基于有限元的多级Y 型银杏树模态分析与试验

林欢，许林云，宣言，周杰，刘冠华，陈青

（1.常州信息职业技术学院智能装备学院，江苏 常州 213164；2.南京林业大学机械电子工程学院，南京 210037）

振动采收机械的采收效果与果树的生长特性和机械振动的工作参数等多种因素有关［1-2］，研究果树动力学特性有利于对采收机械进行合理的设计及优化，动力学试验和仿真分析是研究动力学特性的有效方式。而银杏树通常采用连续激振式进行果实采收，激振器参数的设定与银杏树的频谱特性密切相关。

国内外针对果树频谱特性的研究主要有绳拉法、冲击激振法以及风振法，但主要集中于果树前几阶固有频率的相关研究。国外Castro⁃García 等［3］用冲击激振的方式对整棵橄榄树做了模态分析试验，获得了果树的前三阶模态频率、阻尼比及相应的振型。国内也获得了自然状态下树干⁃土壤模型的自振频率以及海棠果树的前四阶共振频率［4-5］。

对树木进行三维重建的方法主要有基于图形、图像和激光扫描［6］三大类。其中，基于激光扫描的方法相比较于传统的测量方法具有自动、快速、准确等诸多优点，广泛应用于各个领域［7-8］。激光扫描仪主要包括星载激光扫描系统、机载扫描系统和地面激光雷达扫描系统（包含固定、车载或移动）三大类。其中，来源于地面激光雷达的数据，能够对树木的各个枝条进行高密度采样覆盖，经常用于精确的单木三维形态建模［9］。

有限元法是对于结构力学分析迅速发展起来的一种现代计算方法，逐渐被应用于构建树木的力学模型［10］。国外，Rodriguez 等［11］用有限元模块（CASTEM）仿真分析了整棵树的模态，发现树干振动的固有频率最低，小分枝振动的固有频率最高，而主枝振动的固有频率位于两者之间。并且，通过试验验证可以发现梁单元的有限元模型能够有效地分析具有复杂形状的树木的动力学特性［12］。Bentaher 等［13］研究了橄榄树的有限元模型，并进行了不同激振器的振动响应对比分析。国内，仇高贺［14］利用有限元软件对果树振动采摘和采摘机构相关的动力学特性进行分析。吕梦璐等［15］、王冬等［16］和郑甲红等［17］通过Pro/E 方法建立果树枝干三维实体模型，利用有限元方法得到其低频范围内的固有频率和模态振型，并进行了振动响应特性仿真试验。

现有的动力学试验和仿真分析主要针对单轴或具有一级分枝的果树，还未细化研究具有二级分枝的果树频谱特性，而具有二级及以上多级分枝的果树较为常见，并且林果树的果实大多生长在更细小的分枝上。为了更好地研究银杏树的固有频谱特性，笔者利用移动二维激光扫描技术获取多级Y型银杏树的点云数据，通过点云数据的去噪、分割、枝干骨架点的提取与补偿、曲面拟合以及曲面的封装重建等主要步骤实现银杏树的单木建模，最后把生成的树木模型实体化，从而进行有限元分析和试验验证。

1 材料与装置

1.1 试验材料

果树的树形可分为有中心干树形、无中心干形、平面形等，大量人工林果树通过人为培育修剪处理，形成典型变侧主干形（属于有中心干树形）［18］，其树形特征与字母Y 相似，故简称Y 型果树。

选择了能代表现有银杏树生长形态的典型树形，在南京林业大学校园内（118.8°E，32.1°N）选取具有两个二级侧枝的活体小型银杏立木进行室内试验，采伐时间为3 月。银杏树为具有多级Y 型的合轴分枝果树，两个一级侧枝为B1枝和B2枝（图1），从右侧一级侧枝B2上衍生出两个二级侧枝C1枝和C2枝。设定果树生长方向为z方向，水平面内相互垂直的两个方向分别为x、y方向，试验过程中为了避免枝干失水影响试验数据，采集样品树后立即进行试验测试。截去根须，树干底端A0点以下被夹持在固定装置上。

