巧破常规法 妙解二项式

■江苏省张家港中等专业学校

二项式定理是高中数学内容与体系中较为独特的一部分知识,内容并不多,难度并不大,却充分展示了中学数学中待定系数法、构造法、特殊值法、赋值法和逆向思维等基本方法思想。破解二项式问题常见的思维方式就是借助二项式定理进行展开,而常见的方法是通过二项式公式的正向与逆向应用、赋值应用来解决问题,其实还可以利用一些其他的非常规方法来巧妙解答相关的二项式定理问题。下面结合实例,以非常规技巧方法来妙解二项式问题。

1.巧转化

在二项式定理的相关问题中,经常会见到多于二项的多项式或较为复杂的多项式问题,解题时要通过合理转化,把多于二项或较为复杂的多项式问题转化为与之对应的二项式定理的问题来分析与求解。

例1在的展开式中,x3y3的系数为_____。的合理变形,要求解原展开式中x3y3的系数,就可以转化为求解较为简单的

分析：根据展开式中的含xy项的系数问题,这样合理转化,易于操作,过程简单方便。

解：由于的展开式中x3y3的系数,只需求的展开式中含xy项的系数即可。

点评:结合展开式中关系式的运算,分解相关问题,进行有效的转化,把较为复杂的二项式问题转化为较为简单的二项式问题,这样使得解题过程化繁为简,起到事半功倍的效果。

2.巧换元

在解决一些二项式定理的相关问题时,经常会碰到二项展开式的等式左右两边所对应的幂的底数不一致的情况,此时往往可以借助换元思维来处理,有效降低数学思维的难度,使得问题变得简单易解。

例2已知a1(x-1)4+a2(x-1)3+a3(x-1)2+a4(x-1)+a5=x4,则a2+a3+a4=( )。

A.12 B.13 C.14 D.15

分析：观察二项展开式的等式左右两边,可知含有未知数的幂的底数不一致,从而需要通过巧妙换元转化为一般情况下的二项展开式问题,再通过二项式定理的相关知识来分析与解决。

解：令x-1=t,则有x=t+1。

结合题目条件,可得(t+1)4=a1t4+a2t3+a3t2+a4t+a5。

利用二项式定理,则有：

故答案为C。

点评:结合二项展开式中幂的特征进行换元处理,化陌生的二项展开式问题为熟知的二项式定理问题,借助二项式定理的相关知识来分析与处理即可。换元思维,使得问题熟悉化、常规化,从而得以借助常规思维来解决与处理。

3.巧分组

在解决一些涉及三项或更多项的展开式问题时,经常根据题目条件,对相应的三项或更多项的展开式进行合理分组,转化为二项展开式问题,再通过二项式定理的相关公式或性质来分析与处理。

例3(x2+3x+2)5的展开式中含x的项的系数为_____。

分析：结合题中条件中的三项展开式(x2+3x+2)5中关系式的特征,合理进行因式分解x2+3x+2=(x+1)(x+2),把问题中的三项式问题进行巧妙转换,再结合二项式定理来解决即可。

解：(x2+3x+2)5=(x+1)5(x+2)5=

可知展开式中含x的项为

所以展开式中含x项的系数为240,答案为240。

点评:对于三项式或更多项的展开式中的特定项问题,一般先对三项式进行合理变形,比较常见的变形方式就是借助因式分解巧妙分组,进而转化为与之对应的二项式问题,再利用二项式定理解决。

4.巧建模

对于一些特殊的二项展开式问题,如果给出相关项的特征,结合组合模型特征,通过从相关二项式所对应的因式中按要求提取相关的因式,进而达到满足条件的目的,通过合理建模来解决相应的系数问题。

例4(2015年全国课标Ⅰ卷理科第10题)(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为( )。

A.10 B.20 C.30 D.60

分析：根据题目条件,可以把二项展开式(x2+x+y)5看作5个因式x2+x+y的乘积,根据所求的项x5y2的特征,分配各相应的因式中所要提取的关系式,利用组合模型特征来进行处理。

解：在(x2+x+y)5的5个因式中,要使得取出的项为x5y2,那么应该从这5个因式中,其中2个因式提取项x2,剩余的3个因式中1个提取项x,其余2个因式提取项y,这样就使得展开式中的项满足题目条件。

根据组合模型特征,可得x5y2的系数为=30,故答案为C。

点评:结合二项展开式中所求项的特征,合理建立组合模型来巧妙处理。解决此类问题往往回归二项式定理的本质特征与数学模型——组合,利用组合模型特征来分析与处理,方法巧妙,简单易懂,同时处理问题也自然流畅。

5.巧求导

在解决一些与二项式定理有关的参数值、系数和、代数式和、恒等式求值以及关系式证明等相关问题时,结合对应代数式中系数特征,通过对二项展开式两边进行求导,再结合特殊值的赋值处理等相关方法来达到破解问题的目的。

例5已知(4x-3)8=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7+a8x8,则a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6+7a7+8a8=_____。

分析：结合所求关系式的系数特征,其相关的系数恰好是二项式右边自变量x的次数,由此联想到幂函数的求导公式,通过对等式两边求导,再对自变量x进行适当的赋值来分析与求解。

解：已知等式(4x-3)8=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7+a8x8,两边对x进行求导,得：

32(4x-3)7=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4+6a6x5+7a7x6+8a8x7。

令x=1,则有a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6+7a7+8a8=32×(4×1-3)7=32。

故答案为32。

点评:结合关系式的系数特征进行合理的求导处理,可以针对性配凑到相对应的系数,达到巧妙破解问题的目的。若用二项式定理展开来处理,则会相对比较麻烦,运算量也会倍增,解题过程也更为复杂。

其实,除了以上几种破解二项式定理的非常规方法外,还有其他的一些相关的方法可以采用,需要我们在在学习过程中不断加以总结、积累与反馈。破解二项式定理问题的关键是正确分析题目条件,结合相关知识点加以合理转化与化归,采用切实可行的方法,从而达到解决二项式定理问题的目的。特别地,一些非常规的方法与技巧对同学们思维的发展、能力的提高和核心素质的培养都是十分有益的。