一种数学应用题问题情境仿真支持系统P4S研究

余小鹏 赵亚 殷浩

摘   要：理解问题情境是表征应用题的前提，然而中小学生普遍存在着忽视问题情境等问题。问题情境仿真有助于问题情境的理解，但当前仿真技术难度较大。文章提出一种面向数学应用题的问题情境仿真支持系统P4S，以图形化方式支持教师对问题情境进行个性化仿真创设，支持学生参与、重构问题情境，并通过分析学生重构问题情境的行为数据，构建其题意理解能力模型。P4S能有效支持广大师生对数学应用题问题情境进行个性化仿真或重构，非常有利于学生对问题情境的理解。

关键词：应用题;问题情境;个性化仿真;情境重构

中图分类号：C931.6 文献标志码：A 文章编号：1673-8454（2020）01-0041-05

一、引言

数学应用题是联系数学理论与实际的桥梁，在整个中小学素质教育中占据着重要地位。新课程理念下“应用题”教学更侧重于学生的问题意识和应用能力的培养。数学应用题解题包括表征和解决（执行）两个过程，表征是解决的前提，问题情境理解是表征的前提。但在问题情境理解方面，广大中小学生普遍存在着忽视问题情境、缺乏数学思考等问题，绝大多数小学生的学习更依赖由直观观察所获得的具体化经验和理解。根据构建主义等理论，问题情境仿真能从根本上支持理解问题情境，有利于教师的“教”，有利于学生的“学”。然而对于广大中小学师生而言，当前仿真技术还存在着难度较大等情况。

二、提出问题

当前国内外针对数学领域动态仿真方面的研究很多。这些研究主要是围绕一定的问题，采用一定的技术（例如VRML、Flash、Java、C++等），或者基于一定的软件工具（MatLab），从3D、虚拟/增强实现、可视化、动画和游戏等方面展开研究，在一定程度上有利于学生对问题情境的理解。很明显，对于广大中小学师生而言，掌握这些技术的难度较大。Scratch是图形化编程的代表，但其编程模块没有语义信息且数量多、尺寸小，没有明显的多场景概念，需要复杂的编程模块组合才能实现类似场景转换的效果。

同时，当前研究不支持对任意数学题中的问题情境进行仿真，只能对被作为研究对象的、特定数学题的问题情境进行仿真处理。这肯定不能满足广大师生的个性化需求。其实，只有支持对任意题的问题情境进行可视化处理，相关技术研究才有普适性，才更有意义。

当前一些研究成果与教育认知工具还不能有效支持用户个性化仿真创设，用户必须在工具提供的、固定的操作模式下進行处理。其实问题情境的理解是用户的内部表征，具有非常明显的个性化特征。如果不能支持个性化仿真创设，就不能充分发挥学生“学”的主动性，不能真正体现学生的参与。

基于上述问题，本文提出一种问题情境仿真支持系统（Problem Situation Simulation Support System，P4S），该系统支持师生对应用题问题情境进行个性化仿真、重构，以有利于教师对问题情境的可视化讲解，以及学生对问题情境的理解;并根据学生重构问题情境的行为数据构建学生题意理解模型，以有利于教师的个性化辅导。

三、问题情境仿真支持系统

1.相关定义

数学应用题的问题情境包括其组成集合（Set）及其彼此之间的关系。集合往往用事物、数量、说明和角色四个“槽”（Slots）来表示。其实，可以用构件来表示集合，槽就是构件的属性组成，其中“角色”槽所包含的开始、转移、结果等图式关系就是构件之间的情境关系。

构件Component：构成问题情境的“集合”，其属性为该集合相对应的槽。构件包括系列情境方法，这些方法执行时修改属性数据，并触发重绘事件，实现问题情境动画等可视化效果。构件分为简单构件与复合构件两种，后者由前者组成。

情境片段 （Situation Part，S_P）：构成问题情境的情境片段。S_Pi由构件及其彼此之间的情境方法S_Medthodi、执行条件与终止条件conditioni[s，e]、开始事件与结束事件eventi[s，e]等组成，S_Pi={Component_Listi，S_Medthodi，conditioni[s，e]，eventi[s，e]}。

