魔术套环的动力学分析

周丽婷,朱蕾蕾,黄小红,熊举峰

(湖南师范大学 物理与电子科学学院，湖南 长沙 410000)

魔术是一种娱乐性的艺术魔术也蕴含着丰富的物理原理. 本文探讨了魔术套环的动力学过程. 王惠明教授等通过一系列实验与动力学分析得出完成魔术套环的关键在于使圆环经过一次碰撞，获得一定的初角速度[1]. 将铁环下落分为3个阶段——自由落体、碰撞和铁环转动，从角速度和角位移的角度描述了铁环套结成功所需的条件，但是其动力学分析只停留在定性描述上，条件只分析了初始角速度，初始准备条件也只分析了碰撞方式. 本文定量分析了铁环下落各个阶段的动力学过程，从力矩和能量的角度计算了铁环套结成功的条件，即铁链宽度与直径的关系、初始角动量、铁链长度和铁链材质，结合对原理的应用，增加了几种准备动作.

1 魔术套环的动力学分析

从圆环套结过程中关键处示意图(图1)可知，魔术情景下拇指提前释放，使得圆环重力矩不等于零，圆环具有初始角动量L0，由于初始角动量的存在让圆环套结成为可能.

为了分析“魔术套结”的动力学过程，将分为3个阶段，且建立O-xyz坐标系(图2)，设圆环质量为m，圆环半径为r，圆环与z轴的角度为α，铁链宽度d，铁链长度l.

图1 圆环套结过程中关键处示意图

(a)初始状态O-xyz坐标系 (b)受力分析

1.1 第1阶段：从拇指开始释放到圆环全部离开手(0<α<θ)

设食指与圆环接触部分圆环质量为Δm，对圆环进行受力分析(不计空气阻力)，圆环受到重力、支持力和摩擦力作用，第1阶段末状态受力分析示意如图2所示.

从铁链宽度d与圆环直径D=2r关系的角度开始讨论，分以下2种情况:

1)d>D

摩擦力f≠0,摩擦力对圆心的合力矩Mf=0. 重力W=mgj，支持力为F=-Δmgj(通过静摩擦力的方式提供接触部分质元重力的支持力，由于圆环对接触点的向心力在圆环直径方向，对质心速度与圆环对圆心的转动影响不计，且时间间隔短，所以忽略此方向的支持力)，重力与支持力对圆心的力矩分析如图2所示.

2)d≤D

摩擦力f=0,摩擦力对圆心的合力矩Mf=0. 重力和支持力对圆心的合力矩为M=rΔWsinα=rΔmgsinα.

1.2 第2阶段：从圆环脱离手到圆环与铁链成π/2角度(θ<α<π/2)

由于此阶段没有支持力，圆环只受到重力和摩擦力的作用，考虑到圆环的对称性，分析重力矩和摩擦力矩(图2). 重力矩MW=0,摩擦力矩Mf=0(与第1阶段同理),与第1阶段类似，设这一阶段的质心加速度为a2.

1.3 第3阶段：圆环与铁链角度α由π/2到大于π/2(α>π/2，即套结过程)

图3 第3阶段某一角度α接触点受力与力矩分析图

计算表明，由于初始转动动能的存在使得套结可以实现，即初始转动动能使得圆环可以克服铁链的压力矩做功，通过计算可知圆环可转入铁链的最大角度为φ(圆环转动动能为0). 同时在α=φ处圆环所受力矩不平衡，仍然有压力矩MF(线性恢复力矩)的存在，如果忽略空气阻力且铁链无限长，则圆环会在有竖直向下加速度的非惯性系中做简谐运动. 其中简谐运动的运动学方程可表示为：α=φcos (ωt+δ)，其中ω为角速度，δ为初相位，且设竖直向下加速度为恒定a，则y方向上运动学方程为：y=at2/2. 因此制做出α与t的关系示意图(图4)，图中(t0，t1)，(t2，t3)阶段角动量守恒，则α与t的斜率k为常数，即只要时间t(铁链长度)可以使得圆环与z轴角度α满足π/2<α<φ，就可以使圆环套结.

图4 角度α与时间t的关系示意图

2 魔术套环的条件分析

1)准备动作如图5所示,为了使套结能够成功，就要使圆环具有初始转动动能. 本文实验了3种情形：a.利用中指与圆环发生碰撞;b.握圆环的手优先释放拇指;c.利用拇指与食指提供作用力. 最终采用b情形，使铁链平面在Oxy平面上，圆环与手的接触直径在z轴上(使得初始力矩和第3阶段压力矩都在x轴方向上).

图5 a,b,c3种情形初始准备动作示意图

2)从第1阶段中分析计算可知，D与d的大小关系与摩擦力矩无关，而在第3阶段的合压力矩中，圆环与铁链接触点P与圆心的连线OP与x轴的夹角为β，β与d和D的关系有关. 当dd,D=d和D

3)本文采用是铁链和铁环，由于其材质密度、光滑度、柔韧性等方面的适宜，使得在第3阶段有线性恢复力矩的存在，圆环可以做简谐运动. 针对柔韧性这一因素，将铁链换成柔韧性较大的软线环和柔韧性较小的铜丝环分别做实验， 发现柔韧性过大则线性恢复力矩过小(接近于0)、链环长度l只要大于某一值y1+D(图4)即可，柔韧性较小则线性恢复力矩过大使得符合条件的链环长度l范围过小，即套结难度过大.

4)从图4可知，在y1

3 结 论

定量分析了魔术套环的动力学过程，一定的初始转动动能的存在是魔术套结的首要条件，即初始转动动能使得圆环可以克服铁链的压力矩做功，通过计算可知圆环可转入铁链的最大角度为φ时圆环转动动能为0. 在α=φ处圆环所受力矩不平衡，仍然有压力矩MF(线性恢复力矩)的存在，如果忽略空气阻力且铁链无限长，则圆环会在有竖直向下加速度的非惯性系中做简谐运动. 即只要铁链长度可以使得圆环与z轴角度α满足π/2<α<φ，就可以使圆环套结.