江苏卷高考应用题考查热点

数学应用性问题是历年高考命题的必考题型，也是同学们失分较多的一种题型.解答这类问题的要害是深刻理解题意，学会文字语言向数学的符号语言的翻译转化，这就需要建立恰当的数学模型，在江苏卷中，几何图形（空间图形、平面图形）、函数、三角、直线与圆等为常见的模型.高考应用性问题的热门话题是增减比率型和方案优化型，另外，估测计算型和信息迁移型也时有出现.当然，高考应用性问题关注当前国内外的政治、经济、文化，紧扣时代的主旋律，凸显了学科综合的特色.

一、以空间图形为背景的应用题

例1 （2019南通七市二模）图①是一栋新农村别墅，它由上部屋顶和下部主体两部分组成.如图②，屋顶由四坡屋面构成，其中前后两坡屋面ABFE和CDEF是全等的等腰梯形，左右两坡屋面EAD和FBC是全等的三角形.点F在平面ABCD和BC上的射影分别为H，M.已知HM=5m，BC=10m，梯形ABFE的面积是△FBC面积的2.2倍.设∠FMH=θ（0<θ<π4）.

（1）求屋顶面积S关于θ的函数关系式;

（2）已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为k（k为正的常数），下部主體造价与其高度成正比，比例系数为16k.现欲造一栋上、下总高度为6m的别墅，试问：当θ为何值时，总造价最低？

解：（1）由题意FH⊥平面ABCD，FM⊥BC，

又因为HM平面ABCD，得FH⊥HM.

在Rt△FHM中，HM=5，∠FMH=θ，

所以FM=5cosθ.

因此△FBC的面积为12×10×5cosθ=25cosθ.

从而屋顶面积S=2S△FBC+2S梯形ABFE

=2×25cosθ+2×25cosθ×2.2=160cosθ.

所以S关于θ的函数关系式为

S=160cosθ（0<θ<π4）.

（2）在Rt△FHM中，FH=5tanθ，所以主体高度为h=6-5tanθ.

所以别墅总造价为

y=S·k+h·16k

=160cosθ·k+（6-5tanθ）·16k

=160cosθk-80sinθcosθk+96k

=80k·（2-sinθcosθ）+96k，

记f（θ）=2-sinθcosθ，0<θ<π4，

所以f′（θ）=2sinθ-1cos2θ，

令f′（θ）=0，得sinθ=12，又0<θ<π4，所以θ=π6，

列表：

θ（0，π6）π6（π6，π4）

f′（θ）-0+

f（θ）3

所以当θ=π6时，f（θ）有最小值.

答：当θ为π6时该别墅总造价最低.

二、以平面图形为背景的应用题

例2 （2019南通三模）南通风筝是江苏传统手工艺品之一.现用一张长2m，宽1.5m的长方形牛皮纸ABCD裁剪风筝面，裁剪方法如下：分别在边AB，AD上取点E，F，将三角形AEF沿直线EF翻折到A′EF处，点A′落在牛皮纸上，沿A′E，A′F裁剪并展开，得到风筝面AEA′F，如图1.

（1）若点E恰好与点B重合，且点A′在BD上，如图2，求风筝面ABA′F的面积;

（2）当风筝面AEA′F的面积为3m2时，求点A′到AB距离的最大值.

解：（1）方法一：建立如图所示的直角坐标系.

则B（2，0），D（0，32），

直线BD的方程为3x+4y-6=0.

设F（0，b）（b>0），

因为点F到AB与BD的距离相等，

所以b=|4b-6|5，解得b=23或b=-6（舍去）.

所以△ABF的面积为12×2×23=23m2，

所以四边形ABA′F的面积为43m2.

答：风筝面ABA′F的面积为43m2.

方法二：设∠ABF=θ，则∠ABA′=2θ.

在直角△ABD中，

tan2θ=ADAB=34，

所以2tanθ1-tan2θ=34，

解得tanθ=13或tanθ=-3（舍去）.

所以AF=ABtanθ=23.

所以△ABF的面积为12×2×23=23m2，

所以四边形ABA′F的面积为43m2.

答：风筝面ABA′F的面积为43m2.

（2）方法一：建立如图所示的直角坐标系.

设AE=a，AF=b，A′（x0，y0），

则直线EF的方程为bx+ay-ab=0，

因为点A，A′关于直线EF对称，

所以y0x0=ab，bx02+ay02-ab=0，

解得y0=2a2ba2+b2.

因为四边形AEA′F的面积为3，所以ab=3，

所以y0=23a3a4+3=23a+3a3.

因为0

设f（a）=a+3a3，233≤a≤2.

f′（a）=1-9a4=（a2+3）（a+3）（a-3）a4，

令f′（a）=0，得a=3或a=-3（舍去）.

列表如下：

a[233，3）3（3，2]

f′（a）-0+

f（a）单调递减极小值单调递增

当a=3时，f（a）取得极小值，即最小值433，

所以y0的最大值为32，此时点A′在CD上，a=3，b=1.

答：点A′到AB距离的最大值为32m.

方法二：设AE=a，∠AEF=θ，则AF=atanθ.