问题情境文件（Problem Stituation  Description File，PS_File）：描述了数学应用题所在的问题情境，是系列情境片段S_P的集合，PS_File={S_P1，…，S_Pn}。PS_File包括PS_File_T和PS_File_S两种。前者主要面向教师类用户的问题情境创设，后者主要面向学生类用户的问题情境重构。

问题情境仿真支持系统P4S：一种以图形化方式有效支持用户定义问题情境的软件工具，支持教师与学生仿真或重构系列情境片段S_Pi，并生成PS_File。P4S解释PS_File，执行单个情境片段S_Pi，或者串行执行系列S_Pi，以动画等可视化方式展示师生仿真问题情境的效果;通过诊断、分析学生重构问题情境的行为，构建其题意理解能力模型，以有利于教师对该学生的个性化辅导。P4S包括教师端和学生端。教师端的输入为应用题题目，输出为PS_File_T;学生端根据PS_File_T初始化仿真环境，支持学生类用户参与、重构问题情境。其工作示意图如图1所示。

2.功能结构与关键模块

P4S提供了丰富的构件，以构件组装的方式有效支持用户仿真问题情境，使用户不再陷入烦琐的技术陷阱。其主要构成有仿真构件库Component_DB、动画库Animation_DB、情境编辑模块PS_Edit、情境仿真脚本语言xSSL#与PS_File、领域知识库、学生题意理解能力模型构建模块UP_SM等等。情境编辑模块PS_Edit通过调用P4S核心部分，为用户图形化情境编辑提供支持。P4S功能结构如图2所示。

（1）仿真构件库Component_DB

Component_DB是面向数学应用题领域的一系列仿真构件的集合，参考Mayer的8个族、47个类及其变式，以及华师一附中光谷分校的动点与动角、钟表问题等设计而成。例如：可从11类时间效率-行程问题、6类钟表问题中提取出主要仿真构件“行程角色”（包括人、汽车、自行车等）、钟表的“表盘”等。Componenti包括属性、方法与事件，可描述为：Componenti={ID，Type，Arr_List，Method_List，Event_List，Description}。

其中Arr_List主要描述Componenti的属性及属性值，例如“行程角色”的属性包括行程开始时间、方向（A→B或者A←B）、速度等，钟表属性包括表盘、刻度的显示，秒针、分针与时针转动的关系，以及初始转动速度、初始时间等。Method_List就是Componenti所应具备的方法列表，例如“行程角色”沿線段A→B移动、钟表时针与分针的转动等。Event_List响应用户鼠标键盘等交互信息，例如：钟表初始时间设置时的按钮点击、属性（“槽”）值的编辑等。

（2）动画库Animation_DB

Animation_DB是实现问题情境中动画等可视化效果的方法集，采用增量更新的方法设计，通过PS_Edit的调用，可以有效使对象“动”起来。动画库为不同构件所共享，因此在系统架构设计方面，动画库不能作为构件的方法集，而必须作为独立的模块供构件调用。

Animation_DB的方法集主要包括：①属性之间常见图式关系的实现，例如移入、移出、整体与部分等。②构件方法的实现，例如行程问题、动点等问题中“动点”沿一定轨迹的移动;钟表问题、动角问题中“角”的旋转及其“角度”的变化;逻辑坐标与物理坐标之间的映射等。其中动点“移动”的方法Point_Move需要计算移动距离Distance在Path上的映射、计算出动点新的坐标;参数 Path为该动点移动的路径，其类型包括垂线、水平线、斜线、折线、弧线等。Point_Move函数体伪代码如表1所示。

