用导数证明函数不等式的基本策略

■陕西省武功县教育局教研室 (特级教师)

导数是证明函数不等式的重要工具,但在具体应用时,同学们必须要充分利用函数的单调性和极值(最值)条件,根据函数不等式的结构类型,采取行之有效的解题策略,最基本的方法有三种：直接法、一分为二法和合二为一法,从而做到解题时有的放矢。

一、直接法

对于f(x)＞C或者f(x)＜C(C为非零常数)型的函数不等式,可以通过对函数f(x)先求导然后确定最值的方法进行证明。

例1已知函数,求证：f(x)＜1。

证明：由题意知x＞0,对函数f(x)求导,得：

当x∈(0,2)时,得f′(x)＞0,f(x)在(0,2)上单调递增；

当x∈(2,+∞)时,得f′(x)＜0,f(x)在(2,+∞)上单调递减。

所以f(x)max=f(2)=ln 2。

故f(x)≤f(x)max=ln 2＜1。

例2已知函数求证

证明：对函数f(x)求导,得：

令f′(x)=0,得x=2。

当x∈(0,2)时,则f′(x)＜0,f(x)在(0,2)上单调递减；

当x∈(2,+∞)时,则f′(x)＞0,f(x)在(2,+∞)上单调递增。

易知(x-lnx)f(x)≥1·f(x)=f(x)。②

并注意到①②两个不等式中等号不能同时成立,所以有：

点评:例2的证明中用到了常用的对数不等式lnx≤x-1,在解题时,如果忽视了此不等式等号成立的条件为x=1,那么就会出现错误。另外,如果利用此不等式,将例1所证函数不等式放缩为整理得(x-2)(x-4)＞0,解得x＞4或者x＜2,这样就将函数f(x)的定义域缩小了,因此这种思路是不可取的。

二、一分为二法

对于f(x)＞0或者f(x)＜0型的函数不等式,可以先通过变形,将原不等式转化为g(x)＞h(x)或者g(x)＜h(x),再通过求导后确定最值的方法进行证明。

例3已知函数,求证：f(x)＞0。

证明：已知x＞0,原不等式等价于：

令g′(x)=0,得

令h′(x)=0,得x=2。

当x∈(0,2)时,得h′(x)＞0,h(x)在(0,2)上单调递增；当x∈(2,+∞)时,得h′(x)＜0,h(x)在(2,+∞)上单调递减。

例4已知函数(x+1)lnx,求证：f(x)＞0。

证明：要证f(x)＞0,即证(x+1)lnx＞0,此不等式等价于：

令h′(x)=0,得x=e。

当x∈(0,e)时,得h′(x)＞0,h(x)在(0,e)上单调递增；

当x∈(e,+∞)时,得h′(x)＜0,h(x)在(e,+∞)上单调递减。

点评:在例3、例4中,由于已知函数f(x)的结构较为复杂,直接求导后,利用单调性确定最值比较麻烦,但是将函数f(x)分拆变形后得到两个较为简单的函数g(x)和h(x),证明就变得很顺畅了。

三、合二为一法

对于f(x)≥g(x)或者f(x)≤g(x)型的函数不等式,可以通过先作差,即令h(x)=f(x)-g(x),将问题转化为h(x)≥0或者h(x)≤0。

例5已知函数=lnx,求证：g(x)≥f(x)在[1,+∞)上恒成立。

证明：要证g(x)≥f(x),即证lnx≥此不等式等价于：

(x2+1)lnx≥2x-2。①

令h(x)=(x2+1)lnx-2x+2,则：

当x∈[1,+∞)时,2xlnx≥0,x+2≥0,所以h′(x)≥0,可知h(x)在[1,+∞)上单调递增,由此得h(x)≥h(1)=0。

所以①式成立,从而原不等式成立。