带电体在复合场中运动问题例析

华兴恒

带电体在电场和重力场的复合场中，因其运动既非类平抛运动又非圆周运动，而是一般的曲线运动，在求解此类较复杂的问题时，既涉及到力学中的物体受力分析、力和运动、运动的合成与分解、功能关系等概念和规律，又涉及到电场力、电场力做功、电势差及电势能等知识，涉及的知识面广，综合性强，对思维能力的要求高，因此许多同学感到很棘手，难以顺利获解，有些同学甚至感到无从入手. 事实上，求解此类问题时若能考虑到妙用运动的分解思想，研究其两个分运动，则常常可以简捷、快速获解. 下面举例分析，希望对提高同学们的解题技能和技巧、发展创新思维能力能够有所帮助.

一、竖直上抛运动与匀减速合成的曲线运动

【例1】在竖直平面内，一个质量为m、带电量为 -q的液滴，以一定的初速度v0从坐标原点O与水平x轴正方向成θ角射入与x轴同向的匀强电场中，如图1所示，当液滴运动到最高点P时，它的速度大小仍为v0，试求：

（1）最高点位置在原点O正上方、左上方还是右上方？简述理由.

（2）匀强电场的场强E和最高点P与原点O间的电势差U各为多大？

解析：（1）带负电的液滴受向左的电场力和竖直向下的重力，其运动是竖直方向上的竖直上抛运动和水平方向上的匀减速运动的合运动，并且最高点的运动水平向左. 从点O运动到最高点P，重力和电场力做功分别为WG、W电，则根据动能定理有：

WG + W电 =  m - m  = 0

因重力做负功，所以电场力一定做正功. 因此最高点一定在原点O正上方的左侧.

（2）设液滴从点O运动到最高点P所用时间为t，对液滴在竖直方向上，有：

v0sinθ - gt = 0……①

水平方向上，有：-v0 = v0cosθ- t……②

联立①、②并消去t，得E= .

设从O到最高点的竖直高度为h，则有：

0-（v0sinθ）2 = 2（-g）h……③

再根据动能定理有：qU - mgh = 0……④

联立③、④可解得：U =  .

二、竖直上抛与匀加速合成的曲线运动

【例2】（2019·天津卷）如图2所示，在水平向右的匀强电场中，质量为m的带电小球，以初速度v从M点竖直向上运动，通过N点时，速度大小为2v，方向与电场方向相反，则小球从M运动到N的过程中（ ）

A. 动能增加 mv2                B. 机械能增加2mv2

C. 重力势能增加 mv2          D. 电势能增加2mv2

解析：小球动能增加量为△Ek =  m（2v）2 -  mv2 =  mv2，则选项A错误;小球在竖直方向上的分运动为匀减速直线运动，到N时竖直方向的速度为零，则M、N两点之间的高度差为h =  ，小球重力势能的增加量为△Ep = mgh =  mv2，则选项C错误;电场力对小球做正功，则小球的电势能减少，则由能量守恒定律可知，小球减少的电势能等于重力势能与动能的增加量之和，则电势能的减少量为△Ep′ =  mv2 +  mv2 = 2mv2，则选项D错误;由功能关系可知，除重力外的其它力对小球所做的功在数值上等于小球机械能的增加量，即2mv2，则选项B正确. 故应选B.

【例3】（2019·江苏卷）一匀强电场的方向竖直向上，t = 0时刻，一带电粒子以一定初速度水平射入该电场，电场力对粒子做功的功率为P，不计粒子重力，则P - t关系图像是（ ）

解析：带电粒子所受电场力沿竖直方向，则粒子在电场中做类平抛运动，即沿初速度方向做匀速直线运动，沿电场力方向做初速度为零的匀加速直线运动. 假设电场力大小为F，则P = Fv，其中v为沿电场力方向的速度，则v = at、a = ，整理得P =  t，由关系式可知P - t图像应为一条过原点的倾斜直线. 故应选A.

【例4】在xOy平面内（y轴正方向竖直向上）存在着水平向右的匀强电场，有一带正电的小球自坐标原点O沿y轴正方向竖直向上抛出，它的初动能为4 J，当它上升到最高点M时，它的动能为5 J. 不计空气阻力. 求：

（1）试分析说明带电小球被抛出后水平方向和竖直方向分别做什么运动？

（2）带电小球所受电场力与重力之比？

（3）帶电小球落回到与抛出点O在同一水平线上的O′点时的动能？

解析：（1）根据力与运动的关系可知，带电小球在水平方向上做匀加速直线运动，在竖直方向上做竖直上抛运动.

（2）设带电小球上升到最高点时所用时间为t1，小球抛出时动能为E ，上升到M点时动能为E ，则根据动量定理有：

qEt1 = mvx =  ……  ①

mgt1 = mv0y ……②

联立①、②可解得： = .