（3）xSSL#与PS_File文件

xSSL#（xml-based Situation Simulation  Language Sharp，xSSL#）是一种基于xml的情境仿真脚本语言，用“+、-、×、/”等常规运算符、 [id.属性|方法]等方式来描述环境参数、构件属性，及构件之间的情境关系等。PS_File是由xSSL#语言描述的问题情境仿真文件，由PS_Edit自动生成，也可由用户编写，其属性Type包含T和S两种。PS_File_T主要包括Environment和Teacher两部分;其中Environment描述了教师对画布等全局构件、参数的设置，Teacher描述了教师对情境片段S_Pi的创设;PS_File_S在PS_File_T基础上，增加节点Student，描述了学生对S_Pi的重构，其构成类似于Teacher。Teacher是学生重构问题情境的目标，以及评价学生重构问题情境质量的判断依据。

（4）情境编辑模块PS_Edit

PS_Edit主要支持用户通过图形化界面，对构件进行组装，并调用封装在构件库中的构件函数，以及动画库中的“情境函数”，实现问题情境仿真编程。PS_Edit使用户将注意力集中在问题情境描述上，而不被编程语言和算法所影响。该部分包括教师端PS_Edit_T和学生端PS_Edit_S。PS_Edit_T的输入为应用题本身，输出为PS_File_T。PS_Edit_S的输入为PS_File_T，输出为PS_File_S。PS_Edit工作示意图如图3所示。

PS_Edit包括图形化情境编辑、情境实现、学生重构行为诊断等。学生重构行为诊断模块把PS_Edit_S中的Student节点所描述的“源”情境与Teacher节点中相应的“目标”情境进行匹配，以对学生重构行为进行提示、检错与纠错。情境实现部分主要解释PS_File中各情境片段S_Pi，当满足条件conditioni[s]时，生成Component_Listi、执行一次eventi[s]，循环执行S_Medthodi，修改相关构件属性数据，并通知构件重绘以实现情境仿真效果;当满足条件conditioni[e]时，执行eventi[e]，并停止运行S_Pi。情境实现部分运行代码如表2所示。

图形化情境编辑主要功能包括：①全局参数的设置，例如画布大小、时间与空间比例尺等。②窗口管理，有工具栏窗口、属性设置面板窗口、情境管理窗口、仿真预览窗口、仿真实现窗口，构件拖放、删除、选择等操作。③构件属性设置，通过智能属性窗口等，识别、编辑不同构件的属性值等。④情境关系设置，设置构件属性之间的图式，例如移入、移出;行程问题、动点等问题中动点“动”的策略设置等。一个行程问题的PS_Edit界面如图4所示，用户可以从工具栏中选择“动点”，在编辑区定义问题情境。

（5）其它模块

领域知识库（Domain_DB）根据数学应用题领域知识设计而成的数据库，包括定义、公式等。例如距离与速度、时间的关系，分解因式、提取公因数、最小公倍数与最大公约数的算法规则等。

学生题意理解能力模型构建模块支持收集学生重构问题情境过程中的行为数据，并运用BNT-SM、DINA等算法进行分析，构建UP_SM。

辅助功能主要包括用户行为数据的存取、PS_File的动态装载与卸载等。前者由用户以图形化方式调用，以便利存取其重构问题情境的行为数据。后者通过在newDomain中动态加载PS_File，以实现情境仿真;通过卸载newDomain，以释放相关资源，提高P4S性能。

四、P4S的应用

以如下行程问题为例：甲、乙二人在400米长的环形跑道上练习自行车，甲的速度比乙的速度快，当他们都从某处同时出发背向行驶时，每隔40秒钟就相遇一次，同向行驶时，每隔6分40秒相遇一次，求甲、乙两人骑车的速度。

传统的教学方式中教师往往以“口头讲解+绘制示意图”的方式进行。而P4S系统支持教师通过仿真动画进行讲解，仿真界面如图5所示，整个PS_Edit过程分为两个情境片段S_P1（同向而行）和S_P2（背向而行），教师设置各情境片段中仿真构件Componenti属性值与彼此之间的情境关系，由系统生成PS_File_T文件。学生可以通过执行PS_File_T来观看问题情境动画，同时可根据PS_File_T对问题情境进行重构。重构界面如图5所示。

