浅析带电粒子在电场中运动问题的求解策略

邹兆贵 聂震萍

带电粒子在电场中的运动问题，因涉及电场和动力学的综合而成为同学们学习电场这部分知识时的一个难点。下面根据带电粒子在电场中的运动特征进行分类，剖析带电粒子的受力特点，提出相应的解题策略，以期为同学们解决此类问题提供一定的帮助。

一、带电粒子在电场中做直线运动

1.带电粒子做匀变速直线运动。

解题策略：带电粒子在电场中受静电力、重力及其他力共同作用，若这些力的合力恒定，同时与带电粒子的速度方向在同一条直线上，则带电粒子做匀变速直线运动。此时直接利用牛顿第二定律及匀变速直线运动规律即可求解相关问题。

例1 如图1所示，一平行板电容器的两极板与一电压恒定的电源相连，极板水平放置，两极板间距为d。在下极板上叠放一厚度为l的金属板，其上部空间有一带电粒子P静止在电容器中。当把金属板从电容器中快速抽出后，粒子P开始运动。重力加速度为g，则粒子运动的加速度为（ ）。

2.带电粒子做非匀变速直线运动。

解题策略：带电粒子在电场中受静电力、重力及其他力共同作用，若这些力的合力大小改变，方向不变，与带电粒子的速度方向在同一条直线上，则带电粒子做非匀变速直线运动。在分析清楚带电粒子的受力情况的前提下，利用牛顿第二定律可求得带电粒子的加速度大小，利用动能定理或功能关系可求得带电粒子的速度、位移等物理量。

例2 如图2甲所示，在水平地面上放置一个质量m=0.1 kg，带电荷量q=0.01 C的物体。物体与地面间的动摩擦因数μ=0.4，地面上方空间存在水平向左的电场，物体由静止开始向左运动，电场强度E随物体的位移x变化的图像如图2乙所示。取重力加速度g=10 m/s2，求：

（1）物体在运动过程中的最大加速度。

（2）物体的速度达到最大时距出发点的距离。

解析：（1）刚开始时物体的加速度最大，由牛顿第二定律得qE-μmg=ma max，解得a max=6 m/s2，方向水平向左。

（2）因为电场强度E随物体的位移x是变化的，所以物体受到的静电力随位移也是变化的，当静电力等于摩擦力时，物体的加速度a0=0，速度最大，则qE-μmg=ma0，解得E=40 N/C。由图乙知电场强度E与物体的位移x的函数关系式为E= 100-25x，解得x=2.4 m。

点评：物体所受合力最大时，物体的加速度最大;结合E—x图像分析知物体先做加速运动再做减速运动，当物体的加速度为0时，物体的速度达到最大。求解物体在电场中做非匀变速直线运动的位移，通常需要利用动能定理或结合与位移有关的图像来解决。

3.带电粒子在交变电场中做直线运动。

解题策略：带电粒子在周期性变化的交变电场中做直线运动时，分析清楚带电粒子在每一时间段内的受力情况，利用牛顿第二定律可求出粒子的加速度，作出粒子运动的v-t图像可直观地分析粒子的运动情况。

例3 如图3甲所示，两平行正对的金属板A、B间加有如图3乙所示的交变电压，一重力可忽略不计的带正电粒子被固定在两金属板的正中间P处。若在t0时刻释放该粒子，粒子会时而向A板运动，时而向B板运动，并最终打在A板上，则t0可能属于的时间段是（ ）。

答案：B

点评：带电粒子在周期性变化的交变电场中做直线运动时，作出粒子的v—t图像，借助图像与时间轴所围面积表示粒子的位移能够快速求得与粒子位移相关的物理量。

二、带电粒子在电场中做曲线运动

1.带电粒子做非匀变速曲线运动。

解题策略：根据带电粒子的运动轨迹及电场线的方向可判断出静电力的做功情况。带电粒子仅在静电力作用下运动时，静电力做正功，粒子的动能增加，电势能减小;静电力做负功，粒子的动能减小，电势能增加。根据电场线的疏密分布情况可判断出电场强度的大小，从而可分析出带电粒子的加速度变化规律。

例4 如图5所示，实线是电场线，一带电粒子仅在静电力的作用下沿虚线从A点运动到B点的过程中，其速度时间图像是图6中的（ ）。

解析：静电力的方向指向粒子运动轨迹的凹侧且沿与电场线相切的方向，因此粒子从A点运动到B点的过程中，静电力方向与速度方向间的夹角大于90°，静电力做负功，粒子做减速运动。从A点到B点电场线变得稀疏，电场强度减小，粒子所受的静电力越来越小，加速度越来越小。

答案：B

点评：带电粒子仅受静电力作用时，粒子的电势能和动能相互转化，总和保持不变。粒子运动的轨迹朝所受静电力（合力）的方向弯曲.找出粒子速度与静电力间的夹角即可判断静电力做功的正负，从而可以判断粒子电势能和动能的变化情况。电场线越密集处的电场强度越大，电场线越稀疏处的电场强度越小。

2.带电粒子做类平抛运动。

解题策略：带电粒子（不计重力）在电场中做类平抛运动时，可将粒子的运动分解成两个方向的分运动，即与初速度方向相同的匀速直线运动，以及与初速度方向垂直的匀变速直线运动，在这两个方向上分别利用牛顿运动定律即可求解相关物理量。

