正、余弦函数概念教学反思与重构

程仕然

[摘要]从数学核心素养视角对正、余弦函数概念课堂教学存在的问题进行反思与重构，并给出正、余弦函数概念教学的有效策略。

[关键词]正弦函数;余弦函数;课堂教学;反思;重构

[中图分类号]G633.6 [文献标识码]A [文章编号]1674-6058（2020）05-0004-02

正、余弦函数是解决“按一定规律周而复始”问题的重要函数模型，它们是基本初等函数，它们上承函数，下启三角，外联向量、解析几何等内容，对学生构建三角函数体系，发展函数思想，形成初步的几何（三角形）问题代数化（直角坐标系下变量关系）的解析几何意识都有很大帮助，研究正、余弦函数概念教学策略具有很好的现实意义。

一、存在的问题

在本节内容的课堂教学中，常出现如下情形，

情形一：初、高中衔接不畅，教师对学生初中学习的内容和掌握程度不了解，对学生能力的预设偏高，学生也因为初中学习过锐角三角函数，从而对高中新概念的认识和学习缺少热情和理性。

情形二：概念给出直白，缺少概念产生过程的建构，学生不能领会概念背后蕴含的数学思想，发挥不出本节概念的核心和根基作用。

情形三：缺少数学文化的渗透，概念一带而过，大部分课堂时间用在讲解例题和练习上。

情形四：个别教师对正、余弦函数概念本身理解有偏差，对正、余弦都是角理的函数理解和表述不清。

高质量的数学课堂教学，需要我们在核心素养视角下，以概念的有效教学为突破口，在反思中研究，在重构中升华课堂教学。

二、数学核心素养视角下课程目标分析

1.数学建模，发现和提出问题

从“周而复始”的生活现象抽象出“圆周上一点的运动”这一简单数学模型，是进行数学建模的最好契机，提出点与角之间关系的数学问题，能够让学生感悟到数学与现实的关联，学会用数学的眼光观察世界。

2.逻辑推理与直观想象，分析问题

从初中的直角三角形边的比定义的三角函数，类比出高中坐标系上坐标比的锐角三角函数定义，再推广到一般的三角函数，这是通过数学运算从特殊到一般的推理，是逻辑推理的体现，通过直观想象，建立了形（终边上点P（x，y））与数（角α的正弦函数、余弦函数）间的联系。

3.数据分析、数学运算、数学抽象，解决问题

在整个概念形成的过程中，从角α的“直角三角形中边的比，坐标系中的坐标比”的图形问题到角α的“正弦、余弦”数量问题，从数量（正弦，余弦）到数量（正弦函数，余弦函数）抽象出正、余弦函数的数学概念，始终贯穿着数学抽象，从锐角三角函数到任意角的三角函数，从直角三角形中“边的比”研究三角函数到坐标系下任意角的终边上点的“坐标比”，一步步抽象出任意角的三角函数概念，这是从特殊到一般的思考问题的方式，是培养学生把握事物本质，运用数学抽象思维方式思考并解决问题的有效途径，也是提高学生分析问题和解决问题的能力。

三、反思与重构

1.精准对接，从“角度变量说”过渡到“实数对应说”

表1是苏教版教材（义务教育教科书数学八年级上册、九年级下册，普通高中课程标准实验教科书数学必修1、必修4）该节相关内容的初、高中呈现形式，

2.问题驱动，从数学建模角度重塑正、余弦函数概念

初中的三角函数是解决气球有多高、坝底有多宽等平面几何问题，以直角三角形的锐角（角度制）为自变量的函数模型，这些初中学习的知识，是学习高中知识的基础，但也使得多数师生对高中新学习的内容重视不够，对新概念的认识缺少研究的热情和建模的理性。

从学生的生活经验出发，提出问题：自然界中有许多“按一定规律周而复始”的现象……一个简单又基本的例子便是“圓周上一点的运动”……用（r，a）与用坐标（x，y）均可表示圆周上点……用怎样的数学模型刻画（x，y）与（r，a）之间的关系？从“周而复始”的生活现象抽象出“圆周上一点的运动”这一简单数学模型，提出点与角之间关系的数学问题，进一步研究正、余弦函数是以弧度制下任意角（实数）与正、余弦值对应的函数，建立解决“按一定规律周而复始”问题的函数模型——正、余弦函数。

3.文化渗透，从概念产生的历史中寻找研究模型的思路和方法

三角函数的发展有着漫长的历史，最初是以几何形式表现出来的，只是静态地研究三角形问题，后来，欧拉把三角函数定义为一种函数线与圆半径的比值，再令圆的半径为单位长度后，三角函数可以简化为一种与角相对应的函数值，他把三角量看作为函数，使得三角学进入现代时代。

三角学相关概念的产生和完善过程恰好符合学习者的认知规律，正好解决了学生从初中注重“几何形式”的锐角三角函数问题升级到注重“代数形式”的任意角三角函数问题，重塑概念产生历程，适当地渗透相应的数学文化知识，让学生知其然又知其所以然，会让学生找到知识的生发点，为新知识的学习和研究提供思路和方向，为概念的抽象搭建舞台，提高学生的学习兴趣和欲望。

4.适时简化，从模型中抽象出函数概念及数学符号表示形式

综上，正、余弦函数概念的有效课堂教学策略：建模激趣，文化渗透，精准对接，适时简化，重视抽象，重塑概念产生历程，在概念构建过程中培养和发展学生数学学科素养。