数学物理方法中热传导方程的COMSOL 教学应用

王鹏，王清亮，左旭东，张冬梅

（1.忻州师范学院 物理系，山西 忻州 034000；2.江苏理工学院 数理学院，江苏 常州 213001；3.大连理工大学 物理学院，辽宁 大连 116024）

数学物理方法是物理学以及部分工科专业本科生必修的一门重要科目，旨在丰富学生的知识技能储备以及培养学生利用数学技能解决物理问题的能力.因此，这门课程不仅物理内容较多，而且涉及大量的高等数学知识，如复变函数、微积分和级数等，学生普遍反映学习难度较大，学习积极性不高.繁琐的数学推导也使得学生更关注“数学”技能的提高而忽略了“物理”内涵的理解；另外，数学物理方法课程还存在考核方式单一、教学时效性不强等不足[1].

目前，数学物理方法课程的教学方式仍以课堂讲授为主.无论是以往的板书教学还是如今的多媒体教学，都能够较好地做到数学公式的推导和数学思想的传达；但是如何让学生更直观地获得物理图像仍力有未逮，尤其在传统的板书教学过程中较难实现.即使是采用多媒体教学方式，也很难找到或者绘制贴合教材的相关素材用于直观展示物理图像，如果采用板书教学的方法绘图则更加不易，要想进一步实现学生自主深入学习、拓展思路、发散思维的目标就更难了.因此，如何在教学过程中实现“数学方法”与“物理图像”的有机结合成为提高教学效果必须要解决的问题.

计算机仿真是一种能够实现物理图像展示的有效手段，已经被广泛使用于大学教学中.宋彦琦[2]等人利用Matlab 软件编程实现了复变函数方程以及波动方程定解问题的求解.但是编程方法不易掌握，对学生直观理解物理问题也并无明显益处.相比之下，COMSOL Multiphysics 软件是一款大型多物理场数值仿真软件，具有上手较快、操作便捷和可视性强的特点，能够根据实际需求建立物理模型，并将数学方程的数值求解结果以曲线图、分布图等图像的形式直观展示出来，体现了“数形结合”的思想.另外，COMSOL 软件涵盖了物理、化学、工程等多个科学领域的计算模块，能够满足教学和科研的需要.目前，已有不少学科的本科专业课使用这一软件辅助教学，如物理专业的电磁学[3-6]、模拟电子技术[7]等课程，甚至部分研究生的课程教学也采用这一软件[8-16]，取得了较好的成果.

本文针对数学物理方法课程在教学过程中存在的重“数学”而轻“物理”的问题，利用COMSOL 软件求解一个空心圆柱体热传导模型，明确热传导方程的物理含义和3 类边界条件的物理概念，展示数学方程中隐藏的物理图像.结合COMSOL 软件开展教学可以激发学生的自主学习动力并提高学生的思维发散能力和探索能力，实现探究性学习和翻转课堂的教学模式，提高学习效果.

1 空心圆柱体的热传导方程及边界条件

本文以一个空心圆柱的热传导模型（见图1）为例来展开说明.空心圆柱体的内、外半径（R内，R外）以及高度（h）分别为0.05，0.15，0.2 m.

图1 空心圆柱体

热传导方程一般可写为

其中：T是待求温度，与时间和空间均有关；t为时间；F为热源强度；k，ρ，c分别为热导率、密度和比热容.等号左边第1项就是初中时就学习过的单位体积内物体温度变化与外界所交换的热量（，q0和V分别是物体吸收/释放的热量和物体体积），第2项则表示单位时间内以热传导形式流入该单位体积的热量.因此，方程（1）的物理本质就是能量或者说热能守恒.在本例中，认为空心圆柱体中无热源，则F(r，t)=0，该方程变为齐次方程.如果只想知道圆柱体达到热平衡状态时的温度分布而不研究温度随时间的变化，则方程（1）将化为拉普拉斯方程

要求解热传导方程，必须要给定初始条件和边界条件，圆柱体的初始温度被设定为20 ℃（293.15 K）.

