融数学史于中学数学课堂教学的思考

胡鑫鑫

(喀什大学数学与统计学院，新疆喀什，844008)

1972年，在第二届国际数学教育大会上成立了数学史与数学教育关系国际研究小组(International Study Group on the Relations between History and Pedagogy of Mathematics，简称HPM)，标志着数学史与数学教育关系成为一个学术研究领域与课题。[1]这为数学课堂教学迈入新的领域奠定了基础。2003 年，教育部制定的《普通高中数学课程标准(实验)》指出，“数学课程应适当反映数学的历史、应用和发展趋势，数学对推动社会发展的作用……寻求数学进步的历史轨迹，激发学生对数学创新原动力的认识”[2]。之后，高中数学设置了“数学史选讲”等专题，这为数学史进入课堂教学提供了有利契机。

近年来，随着新课改的深入开展，很多教师已在课堂教学中渗入数学史知识，但教学大多只是停留在以附加的方式讲授数学故事，删减后对课堂效果毫无影响。在这样的背景下，如何将数学史融于课堂教学以提高教学效果显得尤为重要。

一、数学史的教育价值

(一)重现数学家的精神，激励学生不断进取

米勒曾说过：“揭示历史上著名数学家的失败，比介绍他们的成功更能让数学教师获益。”[3]正如米勒所讲，失败可以让教师和学生明白，任何一个定理、公式的取得并不是一蹴而就的，而是在前人失败的基础上发展而来的。要想充分利用好这类内容的教育价值，教师可以在教学中渗透数学史料。数学史料的价值一方面体现在以阅读材料的形式附加在课本中，让学生了解数学家的伟大成就；另一方面体现在让学生感受到数学家探索过程的艰辛以及遭遇失败后永不放弃的品质。数学家也会遭遇困境，但他们在遇到问题时首先想到的不是退缩而是解决问题，这会激励学生勇于面对问题、想办法解决问题。由此可以看出，失败之中也蕴含着潜在的教育价值，它可以鼓励学生不断进取。

(二)创设新颖情境，激发学生好奇心

课堂情境的创设会对一节课的教学质量产生重要影响。新颖的情境问题不仅能使学生将专注力集中于课堂，还能让学生感受到数学的独特魅力。教学众数时，教师如果直接给出众数的概念，会显得很突兀。教师可以以数学史小故事“唯一机会”为引子，创设新颖情境，激起学生的好奇心。

伯罗奔尼撒战争中，雅典的军事同盟普拉提亚战败，伯罗奔尼撒人便在城外筑起高墙，想要将敌人困死在城内。不久后，城中食粮短缺，普拉提亚人打算做梯子翻过敌人的围墙。梯子的高度要和围墙一样高才可能翻过围墙，普拉提亚人准备通过数围墙砖块的层数来计算围墙高度。同一时间内，很多人数了城墙上砖块的层数，结果却不同。问：如何确定砖块层数？在这个问题中，选择众数是普拉提亚人逃生的唯一机会。[4]

了解这则故事后，学生会惊叹于数学应用之广泛，体会到数学不是课本上一个个冰冷的定理和公式，而是存在于生活各处。这节课中，教师通过趣味故事将生活情境与数学问题紧密联系，激发学生的好奇心，引导学生积极寻求解决问题的方法。

(三)查明文化起源，预测认知困难

数学家克莱因指出：“历史上的大数学家遇到的困难，恰好是学生(在学习数学的过程中) 经历的障碍。另外，学生克服这些困难的方式与数学家用过的方式是大致相同的。”[5]由此可见，学生学习新知识所面临的困惑也可能是历史上的数学家曾面临的问题。基于此，教师可以通过数学史再现历史上数学知识的发生发展过程，了解数学家在创造知识过程中所遇到的困惑，促使学生更好地把握教材的重点难点，进而提高课堂效率。

例如，几乎每个学生都知道“一个非零数除以零”是没有意义的，但古代数学家对零的运算却产生了很大的困惑。数学家婆罗摩笈多在其著作《婆罗门修正体系》中讨论了负数和零的法则，其中有0÷0=0；数学家摩诃毗罗在《计算及方法纲要》中给出了a÷0=a的运算法则；数学家释律帕提给出了a÷0=0(a≠0)的法则；婆什伽罗在《莉拉沃蒂》中提出了八个与零有关的法则，其中有(a×0)÷0=a(a≠0)。即便在近代，人们对“除以零”的运算仍有困惑。[4]看起来如此简单的知识点原来是许多数学家的困惑，只有当教师了解到这一数学史料后，在讲解这部分知识时才会想到学生可能也有同样的疑惑。因此，课堂上教师不能只是单一地传授“一个非零数除以零是没有意义的”，而要重点讲解其内在原因，从根本上消除学生的疑虑，以防止学生计算时出现更大的错误。

历史就像一面镜子，让后人可以了解前人在探索过程中遭遇的问题。以史为鉴，教师了解历史便可以更好地了解学生的认知，在教学过程中适时性地增加相关史料的讲授以减少学生学习上的困惑。

二、数学史融于课堂教学的方式

融数学史于数学课堂教学，若只是陈述历史事件，就难以发挥其真正价值。教师可以重构数学史知识，运用数学史讲解知识的历史渊源。这样，学生对课堂知识的理解会更加深刻。反过来，通过课堂知识诠释数学史，也会使数学史发挥更大的教育价值。