（3）设带电小球返回到O′点时所用时间为t2，水平分速度为vx′，竖直分速度大小为vy′. 则根据竖直上抛运动的对称性可知：

t2 = 2t1…… ③

vx′= 2vx……  ④

vy′ = v0y……⑤

v′2 = vx′2 + vy′2……⑥

Ek′ =  mv′2……⑦

联立③ ～ ⑦可解得：Ek′ = 4× m + m  = 24 J.

三、自由落体与匀减速合成的曲线运动

【例5】如图4所示，质量为m、带电量为+q的小球，从距地面高度为h处以一定的初速度水平抛出，在距抛出点水平距离为L处有一竖直的绝缘板，板高为 . 为了使小球能从板上端开始沿着板滑到地面，可在小球运动的空间加以水平向左的匀强电场. 试问：

（1）小球的初速度v0和所加匀强电场的场强E各多大？

（2）设球与板间的动摩擦因数为μ，则小球能到达地面，μ应满足什么条件？

解析：（1）带电小球受到重力mg和电场力的作用，从抛出点沿曲线运动到板的上端，带电小球的曲线运动是水平方向上的匀减速运动和竖直方向的自由落体运动的合运动，运动到板的上端时水平速度为零，竖直速度为v.

根据牛顿第二定律可知水平方向的加速度大小为a= ，所用时间为t，则由运动学公式有：

v0 - at = 0……①

-  = 2（-a）·L……②

豎直方向上，有：  =  gt2……③

联立①②③可解得：E =  ……④

v0 = 2L· ……⑤

（2）从抛出到板的上端，根据动能定理对带电小球有：

mgh - EqL =  mv2 -  m ……⑥

联立④⑤⑥可解得：v= ……⑦

带电小球从板右侧以初速度v沿板下滑，它对板的压力与电场力相等，所用小球受到的摩擦力为：

f = ？滋qE =  ……⑧

要使它运动到地面，到达地面的速度大于或等于零，等于零时的动摩擦因数最大为μm，对小球在板上运动，运用动能定理有：

mg·  - f·  = 0 -  mv2……⑨

联立⑧⑨可解得：μm =  . 此时小球沿板做匀减速运动.

当μ较小时，小球沿板也能匀速或加速运动到达地面，而动摩擦因数μ不能为零. 因此μ应满足的条件为：0 < μ <  .

点评：综上所述，解答带电体在复合场中的复杂运动时，可以将此复杂的运动分解为两个相正交的比较简单的直线运动来处理，从而使得问题简单易解.

四、平抛运动问题

【例6】（2014·全国Ⅰ卷）如图5所示，O、A、B为同一竖直平面内的三点，OB沿竖直方向，∠BOA = 60°，OB =  OA. 将一质量为m的小球以一定的初动能自O点水平向右抛出，小球在运动过程中恰好通过A点. 使此小球带电，电荷量为q（q > 0），同时加一匀强电场，场强方向与△OAB所在平面平行. 现从O点以同样的初动能沿某一方向抛出此带电小球，该小球通过了A点，到达A点时的动能是初动能的3倍;若该小球从O点以同样的初动能沿另一方向抛出，恰好通过B点，且到达B点时的动能为初动能的6倍，重力加速度大小为g. 求：

（1）无电场时，小球到达A点时的动能与初动能的比值;

（2）电场强度的大小与方向.

解析：本题考查了平抛运动、电场力、动能的定义、动能定理、运动的合成与分解、带电体在复合场中的运动等，目的在于考查同学们的综合应用能力. 根据在匀强电场中，沿任一直线，电势的降落是均匀的，找到两次运动下的势能变化和图中几何关系的比例方程，从而找到解决问题的突破口.

（1）设小球的初速度为v0，初动能为E ，从O点运动到A点的时间为t1，令OA = d，则OB =  d. 根据平抛运动的规律有

dsin60° = v0 t……①

dcos60° =  gt2……②

又有E  =  m ……③

联立以上三式可解得E  =  mgd……④

设小球到达A点时的动能为E ，则有

E  = E  +  mgd……⑤

联立④⑤两式可解得  =   ……⑥

（2）加电场后，小球从O点到A点和B点，高度分别降低了 和 . 设电势能分别减小了？驻EpA和？驻EpB，由能量守恒和④式可得

？驻EpA = 3E  - E  -  mgd =  E ……⑦

？驻EpB = 6E  - E  -  mgd = E ……⑧

在匀强电场中，沿任一直线，电势的降落是均匀的. 设直线OB上的M点与点A等电势，M与O点的距离为x，如图6，则有

=  ……⑨

解得x = d. MA为等势线，电场必与其垂线OC方向平行. 设电场方向与竖直向下的方向的夹角为θ，由几何关系可得

θ = 30°……？輥？輮？訛

即电场方向与竖直方向的夹角为30°.

