有限覆盖定理证明实数完备性的其余等价定理

阿力非日，张 艳

(西昌学院彝语言文化学院，四川西昌 615000)

0 引言及预备知识

实数系的完备性是实数的一个重要特征，与之相关的 7个基本定理是彼此等价的，并且是论证其他一些重要定理(如一致连续性定理等 )的依据，它们从不同的方式刻画了实数集R的一种特性，通常称为实数的完备性或实数的连续性，因此在理论上具有重要价值.完备性公理等价既是如果把实数分成上、下两集，当下集里无最大值时，上集必有最小值.这说明实数具有连续性，填满了整个数轴(没有空隙).

实数完备性的七个定理：

(1)Heine-Borel有限覆盖定理：设H为闭区间[a，b]的一个无限开覆盖，则从H中可选出有限个开区间来覆盖[a，b]

(2)确界原理：设S为非空数集.若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界.

(3)单调有界定理：在实数系中，有界的单调数列必有极限.

(4)致密性定理：任何有界数列必有收敛的子列.

(5)Cauchy收敛准则：数列{an}收敛的充要条件是：∀ε>0，∃N∈N*，当n，m>N时有 |an-am|<ε.

(6)区间套定理：若{[an，bn]}是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点ξ，使得ξ∈[an，bn]，

n=1，2，…，即anξbn，n=1，2，….

(7)Weierstrass聚点定理：实轴上的任一有界无限点集S至少有一个聚点.

1 具体证明过程

1.1 有限覆盖定理证明确界定理

证明：反证法.设S为非空数集，设∅≠S⊂R,∀x∈S,有xM.∀x0∈S.考虑闭区间[x0，M]，假如S无上确界，那么∀x∈[x0，M]：

(1)当x为S的上界时，必然有更小的上界x1

(2)当x不是S的上界时，自然有更小的上界x2>x.于是x有开邻域Δx.其中没点都不是S的上界.

闭区间[x0，M]上每点都可以找出一个邻域Δx，它要么属于第一类(每点皆为上界)，要么属于第二类(每点皆不是上界)，令H={Δx|x∈[x0，M]}，则H是闭区间[x0，M]的一个开覆盖，根据有限覆盖定理，必存在有限子覆盖{Δ1，Δ2，…，Δn}，易知M所在的开区间为第一类的，相邻接的开区间Δx有公共点，也应为第一类的，经过有限次邻接，可知x0所在的开区间也是第一类的.矛盾.

故S有上确界.证毕.

1.2 有限覆盖定理证明单调有界定理

证明：反证法.不妨设序列{xn}单调递增，且xnM(n=1，2，…).由{xn}⊂[x1，M]，

假设对∀x∈[x1，M]，x都不是序列{xn}的极限.则存在ε0>0，对∀N∈N*，存在n>N，

有

|xn-x|≥ε0.

故{xn}必存在极限.证毕.

1.3 有限覆盖定理证明致密性定理

证明：反证法.设{xn}⊂[m，M]为有界数列，若{xn}中无收敛子列.对∀x′∈[m，M]，{xn}中无子列收敛于x′，即∀x′∈[m，M]，∃δx′>0，使U(x′，δx′)内只含有{xn}中至多有限项.事实上，若存在x0∈[m，M]，对任意δ>0，在U(x0，δ)内都含有{xn}的无穷多项，则{xn}必有子列收敛于x0.令

H={U(x，δx)|x∈[m，M]}.

则H是[m，M]的一个开覆盖，根据有限覆盖定理，H中存在有限个邻域U(x1，δx1)，…，U(xn，δxn)使得覆盖了H，当然也覆盖了[m，M].由于每个邻域内只含有{xn}中至多有限项，从而{xn}只有有限项.矛盾.

故{xn}中必含有收敛子列.证毕.

1.4 有限覆盖定理证明Cauchy收敛准则的充分性

证明：反证法.∀ε>0，∃N，当m，n>N时，|xm-xn|<ε.取m=N+1，则对∀ε>0，当n>N时，有|xn-xN+1|<ε.令ε=1，则当n>N时，有|xn-xN+1|<1，即xN+1-10，对任意N，存在n>N，有|xn-x|≥ε0.则在内只含有{xn}的有限项.

故{xn}收敛.

1.5 有限覆盖定理证明区间套定理

证明：反证法.设{[an，bn]}为闭区间套.但对∀x′∈[a1，b1]，至少存在k∈N.使得x′∉[ak，bk]，从而存在δx′>0.使得

U(x′，δx′)∩[ak，bk]=∅.

因为G={U(x′，δx′)|x′∈[a，b]}是[a1，b1]的一个开覆盖，故G中有限个开区间即可完全覆盖[a1，b1]，记为

G*={U(xi，δi)|i=1，2，…，n}.

由此得出

这与G*={U(xi，δi)|i=1，2，…，n}是[a1，b1]的开覆盖矛盾.

1.6 有限覆盖定理证明聚点定理

证明：设S是直线上的有界无限点集，于是存在a，b.使得S⊂[a，b].假定[a，b]中任何一点都不是S的聚点，则对任意x∈[a，b]，都存在相应的δx>0，使得U(x，δx)内至多含有S的有限多个点.令

H={U(x，δx)|x∈[a，b]}.

则H是[a，b]的一个开覆盖，根据有限覆盖定理，H中存在有限个邻域U(x1，δx1)，…，U(xn，δxn)使得覆盖了H，当然也覆盖了S.由于每个邻域内至多含有S的有限个点，故这n个邻域的病集也至多只含S的有限个点.于是得到S为有限点集.这与题设S为无限点集矛盾.

因此，在[a，b]中至少有一点是S的聚点.