一道不等式竞赛试题的证明及推广

张晓建

(安徽省滁州中学 239000)

一、试题呈现

(第8届香港奥林匹克试题)设a,b,c,d>0，且满足a+b+c+d=1，求证：

为后续行文方便，笔者在这里把证明所需不等式一并介绍.

算数—几何平均值不等式设x1,x2,…,xn∈R*,则

其中等号当且仅当x1=x2=…=xn时取到.

柯西不等式设ai,bi∈R,i=1,2,…,n，则

(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2，

当数组a1,a2,…,an，b1,b2,…,bn不全为0时，等号当且仅当bi=λai(1≤i≤n)时成立.

排序不等式设有两组数a1,a2,…,an，b1,b2,…,bn，满足：a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn，则有

a1bn+a2bn-1+…+anb1(反序和)

≤a1bt1+a2bt2+…+anbtn(乱序和)

≤a1b1+a2b2+…+anbn(同序和).

其中{t1,t2,…,tn}={1,2,…,n}.当且仅当a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn时等号成立.

切比雪夫不等式设两个正数序列{an},{bn},

若a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn，则

二、解法赏析

解析一0

我们首先证明：

即证48x3-8x2-5x+1≥0,

即证(4x-1)2(3x+1)≥0.

而当0

则f(a)+f(b)+f(c)+f(d)

解析二原不等式等价于

48(a3+b3+c3+d3)≥8(a2+b2+c2+d2)(a+b+c+d)+(a+b+c+d)3，

展开化简可得：

≥a2b+b2c+c2d+d2a。

此不等式证明可以使用排序不等式解决，在这里不做证明，其余三式类似表达.

评析利用已知条件a+b+c+d=1，将不等式两边齐次化，然后展开即可证明不等式，有一定的运算量，注重于齐次化思想以及排序不等式的应用.

解析三6(a3+b3+c3+d3)

解析四由柯西不等式得：

4(a2+b2+c2+d2)≥(a+b+c+d)2

由切比雪夫不等式得：

故原不等式左边满足：

评析直接利用切比雪夫不等式和柯西不等式解决问题，紧抓不等式结构特点，实现降次、放缩，进而完成证明.当然也可以使用柯西不等式直接证明，由此我们也可以有下证明方法.

解析五由柯西不等式得：

4(a2+b2+c2+d2)≥(a+b+c+d)2

(a3+b3+c3+d3)(a+b+c+d)

≥(a2+b2+c2+d2)2

⟺a3+b3+c3+d3≥(a2+b2+c2+d2)2,

即证48(a2+b2+c2+d2)2-8(a2+b2+c2+d2)-1≥0，

即证[4(a2+b2+c2+d2)-1][12(a2+b2+c2+d2)+1]≥0.

三、结论推广

证明由柯西不等式得：

由切比雪夫不等式得：

故原不等式左边满足：

证明对m∈N*使用数学归纳法进行证明.

由柯西不等式可知不等式成立.

②假设m=k时，不等式成立,

则当m=k+1时,

由切比雪夫不等式可得：

即当m=k+1时，不等式成立.

本文从一个4元不等式出发，在证明的过程中，发现并得到其n元形式，同时对n元形式又加推广，与广大的不等式爱好者共享，希望能够一起探讨、交流.