Mathematica软件在高等数学教学中的应用研究

刘熙娟，刘 云

（塔里木大学 信息工程学院，新疆 阿拉尔 843300）

一、引言

高等数学是各类高等院校多种专业（包括许多文科专业）开设的一门重要基础理论课，对学生后续课程的学习以及思维素质的培养起着非常重要的作用。高等数学课程教学的目的在于让学生掌握数学的基本理论、方法和技能，同时还要培养学生自觉运用高等数学的理论知识解决实际应用问题的数学能力。然而高等数学中大量复杂的计算往往使学生望而生畏，部分学生对数学的抽象性感到困惑，对枯燥的理论推导感到厌烦，从而对高等数学的学习失去信心。传统的数学教育过分强调形式化的逻辑推导，缺乏体现数学与其他学科的横向联系，使得充满活力、充满生机、充满美感的数学成了内容多负担重的习题、结论和公式的堆积，也难以将数学知识运用到实际生活中去。在高等数学教学中若能采用一些数学软件解决机械的数值计算与符号演算，把更多的精力用于加强“本质”性问题的学习，让学生亲身体会数学知识在生产、经营和管理活动中的应用，使得高等数学课程从“学数学”向“用数学”转变，从“理论教学”到“应用教学”转变，充分领略数学的“工具性”与“应用性”，同时革新教学手段和教学方法，定能充分调动学生的学习兴趣，加深对理论知识的理解，培养应用数学的能力，以期达到教学效果的最优化。

Mathematica的出现为高等数学的学习提供了轻松的氛围，它是集文本编辑、数学计算、逻辑分析、图形、动画于一体的高度优化的专家系统，是目前比较流行的数学软件之一。Mathematica软件的原始系统是由美国物理学家Stephen Wolfram领导的一个小组于1987年研究开发的。由于Mathematica软件界面直观，便于安装，且提供了很好的帮助功能，新手容易上手，因此比较适用于高等数学的实验教学。基于此，本文主要从具体实例出发，以高等数学为切入口，利用Mathematica软件解决高等数学中遇到的一些具体问题。

二、Mathematica软件的举例说明

下面就如何借助Mathematica软件的可视化交互功能，在高等数学符号演算、数值计算和绘图功能等几个方面的应用进行简要阐述。

1.符号演算。高等数学中常见的符号演算问题，如求极限、求导数、求积分等，用Mathematica软件来解决更能体现其优越性。

这是未定式极限问题，需用两次洛必达法则才能求出结果，而且在计算中容易出错。若用Mathematica软件，只需输入命令：Limit [（Sin [1/x]+Cos[1/x]）^x，x->+Infinity）]，即可得结果：e。

不定积分是积分学的基础，要准确地计算一个复杂函数的不定积分，需要相当复杂的步骤，但是如果借助Mathematica软件，往往可以达到事半功倍的效果。这是一个三角函数有理式的积分，需要先借助三角形万能公式把sinx和cosx转化成同一个三角函数，再做变量代换，最后化简求积分，过程枯燥、烦琐，但是在Mathematica软件中，只需输入命令：Integrate[（1+Sin[x]）/（Sin[x]+Sin[x]×Cos[x]），x]；Simplify[%]，即可得结果：

2.数值计算。Mathematica能求微分方程（组）的准确解，能求解的类型基本覆盖了人工可求解的范围，功能很强，但不如人灵活，输出的结果与教材上的答案可能在形式上有所不同。此外，Mathematica求数值解也很方便，而且有利于作出解的图形。

在Mathematica软件中，命令如下：

可得结果：

用Mathematica软件还可得到该微分方程在平面中表示的图形，如图1。

图1

说明：上例是求一个著名方程组的数值解的问题，通过求数值解容易得到它的相图，In[4]绘制了解的相轨线如图1所示，由图可知原点是奇点，极限环的形状也可以观察到。

3.图形处理。在高等数学的教学中发现，空间图形的绘制是个难题，学生对这一问题的困惑主要在于无法画出其图形，但是借助数学软件这个问题就变得很有吸引力了。

例4.画出双曲线x2+y2-z2=1的图形及其在3个坐标面上的投影。

在重积分的运算中，经常用到空间立体的投影区域，这需要很强的空间想象力。这类题目，如果不借助数学软件，则无法获得其草图，如果借助数学软件，这个投影区域则一目了然。当然还可以通过设置参数，使图形更加的美观。在Mathematica软件中，该题命令及结果如下：

图2

三、结论

将通用数学软件Mathematica融入高等数学教学过程中，可以克服传统教学中讲解内容抽象、手工绘图不准确、教学内容难以扩展等方面的不足。尤其是对于一些基础薄弱的学生来说，这一软件的应用可以帮助他们摆脱“听天书”的困境和折磨，使得抽象的数学变得生动有趣，有利于提高学生学习数学的热情与积极性。数学软件与理论课程的整合不仅为视频教学提供了丰富的表现手段，更为优质资源的创建提供了支撑和保障。利用数学软件辅助教学是数学教学发展的需要，也是培养创新型实用型人才的需要，这对于提高教学质量、推动教学改革具有极其重要的理论意义与实际意义。