因为四边形AEA′F的面积为3，所以AE·AF=3，

即a2tanθ=3，所以tanθ=3a2.

过点A′作AB的垂线A′T，垂足为T，则

A′T=A′E·sin2θ=AE·sin2θ=asin2θ

=a·2sinθcosθsin2θ+cos2θ=a·2tanθtan2θ+1

=a·2×3a23a4+1=23a+3a3.

因为0

（下同方法一）

三、以解三角形为背景的应用题

例3 （2018江苏）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN（P为此圆弧的中点）和线段MN构成.已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米.现规劃在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP，要求A，B均在线段MN上，C，D均在圆弧上.设OC与MN所成的角为θ.

（1）用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积，并确定sinθ的取值范围;

（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3.求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.

解：（1）连结PO并延长交MN于H，则PH⊥MN，所以OH=10.

过O作OE⊥BC于E，则OE∥MN，所以∠COE=θ，

故OE=40cosθ，

EC=40sinθ，

则矩形ABCD的面积为2×40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ），

△CDP的面积为12×2×40cosθ（40-40sinθ）=1600（cosθ-sinθcosθ）.

过N作GN⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK=KN=10.

令∠GOK=θ0，则sinθ0=14，θ0∈（0，π6）.

当θ∈[θ0，π2）时，才能作出满足条件的矩形ABCD，

所以sinθ的取值范围是[14，1）.

答：矩形ABCD的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面积为1600（cosθ-sinθcosθ）平方米，sinθ的取值范围是[14，1）.

（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，

设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k（k>0），则年总产值为

4k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ-sinθcosθ）

=8000k（sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ0，π2）.

设f（θ）=sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ0，π2），

则f′（θ）=cos2θ-sin2θ-sinθ

=-（2sin2θ+sinθ-1）=-（2sinθ-1）（sinθ+1）.

令f′（θ）=0，得θ=π6，当θ∈（θ0，π6）时，f′（θ）>0，所以f（θ）为增函数;

当θ∈（π6，π2）时，f′（θ）<0，所以f（θ）为减函数，

因此，当θ=π6时，f（θ）取到最大值.

答：当θ=π6时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.

四、以直线和圆为背景的应用题

例4 （2019年江苏）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）.规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA.规划要求：线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位：百米）.

（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长;

（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由;

（3）对规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离.

解法一：（1）过A作AE⊥BD，垂足为E.

由已知条件得，四边形ACDE为矩形，DE=BE=AC=6，AE=CD=8.

因为PB⊥AB，

所以

cos∠PBD=sin∠ABE=810=45.

所以PB=BDcos∠PBD=1245=15.

因此道路PB的长为15（百米）.

（2）①若P在D处，由（1）可得E在圆上，则线段BE上的点（除B，E）到点O的距离均小于圆O的半径，所以P选在D处不满足规划要求.

②若Q在D处，连结AD，由（1）知

AD=AE2+ED2=10，

从而cos∠BAD=AD2+AB2-BD22AD·AB=725>0，所以∠BAD为锐角.

所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.

因此，Q选在D处也不满足规划要求.

综上，P和Q均不能选在D处.

（3）先讨论点P的位置.

当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求;

当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求.

设P1为l上一点，且P1B⊥AB，由（1）知，P1B=15，

此时P1D=P1Bsin∠P1BD=P1Bcos∠EBA=15×35=9;

当∠OBP>90°时，在△PP1B中，PB>P1B=15.

由上可知，d≥15.

再讨论点Q的位置.

由（2）知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，CQ=QA2-AC2=152-62=321.此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.

综上，当PB⊥AB，点Q位于点C右侧，且CQ=321时，d最小，此时P，Q两点间的距离

PQ=PD+CD+CQ=17+321.

因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17+321（百米）.

解法二：（1）如圖，过O作OH⊥l，垂足为H.

以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立平面直角坐标系.

因为BD=12，AC=6，所以OH=9，直线l的方程为y=9，点A，B的纵坐标分别为3，-3.

因为AB为圆O的直径，AB=10，所以圆O的方程为x2+y2=25.

从而A（4，3），B（-4，-3），直线AB的斜率为34.

因为PB⊥AB，所以直线PB的斜率为-43，

直线PB的方程为y=-43x-253.

所以P（-13，9），PB=（-13+4）2+（9+3）2=15.

因此道路PB的长为15（百米）.

（2）①若P在D处，取线段BD上一点E（-4，0），则EO=4<5，所以P选在D处不满足规划要求.

②若Q在D处，连结AD，由（1）知D（-4，9），又A（4，3），

所以线段AD：y=-34x+6（-4≤x≤4）.

在线段AD上取点M（3，154），

因为OM=32+（154）2<32+42=5，

所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.

因此Q选在D处也不满足规划要求.

综上，P和Q均不能选在D处.

（3）先讨论点P的位置.

当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求;

当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求.

设P1为l上一点，且P1B⊥AB，由（1）知，P1B=15，此时P1（-13，9）;

当∠OBP>90°时，在△PP1B中，PB>P1B=15.

由上可知，d≥15.

再讨论点Q的位置.

由（2）知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.

