染色问题新解

甘肃省庆阳市第三中学 徐永毅

求解染色问题，基本思路如下：

第一，将各区域编号；

第二，简化图形，将相邻部分用短线连接；

第三，将不相邻的两个编号写在一起，用颜色种类的多少分析、分类。

“实践是检验真理的唯一标准。”下面提供两道典型例题，对以上三个解题步骤加以具体分析，化繁为简，轻松解决染色问题。

例1：某城市中心广场建造一个花圃，花圃分为6 部分（如图1所示）。现在要栽种四种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同种颜色的花，不同的栽种方法有多少种？

分析：①将各区域编号，如图2 所示；

②化简图形，如图3 所示；

③不相邻区域的编号组有（2,4）、（2,5）、（3,5）、（3,6）、（4,6），由于用4 种颜色的花栽6 个区域，所以要有两个不相邻组（6-4=2）栽同色花，因此要将上述5 组重新分组组合（含相同编号的不能分到同一组），即[（2,4），（3,5）]、[(2,4),(3,6)]、[(2,5),(3,6)]、[(2,5),(4,6)]、[(3,5),(4,6)]5 组，现从这5 组中任选一组，共有 种选法，不妨设取出的是[（2,4），（3,5）]，此时将6 个区域分成（2,4）、（3,5）、（1）、（6）四个区域，用4 种颜色的花栽这四个区域有 种可能，因此，此题总共有 种不同的栽种方法。

例2：如图4 所示，将一个四棱锥每一个顶点染色，并使同一条棱上的两端点异色，并只有5 种颜色可供使用，则不同的染色方法总数有多少种？

分析：区域编号、简化图形分别如图5、图6 所示。

①当5 种颜色全部使用时，有 种染法。

②当用4 种颜色染色时，只能有一个不相邻组（5-4=1）染同色。而不相邻组有（2,4）、（3，5）两组，从两组中选一组，有 种方法，不妨设取出的是（2,4），此时将5 个区域分成（1）、（3）、（5）、（2,4）四个区域，从5 种颜色中取出4 种颜色，有 种方法，用这4 种颜色染这四个区域，有 种方法，因此，总共有 种方法。

③当用3 种颜色染色时，必有两个不相邻组（5-3=2）染同色。而不相邻组有（2,4）、（3,5）两组，从两组中任选两组，有 种方法，即取出（2,4）、（3,5），此时将5 个区域分成（2,4）、（3,5）、（1）三个区域，从5 种颜色中取出3 种颜色，有 种方法，用这3 种颜色染这三个区域，有 种方法，因此，总共有 种方法。

由①②③知，共有 + + =420（种）染法。

通过对以上两道例题的解析，相信大家对解决染色问题的三个基本步骤有了更深的了解。其实表面上看很复杂、烦琐的问题，往往有“迹”可寻，只要认真思考，掌握染色问题的解题思路，这是解答染色问题的关键。

通过以上两例的分析，相信大家已经掌握了“新”解染色问题的方法，下面提供两道习题操练一下吧！

练习：

（1）如图7 所示，用五种不同颜色分别给A、B、C、D 四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法有几种？（答案：180 种）

（2）如图8 所示，一个地区分为5 个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4 种颜色可供选择，则不同的着色方法共有多少种？（答案：72 种）

怎么样，做起来是不是有种茅塞顿开的感觉呢？其实还是那句古训“世上无难事，只怕有心人”。学习要善于总结和积累，题做得多了，自然熟能生巧，就能悟出“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”的道理。

笔者为大家提供的染色问题“新”解法，我们亲切地称它为“染色三部曲”，该解法具有很强的普遍性，大多数染色问题都可利用它来解决。通过以上分析解答，相信大家能掌握一些解决染色问题的技巧，通过刷题提高分析推理能力，顺畅解决染色问题。