图1 果树的测点标记Fig.1 Testing position marks of the fruit tree

测点A1、B21、B22分别位于分叉点处，其余测点根据分枝的长度平均分布，每个测点均用白色圆圈标记。假定认为银杏树枝干的横截面形状为理想圆形，且半径从根部到顶端呈线性下降趋势［19］，对应每一段直径通过测量该段枝的两端取平均值进行处理，银杏树相应的几何尺寸如表1 所示。

表1 多级Y 型银杏树各部位的尺寸参数Table 1 Size parameters of different positions on the multistage Y⁃shaped ginkgo tree

1.2 试验方法与装置

果树的频谱特性测试采用冲击力脉冲锤击法，即在树干固定位置点锤击激振，枝杆多个位置点拾取响应，通过预实验确定最佳激励点为测点A1下方400 mm 处。本研究选用江苏联能电子技术有限公司型号为LC⁃02A 的冲击力锤，如图2a 所示。频谱测试装置包括三向压电式加速度传感器（CA⁃YD⁃141）、电荷放大器（YE5853A）、数据采集装置（NI cDAQ⁃9174）和测试分析软件（CRAS V7.1），如图2b 所示。其中，三向加速度传感器的安装方向与设定方向一致。

图2 频谱测试系统Fig.2 The frequency spectrum of the testing system

由于现有试验装置只能满足4 个加速度传感器（即12 个通道）同时进行测试，当一次冲击测试完成后直到果树完全静止才将传感器移至下一组测点，直到所有测点均测试完毕。各测点试验重复3 次，取算术平均值作为各测点测量值。林果采收的一般激振采收频率处于10～25 Hz，频谱特性研究最大到30 Hz［20-21］，因此本试验关注的频率范围为0～30 Hz，频谱分析谱线设置为800 根。

采用激光扫描方法对树木进行三维重建，二维激光扫描仪结合运动维度，形成三维场景扫描效果（图3）。该扫描系统主要包含二维激光雷达（UTM⁃30LX）、带有步进电机的匀速滑台（FLS40L100010C7 ）、步进电机控制器（FMDD50D40NOM）、传感器驱动锂电池、STC51 单片机、24 V 直流电源和PC 电脑。

图3 激光扫描系统Fig.3 Laser scanning system

2 果树三维重建

2.1 扫描点云数据的预处理

对银杏树进行二维激光扫描后所获取的点云如图4a 所示，这些点云数据并不完全是有效特征点，还夹杂了外界环境因素干扰扫描仪工作产生的无效点即噪点。可以采用阈值去噪法，并通过编程处理，在保证重建模型精度的基础上显著提高处理效率［22］。去噪后的点云图如图4b 所示，可以看出通过去噪处理后，不仅剔除掉无效的散状虚点，同时还剔除掉枝杆轮廓的虚扩点，使其更接近真实的枝杆轮廓。

图4 去噪前后的点云图Fig.4 Point cloud figure before and after denoising

当使用激光扫描仪扫描银杏树时，无法避免同时把周围环境信息扫描进去，这些点云包括地表点云、离散噪声点等，具有一定规律和规模。进行树木三维建模时通常只需要来自枝干的反射数据，因此需在原始点云中分离出枝干点云，即要对点云数据进行分割或分类处理。本研究对点云数据进行手动分割，在分割过程中部分枝条分割有误，有些点云数据丢失，导致这些问题的主要原因是扫描获得的点云数据稀疏且分布不均匀以及无效噪点没有被去除干净。

骨架点的提取实际就是提取枝干两边界的中心点，边界算法的核心原理是利用两端的边界点形成差向量，依次计算出形成的差向量的均值点坐标，即为枝干的骨架点坐标。该算法的关键在于判断枝干的左右边界，保证相邻的边界点分别在两个不同的边界上。本研究利用微元矩形进行点云数据处理，根据点云密度选取阈值范围，定义微元矩形内点云个数大于4 即认为是左边界有效数据区域，等于0 即认为是右边界无效数据区域。通过两个逻辑变量i、j来控制边界点的提取顺序，具体程序流程如图5 所示。

图5 骨架点提取的流程图Fig.5 Flow chart of skeleton point extraction

由于试验所用的二维激光扫描仪在工作过程中发射的激光并不能覆盖银杏树枝干完整的圆柱曲面，导致获取的点云数据仅为圆柱曲面的一部分，如图6 所示。在用微元矩形提取骨架点过程中，根据发射激光之间的夹角α以及两边界点的连线距离d计算偏移量Δy，进行骨架点深度坐标的补偿。同时，通过计算还能获得枝干圆柱曲面的半径r，以此来补偿两边界点的连线未经过枝干轴心所带来的骨架点坐标误差。偏移量Δy和半径r可由以下公式计算获得：

