骰子的组合数探究

四川省宜宾市南溪区第一中学 张玄逸

如果能够仅仅通过交换而不改变数值得到的组合只算作一个组合，比如——

那么这一组骰子可以掷出多少不同的组合？

可惜的是作者并没有给出证明过程。

骰子与组合无法直接建立特定倍数关系，因为骰子们点数的种类和数量都是变量。

本文试从公式出发倒推证明过程，最终回归组合。

一、排序

首先必须把每个数列中的数字重排。有序数组更易发现规律。将其记为ai。

二、构造数组

构造bi，b1表示有几个1，b2表示有几个2，以此类推。上述组合可以改写为：0 2 1 0 2 1，

另外有很明显的几点：a1≥1 ；a6≤6 ；ai-1≤ai。

看似平常的三点可以启发我们构造另一个数组：

令ci=ai-ai-1，即ci为ai的差分数组。

经验证，两个数组均可以推导得到公式，因此下文就以更难一点的差分数组来证明。

三、规定

差分数组的含义为当前数字比前一个多了多少，那么c0该等于几？根据后面的ci范围为[0，5]，类比得到c0=1，c1∈[0，5]，否则下一步操作无法等价进行。

四、隔板法

现在已经类似于隔板法了，因为最后一个数最多比c0多5，所以有5 个小球。因为最后一个数不一定为6，因此隔板仍需6 块，而相邻两隔板间的距离即为ci。但会导致此种情况。以上文2 2 3 5 5 6 为例。

隔板法不允许两隔板置于相同空隙中。

抽象数组仍需使用隔板法，只是两隔板间距含义为使用该数字的个数，且使用数字总数确定，因此需要(6+5)个小球和5 块隔板。