(一)情境引入，学习数学概念

运用数学史引入新课，可以为数学学习增添乐趣，有益于学生对数学概念的理解。教学中位线时，中位线这一概念比较抽象，直接引入会比较突兀，学生也不容易接受，教师可以通过“土地分割”的故事激发学生的好奇心。

在巴比伦两河流域，有四位兄弟本来相安无事地生活着，直到一天他们父亲的去世打破了这一平静，大家为了分割父亲留下的一块土地而争论不休。土地为三角形形状，请同学们利用所学的数学知识设计方法帮助这四位兄弟解决矛盾，回归平静的生活，同时也要对自己设计的方法有所说明，来说服四兄弟停止争论。[6]

通过数学史设计问题，学生会产生浓厚的兴趣，进而积极探索。教师可以先让学生自己寻求解决问题的办法，再根据学生的思考情况引出中位线这一概念，之后讲述历史上刘徽如何运用中位线推导三角形面积公式。讲授历史上数学家对中位线的应用可以让学生对中位线有更加清晰的认识，辅助学生理解中位线。

(二)改编历史名题，巩固课堂新知

新颖的教学过程有利于学生掌握知识，同样，有效的课后练习可以帮助学生更好地巩固知识。教师在设置课后练习时应避免机械重复，可将数学史改编到练习中。以二元一次方程组为例[6]：

(1)“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问：鸡兔各几何？”(《孙子算经》)

(2)“今有牛二、羊五直金九两，牛五、羊二直金十二两，问牛羊各直金几何？”(《九章算术》)

第一个“鸡兔同笼”问题是比较经典的问题，学生可以根据以前所学知识运用一元方程解决。在学完本节课知识后，教师可以让学生尝试用二元一次方程组求解。第二个问题相对第一个问题较为复杂，学生一开始习惯运用一元方程列式子，算式可能比较复杂，甚至无法计算。这便会引起学生的思考，是否可以根据课上所学运用二元一次方程组解决：题目中有两个未知量，那就设两个未知数，进而根据题目列方程求解。这两个问题的设置遵循循序渐进的原则，不是直接要求学生运用二元一次方程组，而是有一个知识的过渡，遵循学生的认知特点，给予学生消化新知识的时间，帮助学生通过练习达到掌握知识的目的。

改编数学史于练习题中，不仅可以让学生巩固课堂知识，也可以让学生感受到数学的魅力。教师还可以给学生讲解题目的出处，使学生感受到不同时代、不同国家的历史文化，体会数学文化的多元性。

三、运用数学史传承人文精神

(一)获得真知，戒骄戒躁

数学的严谨性和逻辑性可以有效训练学生的思维能力。例如，在证明数学定理时，学生要有严密的逻辑思维和推理能力。在推理过程中，学生首先要找到已知条件与结论之间的内在联系，然后按照逻辑一步步地证明。整个过程中，学生严谨认真的态度尤为重要，中间每一步推理失误都可能与结论失之交臂。通过学习数学史，学生可以了解数学家之所以取得伟大成就，是因为他们对问题的执着、对科研的严谨以及对数学真正的热爱。这样，当学生研究问题时便不会心浮气躁，遇到困境时也不会轻易放弃。

(二)训练思维，发展心智

数学学习过程中经常会出现一题多解的情况，但有的学生受思维定式影响，经常局限于一种思路。这时，教师可以介绍相关数学史实，让学生从中找到更多精彩的内容和丰富多彩的方法。多样的解题思路可以帮助学生走出思维定式，一定程度上也可以促使学生接纳他人的想法。这一学习品质在生活中同样需要：每个人的生活环境不同、想法不同，学生应该接受多样性的存在。因此，学生学习数学史不仅可以训练思维，还可以学会尊重与包容，从而促进心智发展。

(三)培养兴趣，深入探究

因为抽象性，数学对很多学生来说是较为枯燥的学科。教师可以借助数学史激发学生的学习兴趣，挖掘学生的学习潜力，促使学生积极主动地发现与感受数学的魅力。伟大的数学家陈景润在哥德巴赫猜想方面做出了巨大贡献，但他并不是一开始便钟爱数学，而是偶然听了沈元教授讲授数学课后爱上了数学。课堂上，沈元教授讲了如下故事：200年前有个法国人发现了一个比较有趣的现象：6=3+3，8=5+3，10=5+5，12=5+7，28=5+23，100=11+89。每个大于4的偶数都可以表示为两个奇素数之和。因为这个结论没有得到证明，所以还是一个猜想。大数学家欧拉说过：虽然我不能证明它，但是我确信这个结论是正确的。它像一个美丽的光环，在我们不远的前方闪耀着炫目的光辉……[7]这一偶然的机会令陈景润对数学产生了浓厚的兴趣，从此沉迷于图书馆查找、阅读大量书籍，为他以后的研究奠定了基础。当前教学中，大多数学生只是沉浸于题海中，为了做题而做题。教师若在教学中加入数学史的内容，学生可能会缘于一个故事或一段历史，真正爱上数学。

四、结语

爱因斯坦说：“教育不是用好胜心去诱导学生的竞争心理，而是要用好奇心去激励学生的科学兴趣。”[8]融数学史于数学课堂教学可以让学生明白数学并不是一门枯燥无趣的学科，而是一门富有丰富内涵的有趣的学科。融数学史于数学课堂教学可以提高学生的学习积极性，激发学生学习数学的兴趣，促进学生正确数学观念的形成；也可以激励教师深入学习数学史，运用数学史武装教学，不断提高自己的教学技能。只有不断将数学史与实践结合起来，才能更好地促进数学史的蓬勃发展，为现代教学课堂提供更加丰富的素材。