设电场强度大小为E，则有

qEdcos30° =  ……？輥？輯？訛

联立④⑦？輥？輯？訛三式可解得E =  .

点评：顺利求解本题的关键是要深挖隐含条件：（1）小球以一定的初动能自O点水平向右抛出，小球在运动过程中恰好通过A点，隐含着小球的运动遵循平抛运动的规律，小球机械能守恒;（2）沿某一方向抛出此带电小球，该小球通过了A点，到达A点时的动能是初动能的3倍;沿另一方向抛出，恰好通过B点，且到达B点时的动能为初动能的6倍. 隐含着：电场与电场力的方向不确定，而且小球做曲线运动，利用能量守恒去解答. （3）匀强电场，隐含着匀强电场中，沿任一直线，电势降低是均匀的，电场线与等势线垂直，所以关键是找到O、B连续上与A电势相等的点M，A、M连线就是电场中的一条等势线.

五、两带电体在复合场中的运动问题

【例7】（2017·全国Ⅱ卷）如图7所示，两水平面（虚线）之间的距离为H，其间的区域存在方向水平向右的匀强电场. 自该区域上方的A点将质量均为m、电荷量分别为q和-q（q > 0）的带电小球M、N先后以相同的初速度沿平行于电场的方向射出. 小球在重力作用下进入电场区域，并从该区域的下边界离开. 已知N离开电场时的速度方向竖直向下;M在电场中做直线运动，刚离开电场时的动能为N刚离开电场时的动能的1.5倍. 不计空气阻力，重力加速度大小为g. 求：

（1）M与N在电场中沿水平方向的位移之比;

（2）A点距电场上边界的高度;

（3）该电场的电场强度大小.

解析：该题以带电小球在组合场额叠加场中的运动为背景，考查了平抛运动的基本规律、匀变速直线运动规律、动能定理、运动的分解，以及电场力做功的特点等内容. 目的在于考查同学们综合运用物理知识与数学知识求解复杂运动问题的能力.

（1）设小球M、N在A点水平射出时的初速度大小为v0，则它们进入电场时的水平速度仍为v0. M、N在电场中运动的时间t相等，电场力作用下产生的加速度沿水平方向，大小均为a，在电场中沿水平方向的位移分别为s1和s2. 则由题给条件和运动学公式有：

v0 - at = 0……①

s1 = v0 t +  at2……②

s2 = v0 t -  at2……③

联立以上三式可解得  = 3……④

（2）设A点距电场上边界的高度為h1，小球下落h时在竖直方向的分速度为vy，则由运动学公式得：

= 2gh……⑤

H = vy t +  gt2……⑥

M进入电场后做直线运动，则由几何关系知  =  …⑦

联立①②⑤⑥⑦可解得h =  H……⑧

（3）设电场强度的大小为E，小球M进入电场后做直线运动，则有

=  ……⑨

设M、N离开电场时的动能分别为E 、E ，则由动能定理可得

E  =  m（  +  ） + mgH + qEs1……⑩

E  =  m（  +  ） + mgH - qEs2……？輥？輯？訛

由已知条件有E  = 1.5 E ……？輥？輰？訛

联立④⑤⑦⑧⑨⑩？輥？輯？訛？輥？輰？訛可解得E =  .

点评：本题中包含两个十分重要的题设条件：（1）M在电场中做直线运动;（2）N离开电场时速度方向竖直向下. 通过条件（1）分析可知M在电场中所受合外力的方向与进入电场时的初速度方向一定相同，否则M不可能做直线运动. 通过条件（2）分析可知，N在离开电场时，其水平方向速度分量为零，只有在正确认识这两个条件所反映的客观事实的基础上才能正确地求解本题.

温馨提示：本题中M球在电场中的直线运动，可以分解为水平方向的匀加速直线运动和竖直方向的匀加速直线运动;N球在电场中的曲线运动可以分解为水平方向的匀减速直线运动和竖直方向的匀加速直线运动. 当无法对实际运动过程进行分析时，可以考虑将实际运动进行分解，从而将实际运动问题转化成不同方向上的运动问题.

练习题

1. 如图8所示，一个带负电的油滴以初速度v0从P点斜向上进入水平方向的匀强电场中，若油滴达到最高点的速度仍为v0，则油滴的最高位置在（ ）

A. P点左上方

B. P点右上方

C. P点正上方

D. 无法确定

2. 如图9在水平方向的匀强电场中，有一带电微粒质量为m、电量为q，从A点以初速度v0竖直向上射入电场，到达最高点B时的速度大小为2v0，不计空气阻力. 试求：

（1）该电场的场强E;

（2）A、B两点的电势差UAB.

参考答案：

1. A  2.（1）E=  （2）UAB=

责任编辑   李平安