n-角范畴的局部化

王敏雄, 郑 燕

(华侨大学数学科学学院,福建 泉州 362021)

1 引言

三角范畴[1]是同调代数中的核心概念.在最近的发展中, 三角范畴成为数学中的重要工具和研究对象, 是描述数学和数学物理中许多复杂研究对象的基本语言和分类新依据．高维同调代数由Iyama[2−3]引入并发展, 它也被称为n- 同调代数．继三角范畴的发展以及高维同调代数的引入后,n- 角范畴[4]自然而然地被提出．n- 角范畴是三角范畴的一种推广形式,经典三角范畴就是n- 角范畴中n=3 的特殊情况．给定一个n- 角范畴K, 有时需要得到一个新的n- 角范畴,使得两者对象相同,但对于n- 角范畴K的某个态射集S, 在新范畴中成为同构.为满足这种需求, 可引入n- 角范畴的局部化理论, 即通过局部化方法构造商范畴.

2 预备知识

定义2.1[5]设K是一个加法范畴,S是K中某些态射做成的类,S称为K的一个乘法系, 如果满足下述条件：

(FR1)S对于态射的合成是封闭的, 即若s:X →Y和t:Y →Z是S中的态射, 则它们的合成ts也是S中的态射; 并且对于K中的任意对象X, 其恒等态射idX属于S;

(FR2) 对于K中每个态射图

这里s ∈S, 存在K中的态射g:W →Y和S中的态射t:W →X使得下图可交换.

对偶地, 对于K中每个态射图

这里s ∈S, 存在K中的态射g:Y →W和S中的态射t:X →W使得下图可交换

(FR3) 设f,g:X →Y是K中的两个态射.那么存在S中的态射s:Y →Z使得sf=sg当且仅当存在S中的态射t:W →X使得ft=gt.

乘法系S称为饱和的, 若S满足gf,kg ∈S蕴含着g ∈S.

设K是一个加法范畴,S是K的一个乘法系, 对K中的任意两个对象X,Y, 定义K中从X到Y的右分式(f,s) 为态射图其中s ∈S.从X到Y的两个右分式 (f,s), (g,t) 称为等价, 记为 (f,s)∼(g,t), 若有交换图

其中u ∈S.易证右分式的等价是一个等价关系.记 (f,s) 的等价类为f/s.

定理2.1[5]设K是一个加法范畴,S是K的一个乘法系, 那么下列结论成立.

(a)S−1K是一个加法范畴, 其中S−1K的对象是K中的对象;S−1K中从对象X到对象Y的态射集 HomS−1K(X,Y) 是K中X到Y的右分式所有等价类作成的集合.

(b) 局部化函子F:K →S−1K是加法函子, 其中对K中的任意对象X,F(X)=X;对任意的K中态射f:X →Y,F(f)=f/idX.且若s ∈S, 则F(s) 是S−1K中的同构.

(c) 对于加法函子H:K →C, 若s ∈S,H(s) 是C中的同构, 则存在唯一一个加法函子G:S−1K →C使得H=GF.

(d) 若S是饱和的, 则F(f) 是同构当且仅当f ∈S.

3 n-角范畴的局部化

定义3.1设 (K,Σ,Θ) 是一个n- 角范畴,K的一个乘法系S称为相容乘法系, 若满足

(FR4) 对于任意态射s,s ∈S当且仅当 Σs ∈S;

(FR5) 设下图中上下两行均为n- 角,ϕ1,ϕ2∈S, 并且左边第一个方块可交换

则存在ϕi:Xi →Yi ∈S, 3≤i ≤n, 使得下图为n- 角态射

定义 3.2[6]设 (K,Σ) 和是两个n- 角范畴, 函子称为n- 角函子, 若满足

(a)L是加法函子.

(c)L保持n- 角, 即若是K中的n- 角, 则是中的n- 角.

定理3.1设 (K,Σ,Θ) 是一个n- 角范畴,S是K的一个相容乘法系.则

(1)K的自同构 Σ 诱导S−1K的自同构, 仍记为 Σ, 这里 Σ(b/s) = Σb/Σs; 并且(S−1K,Σ,) 也是n- 角范畴, 这里中的元素同构于以下的n-Σ- 序列

是K中n- 角.

(2) 局部化函子F:K →S−1K是n- 角函子; 对任意的s ∈S,F(s) 是同构; 若H:K →C是n- 角函子, 并且使得对任意的s ∈S,H(s) 是同构, 那么存在唯一的n- 角函子G:S−1K →C使得H=GF.

