有效关联，深度理解平均数

杨娜先

【摘要】作为统计的关键概念之一，平均数是一个重要的刻画数据集中趋势的统计量.想要掌握平均数的概念，教师除了要在新授课中深入解读教材、有效开展教学之外，对于习题的设计是帮助学生深化理解的又一重要领地.本文以一道平均数习题为例，从知识本源和过程型序层面，围绕“有效关联，深度理解”，从背景与价值、思路与关联、拓展与反思三个方面展开探究.

【关键词】平均数;统计;学科本质;关联;有序

去年5月，我校南京市前瞻性项目《小学数学学科素养下“五有”课堂育人模式的探索与实践》正式立项.“五有”课堂倡导学科内容有本有源，教学过程有型有序.学科内容有本有源，强调沟通知识之间的联系，凸显数学本质;教学过程有型有序，体现关键问题引领下的自主探索和教与学的有序开展.

下面以苏教版四年级上册第四单元《统计表和条形统计图（一）》中的一道习题为例，围绕“有效关联，深度理解”，从背景与价值、思路与关联、拓展与反思三个方面展开分析.

【习题呈现】

一、背景与价值

理解和掌握核心概念是统计与概率领域的教学重点.在小学阶段，对于作为统计核心概念的平均数进行教学时，教师除了要深入解读教材，有效开展教学之外，还要认识到习题的设计是深化概念理解的又一重要领地.

分析上面的题目，其涉及的知识本质是平均数的意义.作为统计的关键概念（数据、随机、平均、取样、样本、总体等）之一，平均数是一个重要的刻画数据集中趋势的统计量，能够较好地反应一组数据的总体情况，对于统计结果的分析起着至关重要的作用.

本题的解决过程蕴涵的思想方法主要有统计思想、可逆思想、模型思想、推理思想，还可能应用到数形结合思想、一一对应思想、比较思想、假设思想、方程思想、函数思想、转化（出入相补）思想等，涉及的核心素养主要是数据分析，数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象等也有所涉及.

二、思路与关联

学生在解题过程中，通常有以下几种思路.

利用条形图，课件可以聚焦放大分数差部分，依次通过动画演示，把数学和语文比平均分少的那部分直条移到表示英语的直条上方.（线段图同理）

【分析：利用条形图可清楚直观地看到“移多补少”的过程.此思路蕴涵统计思想、数形结合思想、推理思想、一一对应思想、比较思想、转化（出入相补）思想】

思路四：推理法

三门科目中，语、数两科的成绩都低于平均分，那么英语成绩肯定高于平均分.四个选项中只有A选项大于90，所以选A.

【分析：根据平均数的特征推理得出.此思路较为抽象，蕴涵统计思想、模型思想、推理思想、比较思想、函数思想、出入相补思想】

下面几种思路不常见.

思路五：代入法

【分析：把四个选项依次代入表格中计算，哪个正确就选哪个.此思路蕴涵统计思想、可逆思想、模型思想、推理思想、比较思想、假设思想】

思路六：从失分角度想起

【分析：假设每科的满分都为100分，用三科的总失分减去语、数失分，就是英语失分.此思路蕴涵统计思想、可逆思想、模型思想、推理思想、比较思想、假设思想】

思路七：假设法

【分析：先假设英语的分数，如果结果有偏差再做整体调整.此思路蕴涵假设思想、统计思想、可逆思想、模型思想、推理思想、比较思想】

【分析：计算出语、数两科的“平均分总分”与实际总分的差，再与平均分相加减.此思路蕴涵统计思想、可逆思想、模型思想、推理思想、比较思想、函数思想、出入相补思想】

思路十：以80分作为参照

【分析：因为已知的两科成绩都在80分以上，所以以80分作为参照，再根据总分间的差进行计算.此思路蕴涵统计思想、可逆思想、模型思想、推理思想、比较思想、函数思想、出入相补思想】

思路十一：列方程求解

设莹莹的英语成绩为x分，列方程89+88+x=90×3，解得x=93.

【分析：由“三科成绩相加=平均分×3”列方程解答.此思路蕴涵方程思想、统计思想、可逆思想、模型思想、推理思想】（当然，列方程求解时可以列出不同的方程式）

思路的丰富性虽反映了学生思维的不同层次，却也提高了展示和交流的难度.抓住本质，沟通联系，有序展开教学是唯一正解，才能“以己昭昭，使人昭昭”.

从平均数的意义和算法来看，以上思路可以归为三大类.

第一大类：从总得分（总数量）想起

思路一：从总分（得分角度）想起.算出三科的总分，减去语文、数学的得分就是英语的得分.

