几何证明、尺规作图的解题规范与解题技巧

摘要：几何证明（文字证明题）、尺规作图题近两年在福建省中考卷是必考题，基本定位为基础题（送分题），然而从考后的质量分析看，这两类题的得分并不高，丢分主要集中在书写表达不规范、几何证明逻辑错误、推理过程条理混乱等。下面就几何证明、尺规作图的解题规范与解题技巧说说几点意见。

关键词：几何证明;尺规作图;解题规范;解题技巧

一、 几何证明的解题规范与技巧

（一）几何证明题解题步骤与技巧

一审题。先读完题目，弄清楚题目意思，需要求证什么。对于题目中的条件应思考条件之间的联系，联想能得到什么结论;结论可以由什么条件得到。二要标记。读题时每个条件都要在图形中标注出来。如边相等，就用边相等的符号来表示。三要构造。有的题目隐藏某条线或几条线，所以我们要学作辅助线，那么这里的作辅助线就需要平时熟练掌握定理推论和基本图形。然后再考虑证明还缺少哪些条件，把题目转换成证明其他的结论，通常缺少的条件会在第三步引申出的条件和题目中。

几何的文字证明题，关键是要分清题目的条件和结论，然后“翻译”成符号语言和图形语言;再分析思路，书写证明过程。

（二）几何证明题书写规范

证明题规范书写，就是要按严密的逻辑推理，执因索果，言简意赅。书写要有条理性，有根有据;关键得分点要写，表述要准确，还有字迹要清晰，这样才能提高得分。下面举例说明：

（问题1：没有从已知条件出发，题目的原始条件是ABCD）

（问题2：作为一道大题分值高步骤少，每一步都是得分点应该书写详细，应将证明三角形全等的条件罗列清楚）

（问题3：语句不完整，应改为：四边形ABCD是平行四边形或在ABCD中）

又∵对顶角相等（问题4：对顶角相等直接用）

（问题5：滥用又∵，又∵是需要多个条件得到结论的情况下使用表示补充，此处对顶角相等一个条件便可得到结论，不需要又∵）

【例2】求证：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比。

要求：①根据给出的△ABC及线段A′B′，∠A′（∠A′=∠A），以线段A′B′为一边，在给出的图形上用尺规作出△A′B′C′，使得△A′B′C′∽△ABC，不写作法，保留作图痕迹;

②在已有的图形上画出一组对应中线，并据此写出已知、求证和证明过程。

不规范书写3：

已知，如图，△ABC∽△A′B′C′，对应边成比例，D是AB的中点，D′是A′B′的中点。

求证：中线比等于相似比。

（问题6：没有结合图形将文字语言转化为几何语言。）

证明：∵△ABC∽△A′B′C′，

A′B′AB=B′C′BC=A′C′AC=k，∠A′=∠A，∠B′=∠B，∠C′=∠C

（问题7：将条件所得所有结论都罗列出来，有些结论与答题无关没有必要。）

二、 尺规作图的解题规范与技巧

（一）尺规作图有关知识

在几何里，用没有刻度的直尺和圆规来画图，叫做尺规作图。最基本、最常用的尺规作图，通常称基本作图。初中五种常用的基本作图是：（1）作一条线段等于已知线段;（2）作一个角等于已知角;（3）平分已知角;（4）作线段的垂直平分线;（5）经过一点作已知直线的垂线。学过基本作图后，在以后的作图中，遇到属于基本作图的地方，只需用一句话概括叙述就可以了。如：（1）作线段××=××;（2）作∠×××=∠×××;（3）作××（射线）平分∠×××;（4）过点×作××⊥××，垂足为×;（5）作线段××的垂直平分线××。

（二）常见几何作图语句

（1）过点×、点×作直线××;或作直线××，或作射线××;

（2）连结两点×、×;或连结××;

（3）在××上截取××=××;

（4）以点×为圆心，××为半径作圆（或弧）;

（5）以点×为圆心，××为半径作弧，交××于点×;

（6）分别以点×、点×为圆心，以××、××为半径作弧，两弧相交于点××;

（7）延长××到点×，或延长××到点×，使××=××。

（三）尺规作图解题技巧

近几年中考作图题形式有改变，不再满足检测图形变换等常见知识点，着重考查学生动手操作及课本一些画图知识。尺规作图解题关键是要弄清作图原理与根据，牢记五种常用的基本作图的方法，要求学生熟练掌握全等三角形判定后，重新审视作图依据，梳理基本作图的内在联系;描述作图步骤，把文字语言转化为图形表达，按所作图形的等量关系用几何符号表达。

【例3】已知锐角∠AOB，如图，

（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作PQ，交射线OB于点D，连接CD;

（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交PQ于点M，N;

（3）连接OM，MN。

根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（   ）

A. ∠COM=∠COD

B. 若OM=MN，则∠AOB=20°

C. MN∥CD

D. MN=3CD

解答思路与技巧1：

学生需要理解图是如何作出来的，即根据提供的作图步骤文字描述表达成符号语言和图形语言。由作图知CM=CD=DN，又由于PQ是以O为圆心的圆的一部分，根据定理在同圆或等圆中，弦相等则弦所对的圆心角也相等，可得∠COM=∠COD，故A选项正确;

解答思路与技巧2：

添加作图中“过程性”的辅助线。在作图中，

把每一步使用圆规截取的线显现出来，这样有助于图形的分析。

如图，连接ON，CM，DN。由OM=ON=MN，

得∠MON=60°，由CM=CD=DN，知∠MOA=∠AOB=∠BON=13∠MON=20°，故B选项正确;由∠MOA=∠AOB=∠BON=20°，得∠OCD=∠OCM=80°，因此∠MCD=160°，结合圆周角定理又得∠CMN=12∠AON=20°，所以∠MCD+∠CMN=180°，即MN∥CD，故C选项正确;由于MC+CD+DN>MN，且CM=CD=DN，所以3CD>MN，故D选项错误。

（四）尺规作图规范

尺规作图的点要标大写字母，作图完确认无误后描黑，最后要下结论。

三、 结语

对于几何证明，在教学中應加强学生对基本性质定理、判定定理的理解巩固与训练;学生的逻辑推理能力普遍较弱，因此对于基本题及其变式题的训练尤为重要;重视几何题过程书写的逻辑性、条理性，强调来龙去脉要清楚，步步有据，不能想当然，不能自加条件。新课教学时都要耐心、细致教会学生符号语言的表达;强调答题的规范性要求：如画图要用工具，辅助线要虚线，要强调用黑色签字笔描黑，符合要求，要准确到位。

对于尺规作图，在平时教学中要研究课本，学好教材;注重尺规作图原理的分析;重视发展学生的逻辑推理能力。

几何证明和尺规作图二者相辅相成，几何证明是尺规作图思维过程的体现，而尺规作图又是几何证明演绎推理的源头。

参考文献：

[1]陈辉，林进东.返璞归真，突出本质，发展数学学科核心素养——2018年福建中考数学试题分析与启示[J].中学数学，2019（3）：38-41.

[2]陈少毅，张小峰.以中考为例，谈新课标下尺规作图教学[J].中学数学教学参考（中旬），2016（5）：14-16.

作者简介：

郑秋月，福建省漳州市，福建省漳州市第八中学。