数学物理方法课程中常见的边界条件可以分为3 类：

第1 类边界条件是直接规定待求物理量的取值.在本例中，空心圆柱的内表面被视为与一个恒温热源接触，温度被固定为室温60 ℃（333.15 K），即

第2 类边界条件是规定待求物理量在边界外法线方向上的方向导数.对一个给定的边界截面，傅里叶热传导定律可以写为

其中：r是单位面积内的热流量，即热流密度；负号表示热量是逆温度梯度方向传导的.因此，对于给定热导率的空心圆柱体来说，规定外法线方向导数等价于直接定义热流密度.显然，热流密度是一个更具有直观物理意义的量，可以将边界处的热流密度直接视为第2 类边界条件.本例中，将空心圆柱体的外表面设置为绝热条件，即圆柱体与外界不能通过外侧表面与外界环境进行热交换

第3 类边界条件规定了边界处待求物理量与待求物理量外法线方向上方向导数之间的线性关系，有时也称作混合边界条件.本例设定圆柱体的上下2 个表面与外界存在热交换，根据牛顿冷却定律，在该表面设置第3 类边界条件

其中：hf为空心圆柱上下表面的对流换热系数；Text表示外界环境温度.等号左边表示圆柱表面因存在温度梯度而流通的热量，右边表示由于环境中热对流的存在而交换的热量.这样看就会发现，公式（6）的物理意义就是在圆柱体的上下2 个表面不会有热量的持续累积和损耗，热量的流动是连续的，这也符合直观认知.通过给定hf的值和环境温度Text，就可以得到确定的第3 类边界条件.

2 利用COMSOL Multiphysics 软件求解空心圆柱体热传导模型

2.1 物理模型的构建

由于空心圆柱具有中心对称结构，因此在用COMSOL Multiphysics 仿真软件构建模型时无需构建三维模型，选择“二维轴对称”模型，可以减少计算量和计算时间.利用COMSOL 软件绘制的矩形（见图2），其位置和大小均可在软件中任意更改.本例中矩形的宽度和高度分别为0.1，0.2 m，左下角顶点的坐标为（0.1，0 m）.r=0 处的红线表示旋转轴，矩形绕轴旋转一圈即可得到与图1 所示同尺寸的空心圆柱体.COMSOL 软件内置了多种材料的基本物理特性参数，在仿真过程中可以直接对仿真模型添加材料并调用相关参数.空心圆柱体的材料被设置为铁，其密度、比热容和热导率分别为7 870 kg/m3，440 J/（kg·K），76.2 W/(m·K).

图2 旋转对称模型下，利用COMSOL 软件绘制的矩形

由于本文研究的是空心圆柱体的热传导问题，因此选择软件中自带的“固体传热”模块进行仿真计算.该模块已经内置了热传导方程，无需修改，只需进行边界条件和初始条件的设置即可.利用COMSOL 软件设置初始温度条件的界面见图3a.可以看到，COMSOL 软件的界面对用户非常友好，直接在输入框内输入数值即可.根据对空心圆柱体初始温度的设定，此处输入“293.15 K”.

利用COMSOL 软件设置第1 类边界条件的界面见图3b.设置一栏中，在“边界选择”中选择矩形的左边（这一条边经绕轴旋转后即形成空心圆柱体的内表面），表示要对这一条边进行物理条件的设置.其下方“方程”中展示了一个关于温度的公式，表示此处设置的物理含义是温度边界条件.在温度输入框中输入“333.15 K”，即可完成了第1 个边界条件的设置.设置圆柱外表面绝热和上下表面热对流边界条件时的软件界面分别见图3c～d，与对空心圆柱体的边界条件设定的操作基本一致.

通过以上操作，可以使学生对数学方程、初始条件和边界条件有更直观的认识，有利于深入理解数学公式背后的物理内涵.

2.2 仿真结果与讨论

点击COMSOL 软件中的“物理场控制网格”实现空心圆柱体的网格自动剖分，本案例中将网格数设置为360.由于本案例求解的是空心圆柱体热稳定状态温度分布，因此研究模式选择“稳态”（此时软件自动将要求解的方程设定为拉普拉斯方程）；点击“计算”按钮，软件开始自动求解数学方程并输出物理图像，使用普通笔记本电脑的计算时间仅需约2 s.

hf=100 W/（m2·K）时，空心铁圆柱体的温度分布情况见图4a～b.可以看到圆柱体的温度从内表面（333.15 K）向外表面（约328 K）逐渐降低，同时上下表面的温度比圆柱体的中央区域要低，这是上下表面与温度较低的外界环境（293.15 K）存在热交换的边界条件导致的必然结果；等温线自左向右（对应空心圆柱体由内而外）逐渐稀疏，表示温度梯度的绝对值逐渐减小；由于圆柱体上下表面与外界存在热交换，因此，上下表面的温度沿径向方向降低得比其内部要快，导致上下表面附近的等温线分布比中央更密集.结果表明，COMSOL 软件能够展示热传导方程中的待求温度函数在给定的初始条件和边界条件下是如何分布的，使学生不仅能够很好地理解边界条件的概念，还能够直观地把数学方程与物理图像联系起来.

