基本不等式的应用是高中数学教学的重点和难点之一,自然也成为高考数学命题的热点。纵观近几年的高考试卷,基本不等式都是必考考点,并且涉及基本不等式的内容都侧重于对考生能力的考查,这就要求考生不仅能够直接运用基本不等式求解,还需要掌握运用消元、换元以及配凑等方法将式子进行适当变形,构造出利用基本不等式的条件,然后运用基本不等式来求解。
运用基本不等式求函数最值的三个必要条件是“一正、二定、三相等”。在具体的题目中,“正数”条件大多可以从题干中找到,“相等”条件同样比较容易确定,而往往是“定值”条件难以解决。它需要解题者有熟练的解题能力和变形技巧。通常,当积为定值时,和有最小值;当和为定值时,积有最大值。因此,在求和的最小值时,就要想到把积凑成定值,在求积的最大值时,要想到把和凑成定值。笔者根据自身的数学解题和教学经验,从一元函数求最值、二元函数求最值和多元函数求最值的角度,将基本不等式在函数最值中的应用举例如下。
一元函数的最值问题作为高中数学最值问题的基础,一般出现在填空和选择题中。求解一元函数的最值问题,通常需要运用简单的消元、换元等方法,构造基本不等式的条件,从而求解函数的最值。
例1.已知正实数x,y满足xy+2x+y=4,则x+y的最小值为_________.
分析:本道题不能直接使用基本不等式进行求解,而只能通过系列的转化方法,如消元、换元等,将其转变为只有一个自变量x的一元函数最值问题,然后通过配凑的方法,将目标式子构造成能够利用基本不等式求最值的条件,最后运用基本不等式求最值的方法来求解。
解:由正实数x,y满足xy+2x+y=4,有,且0
令x+1=t∈(1,3),则x+y=t-1+.
当且仅当t=,即x=-1 时取等号.
∴x+y的最小值为-3.
二元函数指的是含有两个自变量的函数,类似于z=f(x,y)。二元函数的最值问题是高中数学经常考的热门问题。根据两个自变量之间的相关关系可以将二元函数分成两类,第一类是两个自变量之间没有联系的二元函数,第二类是两个自变量之间存在方程或者不等式的关系。求解二元函数较难的最值问题时,核心思想在于通过换元和配凑等方法,将二元函数转换为一元函数求解。
例2.已知正实数x,y满足x+3y+=10,则xy的最大值是_________.
分析:此题关键是通过换元以及适当变形,构造出满足基本不等式的条件,然后运用基本不等式求解。
解:设xy=t>0,则y=.
∴x+=10,
整理得,3t2-11t+8≤0.
∴1≤t≤,当且仅当, 即x=1,y=1 或x=2,y=时取等号.
∴1≤xy≤,即xy的最大值是.
例3.设x,y为实数,若6x2+3y2+6xy=1,则2x+y的最大值为_________.
分析:本题可通过配方等变形方式,构造出利用基本不等式的变形条件a2+b2≥来解决。
解:由6x2+3y2+6xy=1,得x2+(x+y)2=,
多元函数是高中数学函数中的重要概念之一。由于其涉及多元的函数成分,因此其具有难度大、灵活性强以及方法众多等特点,成为基本不等式中求函数最值的重难点。与此同时,多元函数求最值的问题中具有多种不同的数学逻辑和解题方法,有助于锻炼学生灵活解题的能力。因此,如何顺利地解答多元函数求最值的问题,成为高中数学教师以及学生所应该重点关注和解决的问题,也应该成为即将参加高考学生的必备技能。
例4.已知x,y,z均为实数,且满足x2+2y2+z2=1,则的最大值为_________.
分析:本题需要将已知条件拆凑成利用基本不等式的条件进而求解,变形要求较高,不容易想到。
解:由题意可知,1=x2+2y2+z2=x2+.
高考复习的时候需要训练考生掌握和灵活运用基本方法,这样才可以顺利地将复杂的函数问题转化为较为简单的函数问题。同时,教师还应该培养学生从陌生的数学问题中分离出熟悉的函数最值问题,能够做到举一反三、触类旁通,这样才可以帮助学生快速找到解决的办法,使学生对该类数学问题有更深入的认识。