本文以某小学10名教师以及五年级50名学生作为调查对象，采用问卷调查法测试其对该系统的接受程度。问卷共15道题，包括功能、操作便利性、使用效果等指标，主要从实用性、满意度两个方面展开，采用用来量化满意状态的5级量表即利克特量表进行分析。问卷回收95份，回收率为95%，有效数为92份，有效率为96.8%。调查结果如表3所示，可以看出：实用性和满意度的均值都接近4分且标准差偏低，说明师生一致认为该系统对学生理解题意是有帮助的，且愿意使用该系统;同时，教师对其实用性和满意度的均值比学生高，说明教师更接受该系统。该调查表明：师生对P4S接受程度整体偏高，认为该系统有利于学生理解题意。

五、结论

理解问题情境是解题的关键，然而对广大中小学生来说，问题情境的理解是难以逾越的鸿沟。从仿真角度对问题情境展开研究，是辅助教师讲解问题情境、学生理解问题情境的有效途径。本文提出一种面向数学应用题的问题情境仿真支持系统P4S，支持广大师生对问题情境进行个性化仿真处理。应用表明该系统有利于广大中小学学生更形象逼真地理解数学应用题问题情境与题意，进而有助于学生表征、解决应用题。

参考文献：

[1]王慧琴.小学数学“解决问题”教学研究——以应用题为例[D].呼和浩特：内蒙古师范大学，2009.

[2]罗奇，唐剑岚.数学问题表征与数学问题图式[J].数学教育学报，2013（2）：19-22.

[3]Duncker K. On problem-solving[J].Psychological Monographs， 1945，58（5）： （Whole No. 270）.

[4]Mayer， R. E， Dillon R F & Stemberg R J （Eds.）. Cognition and Instruction. Orlando： Academic Press，1986：127-154.

[5]中国教育报.黄荣怀院长接受中国教育报专访[DB/OL].http：//sli.bnu.edu.cn/a/xinwenkuaibao/meitibaodao/2016/0401/103.html.

[6]王林.小学数学课程标准研究与实践[M].南京：江苏教育出版社，2011.

[7]辛自强.数学应用题解决研究的理論进展——兼论表征复杂性模型[J].宁波大学学报（教育科学版），2004（5）：13-18.

[8]杨彦军，赵瑞斌，周海军.基于jsp-vrml-java技术的网上虚拟情境性学习平台的建构[J].现代教育技术，2005（5）：58-62.

[9]田爱奎.支持自主学习的数字化教学游戏研究[D].上海：华东师范大学，2007.

[10]L Sangsoo，CH Jin，JC Kang. Development of STAD-Based Elementary Mathematics Online Cooperative Learning Game Model[J].Journal of Korean Association for Educational Information and Media，2014，20（2）：217-246.

[11]王亚飞，刘邦奇.智能教育应用研究概述[J].现代教育技术，2018（1）：5-11.

[12]Field M，Benedikt MV. Augmented chemistry： An interactive education workbench[A]. Proceedings of International Symposium on Mixed and Augmented Reality[C].Darmstadt，Germany，2002：259-260.

[13]P Hyeon-Min， DY Chung， P Hyeon-Min， DY Chung. The Effects of Mathematics Game on Arithmetic Operations for Students with Intellectual Disabilities[J].Journal of Special Education for Curriculum and Instruction，2016，9（2）：39-57.

[14]王洪梅，王运武，丁超，唐丽.3D视频资源：数字化教育资源的新形态[J].现代教育技术，2017（4）：19-24.

[15]余小鹏，余小高.面向MOOC的情境仿真支持系统[J].武汉工程大学学报，2018（3）：340-344.

[16]祝智庭，沈德梅.基于大数据的教育技术研究新范式[J].电化教育研究，2013（10）：5-13.

[17]杨文阳，王燕.基于移动学习环境的数学教育游戏设计与开发探究[J].中国电化教育，2012（3）：71-75.

[18]祝智庭，彭红超.智慧学习生态：培育智慧人才的系统方法论[J].电化教育研究，2017 （4）：5-14.

（编辑：王天鹏）