在满足教学需求的基础上，COMSOL 软件还自带有“参数化扫描”功能，可以赋予某个条件任意多的数值，用于研究该条件对仿真结果的影响.在本例中，通过赋予空心圆柱体表面对流换热系数(hf)3 个不同的数值，研究了表面对流换热情况对其空心圆柱体热传导过程的影响.圆柱上下表面在具有不同换热系数的条件下，其温度沿径向方向的变化曲线见图4c.可以看到，空心圆柱体的温度沿着径向向外逐渐降低，且斜率逐渐趋于0，与图4a 和图4b 的结果一致.另外，随着hf取值的增加，空心圆柱体外侧的温度逐渐降低，这是由于hf的增大使圆柱体通过上下表面向低温外界环境释放出了更多的热量，导致处于热绝缘状态的外表面从圆柱内侧吸收到的热量较少，因此温度较低.

图4 空心圆柱体的热传导仿真结果

在仿真过程中，计算热传导方程中温度函数的空间分布仅是COMSOL 软件的结果之一，软件已经把所有热物理参数的分布进行了计算并保存在模型中.因此，对学有余力的学生，教师可以引导其进一步深入思考和探索，利用COMSOL 软件展示更多的结果.例如：圆柱体上下表面的换热边界条件既然能够影响圆柱体的温度分布，那热流量究竟是多大，与空间位置以及表面换热系数的大小是否有关.要得到以上结论只需要在软件中将之前展示的纵坐标“温度”替换为“热流密度”.空心圆柱体上表面的热流密度沿径向方向的变化曲线见图4d.可以看到，上表面的热流量密度沿着径向向外逐渐降低，这是由于空心圆柱体的内侧温度较高，与外界环境温差较大，因此热流量密度较大.由此可见，hf与圆柱体表面的热流密度成明显的正相关关系，提高hf有助于圆柱体的散热，而降低hf则有助于圆柱体的保温.

hf取值的数量和大小均可在COMSOL 软件中根据教学和研究需求进行自定义设置.通过COMSOL 软件还可以对空心圆柱体的初始温度、内表面温度等初始条件和边界条件进行修改或赋予不同的取值，从而进一步研究不同条件对热传导过程的影响，这样不仅能够使学生对热传导现象的理解更加深入，更能调动学生学习的主观能动性.在实际的教学过程中，还可以将学生们提前分组，分别研究不同物理条件对空心圆柱体热传导过程的影响，在课堂上互相交流学习，从而实现翻转课堂教学模式和探究性学习模式，锻炼学生的探究能力，提高科学素养.最终完成的计算结果可以保存为一个单独的工程文件（.mph 格式），便于学生上交和教师检查，也有利于保存记录和用于交流学习.这些操作不仅可以使用在热传导方程的学习上，对数学物理方法课程中的其它内容同样有效.在学习结束后，教师可以结合实际应用与课程内容出题，让学生开展调研后将实际问题转化为仿真模型，制作并上交仿真案例.这个过程既可以作为课后作业发布，也可以作为期末考试的一种新载体，未来甚至可以在数学物理方法课程中设置计算机实践课时，进一步实现教学模式和考核模式的改革.

利用COMSOL 软件辅助教学可以实现物理概念的理解、模型的建立和仿真结果的可视化展示等目的，是一种能够让学生更好地预习、学习和复习的有效手段.不仅能够使学生直观建立物理图像，理解数学方程背后的物理内涵，还可以让学生将理论知识与实际应用联系起来，提高认识问题和解决问题的能力.

3 结论

本文以空心圆柱体为例，利用COMSOL Multiphysics 软件实现了热传导过程的物理图像的可视化教学，帮助学生进一步理解3 类边界条件和热传导方程的物理内涵.COMSOL 软件具有操作简单、可视性强的特点，集教、学、研多种功能于一体，加强了数学公式与物理图像和实际应用之间的关联性，同时减少学生的畏难心理和教师的授课压力.该软件的使用有助于激发学生的主观能动性，利于探究性学习和翻转课堂教学模式的开展；能够让教师和学生在教与学的过程中更加关注数学方程背后的物理概念与物理思想，让学生在掌握数学技能的同时，实现领悟物理思想、使用数学工具解决实际物理问题的教学目标.COMSOL软件的应用为课后作业和能力考核提供了一种全新的方式，是实现新时代教学改革的有效手段.