当QA=15时，设Q（a，9），

由AQ=（a-4）2+（9-3）2=15（a>4），

得a=4+321，所以Q（4+321，9），此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.

综上，当P（-13，9），Q（4+321，9）时，d最小，此时P，Q两点间的距离

PQ=4+321-（-13）=17+321.

因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17+321（百米）.

五、以函数为背景的应用题

例5 （2019无锡一模）十九大提出对农村要坚持精准扶贫，至2020年底全面脱贫.现有扶贫工作组到某山区贫困村实施脱贫工作.经摸底排查，该村现有贫困农户100家，他们均从事水果种植，2017年底该村平均每户年纯收入为1万元，扶贫工作组一方面请有关专家对水果进行品种改良，提高产量;另一方面，抽出部分农户从事水果包装、销售工作，其人数必须小于种植的人数.从2018年初开始，若该村抽出5x户（x∈Z，1≤x≤9）从事水果包装、销售.经测算，剩下从事水果种植农户的年纯收入每户平均比上一年提高x20，而从事包装销售农户的年纯收入每户平均为（3-14x）万元（参考数据：1.13=1.331，1.153≈1.521，1.23=1.728）.

（1）至2020年底，为使从事水果种植农户能实现脱贫（每户年均纯收入不低于1万6千元），至少抽出多少户从事包装、销售工作？

（2）至2018年底，该村每户年均纯收人能否达到1.35万元？若能，请求出从事包装、销售的户数;若不能，请说明理由.

考点：不等式，应用数学知识解应用题的能力.

答案：（1）至2020年底，种植户平均收入=（100-5x）（1+x20）3100-5x≥1.6，

即（1+x20）3≥1.6，即x≥20（31.6-1），

由题所给数据，知：1.15<31.6<1.2，

所以，3<20（31.6-1）<4，

所以，x的最小值为4，5x≥20，

即至少抽出20户从事包装、销售工作.

（2）至2018年底，假设能达到1.35万元，

每户的平均收为：f（x）=5x（3-14x）+（100-5x）（1+x20）100≥1.35，

化简，得：3x2-30x+70≤0，因为x∈Z，1≤x≤9，

解得：x∈{4，5，6}，

所以，当从事包装、销售的户数达到20户，25户，30户时，能达到，否则，不能.

例6 如图，矩形ABCD是某生态农庄的一块植物栽培基地的平面图，现欲修一条笔直的小路MN（宽度不计）经过该矩形区域，其中MN都在矩形ABCD的边界上.已知AB=8，AD=6（单位：百米），小路MN将矩形ABCD分成面积分别为S1，S2（单位：平方百米）的两部分，其中S1≤S2，且点A在面积为S1的区域内，记小路MN的长为l百米.

（1）若l=4，求S1的最大值;

（2）若S2=2S1，求l的取值范围.

解：依題意，折痕有下列三种情形：

①折痕的端点M，N分别在边AB，AD上;

②折痕的端点M，N分别在边AB，CD上;

③折痕的端点M，N分别在边AD，BC上.

（1）在情形②、③中MN≥6，故当l=4时，折痕必定是情形①.

设AM=xcm，AN=ycm，则x2+y2=16.

因为x2+y2≥2xy，当且仅当x=y时取等号，

所以S1=12xy≤4，当且仅当x=y=22时取等号.

即S1的最大值为4.

（2）由题意知，长方形的面积为S=6×8=48.

因为S1∶S2=1∶2，S1≤S2，所以S1=16，S2=32.

（ⅰ）当折痕是情形①时，设AM=xcm，AN=ycm，则12xy=16，即y=32x.

由0≤x≤8，0≤32x≤6，得163≤x≤8.

所以l=x2+y2=x2+322x2，163≤x≤8.

令t=x2，则2569≤t≤64，设y=t+322t，

则y′=1-322t2，令y′=0，得t=32（负舍）.

t2569（2569，32）32（32，64）64

y′-0+

y64496480

所以f（x）的取值范围为[64，80]，

故l的取值范围是[8，45];

（ⅱ）当折痕是情形②时，设AM=xcm，DN=ycm，

则12（x+y）×6=16，即y=163-x.

由0≤x≤8，0≤163-x≤8，得0≤x≤163.

所以l=62+（x-y）2=4（x-83）2+36，0≤x≤163.

所以l的取值范围为[6，21453];

（ⅲ）当折痕是情形③时，设BN=xcm，AM=ycm，

则12（x+y）×8=16，即y=4-x.

由0≤x≤8，0≤4-x≤6，得0≤x≤4.

所以l=82+（x-y）2=4（x-2）2+64，0≤x≤4.

所以l的取值范围为[8，45].

综上所述，l的取值范围为[6，45].

应用题的信息量大，重点考查同学们处理问题的能力.在解应用题时通常有以下步骤：首先是审题：理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系，这一关是基础;接着是建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型，熟悉基本数学模型，正确进行建“模”是关键的一关;然后求模：求解数学模型，得到数学结论，一要充分注意数学模型中元素的实际意义，更要注意巧思妙作，优化过程;最后还原：将数学结论还原成实际问题的结果.

（作者：殷高荣，如皋市教育局教研室）