3    关于离心运动和向心运动的讨论

（1）若小球的实际加速度a ﹤an，即a ﹤ ，则图2中小球的Δv会变小。在矢量三角形△BCD中，CD边变短， D点上移，导致CD边偏向圆外，即 vB会偏离切线指向圆外，小球将做离心运动。

若物体指向圆心方向的加速度a 小于向心加速度an，根据牛顿运动定律，则小球受到的指向圆心方向的合力F 小于向心力Fn，所以当小球受到的指向圆心方向的合力F 小于m 时，小球做离心运动。

（2）若小球的实际加速度a ﹥an，即a ﹥ ，则图2中小球的Δv会变大。在矢量三角形△BCD中，CD边变长， D点下移，导致CD边偏向圆内，即 vB会偏离切线指向圆内，小球将做向心运动。

若物体指向圆心方向的加速度a 大于向心加速度an，根据牛顿运动定律，则小球受到的指向圆心方向的合力F 大于向心力Fn，所以当小球受到的指向圆心方向的合力F 大于m 时，小球做向心运动。

2.3    利用运动的合成与分解、牛顿运动定律分析匀速圆周运动

2.3.1    做匀速圆周运动的物体的加速度

（1）建构物理模型

建构如图3所示的模型，质量为m的小球，以O为圆心，以大小为v的速度，做半径为R的匀速圆周运动。如果小球不受外力，小球将沿切线方向做匀速直线运动，小球的运动轨迹将会偏离圆弧。若想让小球在圆弧上运动，则小球应受一个指向圆心的力，是这个力将小球拉回到圆弧上的。即在极短的时间内小球从A沿圆弧到C的匀速圆周运动，可以看作小球沿切线从A到B的匀速直线运动和小球从B到C做初速度为零的匀加速直线运动的合运动。

（2）推导匀速圆周运动的加速度

如图3所示，因△OAB为直角三角形，由勾股定理得：

OA2+AB2=（OC+BC）2（4）

沿切线AB方向做匀速直线运动，所以：

AB=vt（5）

沿BO方向做初速度为零的匀加速直线运动，所以：BC= at2（6）

将（5）（6）式代入（4）式得：R2+（vt）2=（R+ at2）2

整理得：v2=Ra+ a2t2

因为t趋于0，所以t2更趋于0，所以Ra远远大于 a2t2，故可以略去 a2t2

得：a=

因BC方向是指向圆心的，所以我们称这个加速度为向心加速度，记为an。

2.3.2    做匀速圆周运动物体的受力

要想产生指向圆心方向、大小为an= 的加速度，根据牛顿运动定律，物体必须受指向圆心方向、大小为m 的合力。我们称这个合力为向心力，记为Fn。

2.3.3    关于离心运动和向心运动的讨论

（1）若小球的实际加速度a ﹤an，小球沿BO方向的位移將会减小，小球将落不到圆上的C点，而是会落在BC之间，如D点（如图4），可见小球将出现在圆的外侧，即小球到圆心的距离变大了，小球做的是离心运动。

若物体指向圆心方向的加速度a 小于向心加速度an，则小球受到的指向圆心方向的合力F 小于向心力Fn，所以当小球受到的指向圆心方向的合力F 小于m 时，小球做离心运动。

（2）若小球的实际加速度a ﹥an，小球沿BO方向的位移将会变大，小球将超过圆上的C点，将会出现在OC之间，如E点（如图4），则小球将出现在圆的内侧，即小球到圆心的距离变小了，小球做的是向心运动。

若物体指向圆心方向的加速度a 大于向心加速度an，则小球受到的指向圆心方向的合力F 小于向心力Fn，所以当小球受到的指向圆心方向的合力F 大于m 时，小球做离心运动。

2.4    半定量验证向心力和各物理量之间的关系

用如图5所示的向心力演示器，通过控制变量，半定量验证向心力和各物理量之间的关系。（因为向心力演示器不能准确测量各物理量的大小，但可以通过各物理量之间的倍数关系验证向心力的表达式，因此我们称其为半定量验证。）

选择质量不同但有倍数关系的小球，改变小球所放置的位置和改变皮带轮的半径比，半定量验证做匀速圆周运动的物体的向心力大小和描述圆周运动的各物理量之间的关系。完成对上述理论推导的验证。

3    教学反思

（1）“物理观念”是物理概念和规律等在头脑中的提炼与升华;是从物理学视角解释自然现象、解决实际问题的基础。在平时的教学中应该着眼于促进学生物理观念的形成，促进物理核心素养的提高。圆周运动中向心加速度的推导的确有一定难度，但对基础较好、学习能力较强的学生理解起来也不是太难。重要的是这样的教学有利于促进学生力和运动观念的形成和学科核心素养的培养。

（2）模型的建构与选取，矢量的三角形运算、运动的合成与分解的应用，以及探究式教学的使用有助于学生科学思维能力的培养[2]。教学中选取合适的切入点，以提升学生的思维能力为核心进行深度教学，有助于学生科学思维能力的培养，有助于学生核心素养的提升。

参考文献：

[1]何春生，翟小铭.“万有引力定律的应用”——建模教学的课堂实践[J].中学物理教学参考，2016，45（1）：13-16.

[2]何春生.巧用物理模型提高思维能力——由求解带电粒子在匀强电场中的运动谈起[J].物理通报，2014（5）：65-67.

（栏目编辑    罗琬华）