2020年高考解析几何命题预测

许少华

解析几何的内容包括：直线方程、圆的方程、椭圆、双曲线与抛物线.但在近年的高考命題中却以椭圆、双曲线、抛物线为主. 这三个曲线齐上阵，命选择题、填空题还是解答题，也是三个轮流坐.其中在解答题的命制上，以椭圆为最多，抛物线次之，双曲线从2011年至今从未以解答题的“身份”出现在全国高考的（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）理科试卷中.转眼进入了2020年，那么，这一年高考命题在解析几何这一重要的知识块中将如何设计？下面我们谈谈自己的粗浅之见，不妥之处，请指正.

一、客观题突出精与巧

客观性试题是高考的重要题型之一，在这里每年都会出现两道或三道解析几何试题，这些题的一大特点是“精、巧”，看着不难，但，真的很“耐做”.

1. 若在直线与圆中设计试题

例1 点A在椭圆x2+2y2=4上，点B在直线y=2上，且OA⊥OB（O为原点），则直线AB与圆x2+y2=2的位置关系为（    ）

A. 相切     B. 相交     C. 相离     D. 前三种情况都有可能

解析 设点A， B的坐标分别为（x0， y0），（t， 2），其中x0≠0.

因为OA⊥OB，所以■·■=0，即tx0+2y0 =0？圯t=-■，

当x0=t时，y0 =-■，代入椭圆C的方程，得t=±■，

故直线AB的方程为x=±■，圆心O到直线AB的距离d=■.

此时直线AB与圆x2+y2=2相切.

当x0≠t时，直线AB的方程为y-2=■（x-t）.

即（y0-2）x-（x0-t）x+2x0-ty0=0.

圆心O到直线AB的距离d=■又及t=   -■.

故d=■=■=■.

此时直线AB与圆x2+y2=2相切.

点评 对于直线与圆的位置关系问题，常规的处理方法有两种，将直线与圆的方程联立产生方程组，通过根的判别式得到结论. 或者求圆心到直线的距离，通过圆心与直线的距离与圆半径之间的大小关系产生结论，本题的处理方法就是第二种方法.

2. 若在椭圆中设计试题

例2 已知椭圆C：■+■=1 （a>b>0）的左、右焦点为F1，F2，离心率为e，直线l：y=ex+a与x轴、y轴分别交于点A，B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是F1点关于直线l的对称点，设■=？姿■，若？驻PF1F2是等腰三角形，则？姿的值为________.

解析 由题意得是A（-■， 0），B（0， a），由y=ex+a，■+■=1？圯x=-c，y=■，其中c=■，所以点M的坐标是（-c， ■），由■ = ？姿■ 得（-c+■， ■）=？姿（■， a），得？姿=1-e2，由PF1⊥l，得∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角，要使？驻PF1F2为等腰三角形，必有 |PF1 | = |PF2 |，即■|PF1 | = c.设点F1到l的距离为d，由■|PF1 |=d=■=■=c，得■=e所以e2=■，于是？姿=1-e2=■，即当？姿=■时，？驻PF1F2为等腰三角形.

点评 本题有点“曲径通幽”的味道，虽然，难度不是很大，但求解并非一帆风顺，从条件迈向结论还是需要小心、谨慎才是.

3. 若在双曲线中设计试题

例3 过点（1， 0）作直线交双曲线■-■=1的右支于M，N两点，若 ■·■=0，O为坐标原点，则？姿的范围为（   ）

A. （■，1）      B. [■，■）

C. [■，1]     D. [■，2）

解析 设M（x1， y1），N（x2， y2），

① 当MN垂直于x轴时，MN的方程为x = 1，M（1， 1），N（1， -1）在双曲线上.

即■-■=1？圯？姿2+？姿-1=0？圯？姿=■，因为0<？姿<1，所以？姿=■.

②当MN不垂直于x轴时，设MN的方程为y=k（x-1）.

由■-■=1，y=k（x-1）？圯[？姿-（1-？姿）k2]x2+2（1-？姿）k2x-（1-？姿）（k2+？姿）=0.

由题意知： [？姿-（1-？姿）k2]≠0，

所以x1+x2=■，x1x2=■.

于是：y1y2=k2（x1-1）（x2-1）=■.

因为 ■·■=0，且M，N在双曲线右支上，所以

x1x2+y1y2=0，x1+x2>0，x1x2>0？圯k2=■，k2>■？圯■>■，？姿2+？姿-1>0？圯■<？姿<■.

由①②，知■≤？姿<■.

点评 本题的条件很精练，但求解并不顺利，要考虑的情况较为复杂，运算量也比较大，运算过程中对处理方程的能力要求较高、对字母运算的能力要求也比较高.

4. 若在抛物线中设计试题

例4 已知抛物线y2=2px（p>0），过动点M（a， 0）且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A，B，且|AB |≤2p，若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，则？驻NAB面积的最大值为__________.

解析 设直线l的方程为y=x-a代入抛物线方程得（x-a）2=2px？圯x2-2（a+p）x+a2=0，∴ |AB | = ■·■≤2p？圯4ap+2p2≤p2？圯4ap≤-p2.