图6 骨架点坐标补偿Fig.6 Skeleton point coordinate compensation

针对点云数据缺失严重的枝干，为弥补这一缺陷，在算法后另外加入一段增加骨架点数目的语句。确定增加骨架点数目的距离阈值，当两相邻骨架点之间距离大于这一距离阈值时，按照等分点的方式添加骨架点。这一方法的可行性在于数据缺失的地方大多集中在枝干靠顶端的部分，这段枝干的直径较小，故用等分点法加入的骨架点和真实骨架点之间的误差较小。

利用边界算法通过坐标补偿提取多级Y 型银杏树各枝干的骨架点，应用Matlab 直接用短直线连接相邻的骨架点，并且从骨架的根部开始，选取一个合适的半径，以每一段骨架为中轴做圆柱体进行曲面拟合，圆柱体半径沿骨架分布的方向从底面向上逐渐减小。通常，根据一定区域枝干数据设计出相应的圆柱体模型后，可以选择新的点集构建圆柱体模型来描述另一段枝干。

在进行骨架点提取和圆柱拟合后，树木枝干的大体形状已呈现，即以骨架点连线为中心线，按每个骨架点连线在骨架点的切线方向，以确定的根部直径和顶部直径拟合圆柱，最终形成枝干表面曲面，利用圆柱拟合能够有效地重建银杏树原有的曲面特征。

2.2 树体模型建立和实体化

为了更加逼真地重建银杏树模型，所有枝干均需要进行封装、曲面填补和精确曲面3 个步骤来实现，重建以后的多级Y 型银杏树如图7a 所示。B2枝上还显现了比二级侧枝C1和C2更细小的一根枝，其余各细枝并没有被重建出来。应用Creo 软件对银杏树模型进行实体化，处理结果如图7b所示。

图7 三维重建的银杏树Fig.7 Reconstructed ginkgo tree

3 结果与分析

3.1 有限元仿真模态频率与振型

将树体三维实体模型应用Creo 软件的Work⁃bench 界面对银杏树体进行模态分析。定义银杏树的材料属性：密度0.451 g/cm3（含水率18%），弹性模量2.57 GPa，泊松比0.37［23］；主干与地面连接方式等效为固定端约束，即Fix support 约束关系，通过软件求解得到多级Y 型银杏树整棵果树在30 Hz 内的模态频率（表2）与模态振型（图8）。

银杏树的模态频率基本是成对出现的，成对出现的频率值不仅非常接近，且枝干振型幅值和方向一致性也非常高，这主要是由于树木具有结构对称的特性引起的［24］。为了呈现各模态频率对应模态振型，成对的模态频率仅呈现一个，如图8 所示。

表2 多级Y 型银杏树的谐振频率Table 2 Resonant frequencies of the multistage Y⁃shaped ginkgo tree Hz

在同一阶模态中，有些树枝可形成显著的振动，有些树枝的振动并不明显，并且最大振幅均出现在树枝末梢处。第1 阶模态振型即为基频振型，所有枝条以同相同步方式摆动，且二级侧枝C1和C2摆动幅度比一级侧枝B1和B2更强烈一些（图8a）；第5 阶模态频率以下即低频的振型，虽然各枝杆振动幅度各不相同，如第3 阶的B1枝几乎处于静止状态，而在其他振型中均形成一定程度的振动，但总体来说均以主干振动非常微弱，各侧枝由分叉点到各枝末梢的振幅越来越强烈。从第7 阶振型开始，某些枝出现了振型节点即振幅为0 的点，比较明显的枝如第7 阶的C1枝、第11 阶的所有枝出现了一个节点（图8d，f）。

对于第15 阶和第17 阶相对较高模态振型中，不仅各个枝上都出现了节点，且某些枝上还出现了2 个节点，如第15 阶振型中的一级侧枝B2和二级侧枝C1（图8h）。即使在较高阶谐频激振条件下，也无法使所有枝形成强烈的共振响应，如第13 阶和第17 阶振型中C1枝的谐响应非常微弱。各阶模态下，主干的振动幅值相对较小，未能明显呈现出来。因此，即使在特定谐振频率下对银杏树进行激振也不能引起所有树枝的振动，各个枝干之间存在一定的独立性。

