原生资产服从单个泊松过程和布朗运动的带跳模型下欧式看涨期权的定价

安清华

摘要：期权是一重要的衍生产品，为衍生产品定价成为金融市场讨论的热点话题。本文主要研究带跳模型下欧式看涨期权的定价问题，所采用的方法是鞅方法。

关键词：期权定价  鞅方法

带跳跃模型下欧式期权定价模型要建立以下假设：

一是N（t）是一个非时齐Poisson过程，表示从0时刻到t时刻的资产价格发生跳跃的次数，对强度为的Poisson过程满足，n=0，1，2，...，并且。

二是股票不支付红利，且股票价格S（t）服从几何布朗（Brown）运动，其微分形式为，其中是常数，W（t）是定义在概率空间（）上的布朗运动并且域流F，是由布朗运动W（t）生成的。M（t）=N（t）-为补偿泊松过程。

三是交易者之间没有任何信用违约风险，股票允许卖空并且交易之间没有任何额外费用，无风险利率是一个常数，并且在任何期限的贷款利率都相等。

四是在任何有限时间区间内，只允许发生有限多次跳跃，跳过程是右连续和适应的。

原生资产服从几何布朗运动和补偿泊松过程：

从而原生资产价格定义为，其中是股票的平均回报率，N（t）是定义在概率空间（）上强度为的泊松过程，是资产价格的波动率。其微分形式为，由定义可知M（t）在P下为鞅，表示股票价格的左连续。

第一，给定一个风险中性测度，则在下，定义标准布朗运动是风险价格公式，r是無风险利率，且令。

从而

通过构造知，

两边在取数学期望得，所以是风险资产的贴现价格，满足

第二，在风险测度下，欧式看涨期权在时刻t的价格为

而

=

=

即：V（t，S（t）

由于随机变量S（t）是F（t）可测的，而独立于F（t），则

V（t，S（t））

则原生资产服从单个泊松过程和布朗运动的带跳模型的期权定价为：

V（t，x）

边界条件当i=0时，，当t=T时，V（T，x）=.

参考文献：

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[5]陈晓航.带常数跳跃模型下亚式期权定价及在实物中应用.哈尔滨师范大学硕士学位论文.2015.

作者单位：黑龙江省哈尔滨师范大学