古典概率的计算方法探析

郭智莲 杨海龙

【摘要】本文通过举例给出古典概率中的常见题型，分析古典概率的内在规律，阐述古典概率计算的方法和技巧.

【关键词】古典概型;随机事件;概率;排列;组合

【基金资助】国家自然科学基金数学天元青年基金项目（No.11526163），国家自然科学基金面上项目（No.61473181）.

概率论与数理统计课程实用性很强，在经济、管理等领域用途很广，是各专业必须掌握的一门重要基础课程.概率统计史上最初研究的随机试验是古典概型，因此，古典概率的计算是概率论的基础内容，也是重要内容.然而古典概型形式灵活多变，对初学者来说，很难掌握其内在规律.本文通过梳理分析，总结出几类常见古典概率的解题方法.

一、预备知识

下面给出本文所需的一些基本概念和结论，详见文献[1-4].

定义1[1-3] （古典概型）设E是一个随机试验，Ω是样本空间，如果满足以下两个条件：

（1）样本空间只有有限个样本点，

（2）每个样本点出现是等可能性的，则称随机试验E为古典概型.

注1 上述两条分别可以总结为：有限性和等可能性.

设A为古典概型中的随机事件，则A发生的概率为

P（A）=A中包含的样本点数Ω中所含样本点总数.

注2 从上述公式可以看出，计算古典概率的基础是计数，下面列举出常用计数原理和方法[4].

1.加法原理：设完成过程A有n种不同方式，若第i种方式包含mi种不同的方法，那么完成过程A共有m1+m2+…+mn种不同的方法.

2.乘法原理：设完成过程A需要有n个步骤，第i个步骤含有mi种不同的方法，则完成过程A共有m1×m2×…×mn种不同的方法.

3.排列

（1）可重复排列：在有放回抽取中，从n个元素中取出r个元素进行排列，其总数共有nr.

（2）选排列：在不放回抽取中，从n个元素中取出r个元素进行排列，其总数共有Arn.

4.组合

二、古典概率计算方法

古典概型作为一种最基本也是最灵活的随机试验，计算随机事件概率是一个学习难点和重点，因此，我们把常见解题方法通過例题的形式给出，找到古典概型的内在规律.

三、结束语

古典概率的基础理论很广泛，计算方法很灵活.本文通过举例总结古典概率的常见题型，分析古典概率的内在规律，给出古典概率计算的技巧.由于古典概率的灵活性，学习时要多想多练，总结经验，积累方法，才能够融会贯通，掌握古典概率的计算方法.

【参考文献】

[1]魏忠舒.概率论与数理统计教程：第二版[M].北京：高等教育出版社，1993.

[2]盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计：第四版[M].北京：高等教育出版社，2010.

[3]陈家鼎，郑忠国.概率与统计[M].北京：北京大学出版社，2002.

[4]李长青.概率论与数理统计[M].上海：同济大学出版社，2015.