(3)S−1K中,是使得F:K →S−1K是n- 角函子的唯一的n- 角结构.

证(1) 下面证明满足(N1)–(N4), 从而(S−1K,Σ,) 是n- 角范畴.

因此有K中的两个n- 角

由于 (K,Σ,Θ) 是n- 角范畴, 所以 Θ 对直和封闭, 因此有

属于 Θ, 其在F下的像为如下n-Σ- 序列

所以此n-Σ- 序列属于, 即对直和封闭.

同理, 可以得到在S−1K中对直和项亦封闭.

(b) 设f/s:X →Y是S−1K中的态射, 那么可以用右分式表示如下

这里s ∈S.因为K是一个n- 角范畴, 因此由态射f:U →Y,K中存在如下n- 角

考虑下图

(c) 设X是S−1K中的一个对象, 因此它也是K中的一个对象, 那么有K中n- 角因此可知包含以下平凡n-Σ- 序列

那么有K中的n- 角

由于K是n- 角范畴, 则 Θ 包含n- 角

因此(N2) 成立.

(N3) 给定以下交换图

和

由于左边第一个方块是可交换的, 所以有

且两式相等

有交换图

因此根据(FR5) 可知有如下交换图

那么, 得到S−1K中的态射ti/si:Xi →Yi, 3≤i ≤n, 并且这些态射可使得下图可交换

从而(N3) 成立.

(2) 由于S−1K中的标准n- 角是指K中的n- 角在局部化函子F:K →S−1K下的像, 因此可知F是n- 角函子.由于H:K →C是n- 角函子, 且对任意的s ∈S,H(s)是同构, 则由定理2.1 可知存在唯一一个加法函子G:S−1K →C使得H=GF, 加法函子G是n- 角函子可由等式H=GF来保证.

(3) 若还有一个满足条件的n- 角结构的定义知根据文献[4, 命题2.5(c)]知,

定义3.3设 (K,Σ,Θ) 是一个n- 角范畴,A是Abel 范畴.加法函子Q:K →A称为一个上同调函子, 若对K中任意n- 角均有A中的正合列

命题3.1设K是n- 角范畴,A是Abel 范畴,Q:K →A是一个上同调函子,S是K的一个相容乘法系, 且满足若s ∈S,Q(s) 是A中的一个同构, 那么存在唯一一个上同调函子FS:S−1K →A使得下图可交换

证加法函子FS:S−1K →A的存在性和唯一性可由定理2.1 保证.下面证明FS是上同调函子.

并且有S−1K中的n- 角同构

通过作用FS, 得到A中的交换图

因为Q是上同调函子, 且上述交换图的第一行是A中的正合列, 因此第二行也是正合的,故FS是上同调函子.

定义3.4[6]设 (K,Σ,Θ) 是n-角范畴,K的加法满子范畴G称为n-角子范畴,若G对同构封闭, Σ 是G的自同构, 并且G对扩张封闭, 即对任意K中态射fn:Xn →ΣX1,其中X1,Xn ∈G, 均存在K中n- 角使得X ∈G,i2≤i ≤n −1.

注在三角范畴局部化理论中, 饱和相容乘法系与厚子范畴之间存在一一对应关系, 其中用到三角的如下重要性质.设是三角, 则f1是同构当且仅当但在n- 角范畴 (n>3) 时并没有类似的n- 角性质, 从而不容易在n- 角范畴的饱和相容乘法系与n- 角子范畴之间建立对应.

引理3.1设 (K,Σ,Θ) 是n- 角范畴,是n- 角,则下列叙述等价

(1)Xn=0;

(2)fn−1=0,fn=0;

(3)f1为可裂单,fn−2为可裂满.

证(1)由于fn=0, 根据文献[8, 引理2.3]知fn−1为可裂满, 所以存在态射g使得fn−1·g=idXn, 又fn−1=0, 从而Xn=0.再根据文献[8, 引理2.3]易知

命题3.2设S是n- 角范畴K的相容乘法系,F:K →S−1K是局部化函子.令

则 Ψ(S)⊆KerF.进一步, 若S饱和, 则 Ψ(S)=KerF.

证设Xn ∈Ψ(S), 则在S−1K中有标准n- 角

且F(f1),F(fn−2) 为同构, 由引理3.1 知Xn ∈KerF.