例5 如图7甲所示，离子源产生的正离子由离子源飞出时的速度可忽略不计，离子离开离子源后进入一加速电压为U0的加速电场，偏转电场两极板间的距离为d，极板长度l=2d，偏转电场的下极板接地，偏转电场极板右端到竖直放置的足够大的荧光屏间的距离也为l。现在偏转电场的两极板间接一周期为T的交变电压，上极板的电势随时间变化的图像如图7乙所示。（设正离子的电荷量为q、质量为m，大量离子从偏转电场中央持续射入，穿过平行板的时间都极短，可以认为离子在穿过平行板的过程中电压是不变的）

（l）试计算离子刚进入偏转电场時的速度v0的大小。

（2）在电势变化的过程中发现荧光屏有“黑屏”现象，即无正离子到达荧光屏，试计算每个周期内荧光屏黑屏的时间t。

（3）离子打到荧光屏上的区间的长度x。

点评：带电粒子在偏转电场中做类平抛运动时，可将粒子的运动分解成沿初速度方向的匀速直线运动及与初速度方向垂直方向上的匀加速直线运动，然后分别利用匀速及匀变速运动的规律及运动的合成即可求得物体的速度、位移等物理量。熟练掌握“在平抛运动过程中，速度的反向延长线过水平位移的中点”这一规律对于确定粒子射出偏转电场时的速度方向很有帮助。

3.带电粒子做圆周运动。

解题策略：带电粒子在恒定静电力、重力、弹力三个力的合力作用下沿圓形轨道做圆周运动时，可将静电力与重力的合力视为“等效重力”，从而得到带电粒子在做圆周运动过程中的“等效最高点”和“等效最低点”，然后利用动能定理即可求得带电粒子的最大或最小速度。

例6 如图9所示，固定在竖直平面内的圆形绝缘轨道的圆心为O，半径为r，内壁光滑，A、B两点分别是圆形轨道的最低点和最高点。该区间存在方向水平向右的匀强电场E，一质量为m、带负电的小球在轨道内侧做完整的圆周运动（电荷量不变），经过C点时的速度最大，OC连线与竖直方向间的夹角θ=60°，重力加速度为g。

（1）求小球受到的静电力大小。

（2）小球在A点的速度v0为多大时，小球经过B点时对轨道的压力最小？

解析：（l）小球在C点时的速度最大，则静电力与重力的合力沿DC方向，因此小球受到的静电力大小F=mgtanθ=√3mg。

（2）如图10所示，将恒定静电力与重力的合力视为“等效重力mg‘”，则C点为带电粒子速度最大的位置（等效最低点），D点为带电粒子速度最小的位置（等效最高点）。要使小球经过B点时对轨道的压力最小，则必须使小球经过D点时对轨道的压力恰好为零，此时等效重力mg刚好全部用来提供小球做圆周运动所需

点评：带电粒子在匀强电场、重力场等复合场中做圆周运动时，求解粒子做圆周运动的最大速度或最小速度，可以将静电力和重力的合力视为“等效重力”，“等效重力”所在直线与圆周的两个交点分别对应粒子做圆周运动的最大速度和最小速度的位置。利用等效重力场的思想与方法能够很好地处理带电粒子在电场中做圆周运动的有关问题。

方法与总结

处理带电粒子在电场中的运动问题主要利用以下两条线索来解决：

1.力和运动的关系。根据带电粒子的受力情况，利用牛顿第二定律求出加速度，结合运动学公式确定带电粒子的速度、位移等。这条线索通常适用于带电粒子在恒力作用下做匀变速运动的情况。

2.功和能的关系。根据外力对带电粒子做功，引起带电粒子的能量发生变化，利用能量守恒定律研究全过程中能量的转化，进而确定带电粒子的速度变化、位移等。这条线索不但适用于匀变速运动，也适用于非匀变速运动。

跟踪训练

1.如图11所示，平行板电容器的两个极板与水平地面成一定角度，两极板与一直流电源相连。若一带电粒子恰能沿图中所示水平直线通过电容器，则在此过程中，该粒子（ ）。

A.所受重力与静电力平衡

B.电势能逐渐增加

C.动能逐渐增加

D.做匀变速直线运动

2.如图12所示，电子由静止开始经加速电场加速后，沿平行于板面的方向射入偏转电场，并从另一侧射出。已知电子的质量为m，电荷量为e，加速电场的电压为U0，偏转电场可看成匀强电场，偏转电场两极板间的电压为U，极板长度为L，板间距为d。忽略电子自身重力，则电子射入偏转电场时的初速度v0。和从偏转电场射出时沿垂直板面方向的偏转距离△y分别是（ ）。

3.如图13所示，光滑水平轨道与半径为R的光滑竖直半圆形轨道在B点平滑连接。在过圆心o的水平界面MN的下方分布有水平向右的匀强电场。现有一个质量为m、带电荷量为+q的小球在水平轨道上的A点由静止释放，小球运动到C点离开半圆形轨道后，经界面MN上的P点进入电场（P点恰好在A点的正上方，小球可视为质点，小球运动到C点之前所带电荷量保持不变，经过C点后所带电荷量立即变为零）。已知A、B两点间的距离为2R，重力加速度为g。求：

（l）电场强度E的大小。

（2）小球在上述运动过程中，在半圆形轨道上运动时的最大速率（计算结果用根号表示）。

参考答案：1.BD 2.D