3.2 银杏树实测模态频率

通过三向加速度传感器所测取的各测点3 个相互垂直方向的加速度曲线，对其进行频谱分析所获得的3 个方向的频谱曲线一致性较好［25］，如图9a 所示，主干上A1点x、y和z3 个方向的频谱曲线存在一定的差异，但各曲线上峰点所对应的谐频较一致。因此，对其余各枝上测点不再区别3 个方向，通过对各测点3 个方向上的分加速度计算为合加速度进行频谱分析获得各对应点的频谱曲线。同一枝上不同位置点的频谱曲线高度一致，如C1侧枝上3 个测点C11、C12和C13频谱曲线吻合度较高，如图9b 所示。将各枝或树干上取一个测点的频谱曲线用来反应该枝干的频谱特性形成图9c，并将频谱曲线上峰点所对应的频率列入表2 中。因测试与仿真所得的模态频率很难形成对应模态阶次，因此各自列出对应的模态阶次数。

图8 多级Y 型银杏树的各阶典型模态Fig.8 Typical modes of the multistage Y⁃shaped ginkgo tree

图9 多级Y 型银杏树的频谱图Fig.9 Frequency spectrum of the multistage Y⁃shaped ginkgo tree

在30 Hz 频率范围内，果树主干及侧枝上共出现了10 阶谐振频率。低于15 Hz 以下的低频区，各侧枝均出现了与主干相一致的5 阶谐振频率，除了B2枝上未出现7.50 Hz 及C2枝未出现5.00 Hz。高于15 Hz 以上的高频区，除了C1枝上出现了与主干相同的23.75 Hz，其余各枝的频谱特性与主干完全不一致。因此，高频区各枝干的频谱特性具有各自独立性。将测试所得的模态频率与仿真产生的模态频率进行对比分析，可以看出多级Y 型合轴分枝银杏树在有限元分析条件下，因存在成对相近的模态频率，所以在30 Hz 内产生了更多的17阶模态频率，在15 Hz 以下低频区的模态频率更密集，有12 阶。将两种方法所产生的模态频率进行对应性分析，仿真分析中没有产生测试获得的11.25，17.50 和23.75 Hz。其余共同出现的各阶模态频率在低频区的最大相对误差10.40%出现在仿真分析的2.76 Hz 与试验测试的2.50 Hz 之间，在高频区的最大相对误差6.75%出现在仿真分析的18.65 Hz 与试验测试的20.00 Hz 之间。

基于移动二维激光扫描技术重建银杏树进行有限元分析与试验测试结果存在一定误差的主要原因是对测试数据进行频谱曲线处理时，如果谱线设置过高，会出现相当多的细小曲线峰点，为体现主要模态频率，将谱线设置为800 根，一些微小的波峰点被忽略掉，导致了部分频率的丢失。对于高频区两种方法存在较大差异的原因，更是因为高频区果树本身各枝杆频谱特性就存在各自独立性，采用仿真分析法无法获得各枝干的模态频率，因此与实测频谱之间存在差异也就合理了。

因此，通过三维重建对银杏树进行有限元分析能够有效地激发出果树的绝大部分固有频率，在果树的动力学特性分析方面具有一定的有效性。

4 结论

1）在有限元分析条件下银杏树的各阶谐振频率基本是成对出现，在同一阶模态中，仅有一个或几个树枝能够同时达到显著的振动现象，并且最大变形位置均出现在树枝末梢，在某个特定频率下对银杏树进行激振并不能引起所有树枝的振动。

2）频谱测试结果表明，果树主干上谐振频率点基本都在不同分级侧枝上体现，侧枝的共振频率取决于侧枝的结构。主干和分枝之间存在一定的运动独立性，随着侧枝的分级细化会出现除主干谐振频率点以外更多的谐振频率。

3）通过三维重建对银杏树进行有限元分析的结果与试验测试结果之间的最大相对误差在低频区和高频区分别为10.4%和6.75%，有限元方法可以有效地分析果树的动力学特性。