思路十一：列方程求解.设莹莹的英语成绩为x分，列方程解题.

思路五：代入法.把四个选项依次代入计算，哪个正确就选哪个.

思路七：假设法.先假设英语的分数，如果结果有偏差再做整体调整.

思路八：假设+一一列举.先假设英语的分数，并一一列举，再逐步调整.

思路六：从失分角度想起.用三科的总失分减去语、数失分，就是英语失分.

思路十：以80分作为参照，根据总分间的差进行计算.

这些思路都是依据基本算法“平均数=总数量÷份数”，通过推理、计算、调整得出结论.这一大类可以按以下三个层次进行教学：

第一层次：思路一和思路十一.思路一是最为常见的基础算法.思路十一，由于方程的相关内容教学大纲安排在五年级下册，因此，可能上过课外辅导班的同学会想到，如果出现，可以把此思路和思路一進行比较，沟通联系.当然，为了面向全体学生，教师可以用三角形、正方形等图形或者“*”“※”等符号代替x.

第二层次：思路五、思路七和思路八.这三种思路都涉及假设策略，区别在于：思路五运用了选择题的答题技巧，思路七、八都是从均分入手的，教学时可放在一起进行比较和归纳.

第三层次：思路六和思路十（在确实有此类型题目的前提下使用，如果没有则不必特意介绍）.这两种思路都是以某一分数作为参照，再根据计算结果进行推理、计算、调整，思维难度较大.

对于此大类，学生可能出现的学习困难是：想不到或者不理解用90×3去算总分.教师在教学中应引导学生再次回顾平均数的由来、意义和计算方法，追根溯源，必要时可呈现平均数的计算公式，给思维搭脚手架.

第二大类：移多补少

思路三：移多补少（数形结合）.

思路二：与平均分进行比较.

90+（90-89）+（90-88）=93（分）

思路九：将总分与平均分相结合.

90×2-89-88+90=93（分）

这一大类更加直观地体现了“平均数是一个重要的刻画数据集中趋势的统计量，能够较好地反映一组数据的总体情况”这一本质意义和属性.

教师在教学时可引导学生展开比较：

（1）分别对思路二、九和思路三加以比较，让学生指一指思路二、九的每一步在思路三的图中的什么地方.这样数形结合，一一对应，学生能够深刻感悟平均数“集中趋势”的统计意义.思路二和思路九有表示数学与语文分数比平均数少的部分依次移动和整体移动的细微差别.

（2）呈现线段图，与条形统计图加以对比，体会一组数据（不全相等）的平均数一定小于这组数据里的最大数，大于这组数据里的最小数.

这一大类依然存在逆向思维，教师在教学中可采用对比不同图示和标记平均线的方法，变抽象为半直观，化难为易.

第三大类：推理论证

思路四：推理法

三门科目中，语、数两科的成绩都低于平均分，那么英语成绩肯定高于平均分.四个选项中只有A选项大于90，所以选A.

学生能够从这个层面去分析问题，说明已经很好地掌握了平均数这一统计关键概念的内在含义，并能够熟练运用“平均数刻画数据集中趋势”这一属性去分析问题和解决问题，具有较高的数据分析能力和统计素养.

三、拓展与反思

1.基础练习

可直接更改数据，或者增加数据.

例如：莹莹数学、语文、英语、科学四科的平均分是92分，其中语文90分，英语91分，科学88分，她的数学成绩是（ ）分.

A.92 B.90 C. 99 D.91

2.拓展练习

可结合解题策略或者实际规则进行变式练习.

例如：某班男生人数是女生人数的3倍.在一次测试中，班级平均分是90分，男生平均分是87分，那么女生平均分是多少分？

另外，这部分内容有必要增加平均数易受极端数据影响的题目，让学生感知平均数这个统计量的局限性，以及它与其他统计量之间的关系，进一步理解平均数的统计学意义.

在“五有”课堂开放、动态的教学中，教师抓住学科本质进行有效关联，甄别主次，有序交流，通过对比不同层次的解题策略，能够让学生对平均数概念的理解从模糊走向清晰，从浅显走向深刻，从表面走向实质，学习过程将更加丰盈，思维发展更加深入.

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准：2011年版[M].北京：北京师范大学出版集团，2011.

[2]蔡金法.中美學生数学学习的系列实证研究：他山之石，何以攻玉.北京：教育科学出版社，2007.

[3]俞正强.种子课2.0：如何教对数学课[M].北京：教育科学出版社，2020.