聚焦《坐标系与参数方程》高考题型

刘春雷

坐标系与参数方程，作为新课标高考选考内容（占10分），由于难度不大，备受考生青睐.该题以解答题的形式出现，一般有两小问.让我们一起来看看极坐标与参数方程的考查的重要题型.

题型一、极坐标与直角坐标的互化

曲线的极坐标方程与直角坐标系的互化，只需利用公式ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，为了利用公式，有时需对给出的式子进行恰当变化，如两边平方、两边同乘ρ等.

例1 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为3ρcosθ+ρsinθ-3=0，C的极坐标方程为ρ=4sin（θ-π6）.

（1）求直线l和C的普通方程;

（2）直线l与C有两个公共点A、B，定点P（2，-3），求||PA|-|PB||的值.

解析：（1）利用公式ρcosθ=x，ρsinθ=y得直线l的普通方程为：3x+y-3=0，

因为圆C的极坐标方程为ρ=4sin（θ-π6），

所以ρ2=4ρ（32sinθ-12cosθ），

所以圆C的普通方程x2+y2+2x-23y=0.

（2）直线l：3x+y-3=0的参数方程为：x=2-12ty=-3+32t（t为参数），

代入圆C的普通方程x2+y2+2x-23y=0消去x、y整理得：t2-9t+17=0，

则|PA|=|t1|，|PB|=|t2|，

||PA|-|PB||=||t1|-|t2||=|t1-t2|

=（t2-t1）2=（t2+t1）2-4t1t2

=92-4×17=13.

点评：本题考查的是直线与圆的位置关系，需首先把直线与圆的极坐标方程转化为直角坐标方程.本题对圆C的极坐标方程两边同乘以ρ，转化为含有ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，从而为将其转化为直角坐标方程创造条件.

题型二、极坐标方程的应用

直接应用极坐标一般也可以求出曲线的交点坐标，解决距离问题和图形面积等，但有时直接用极坐标运算比较麻烦，这时往往将其转化为直角坐标来计算.

例2 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4.

（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|=16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程;

（2）设点A的极坐标为（2，π3），点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值.

解析：（1）设P的极坐标为（ρ，θ）（ρ>0），M的极坐标为（ρ1，θ）（ρ1>0），由题设知|OP|=ρ，|OM|=ρ1=4cosθ.由|OM|·|OP|=16得C2的极坐标方程ρ=4cosθ（ρ>0）.因此C2的直角坐标方程为（x-2）2+y2=4（x≠0）.

（2）设点B的极坐标为（ρB，α）（ρB>0），由题设知|OA|=2，ρB=4cosα，于是△OAB面积

S=12|OA|·ρB·sin∠AOB

=4cosα·|sin（α-π3）|

=2|sin（2α-π3）-32|≤2+3.

当α=-π12时，S取得最大值2+3.所以△OAB面积的最大值为2+3.

点评：本题直接利用极坐標的几何意义解题十分方便，故无需转化为直角坐标方程，体现出应用极坐标有时比应用直角坐标更优越.

题型三、参数方程与普通方程的互化

将参数方程转化为普通方程，其实就是将两个方程式中的参数消去，最后变成一个方程，转化时一要注意参数的取值范围;二要注意消参方法的恰当应用，如代入消元法，加减消元法，平方后再加减消元法等.而普通方程化为参数方程时，先合理引入参数t，再确定参数t与变量x或y的一个关系式x=f（t）（或y=φ（t））;最后根据普通方程F（x，y）=0，求出y=φ（t）（或x=f（t））.

例3 已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=1+4cosθy=2+4sinθ（θ为参数），直线l经过定点P（3，5），倾斜角为π3.

（1）写出直线l的参数方程和曲线C的标准方程;

（2）判断直线l与曲线C的位置关系.

解析：（1）x=1+4cosθy=2+4sinθ，即x-1=4cosθ（1）y-2=4sinθ（2）

（1）2+（2）2得曲线C：（x-1）2+（y-2）2=16，

因为直线l经过定点P（3，5），倾斜角为π3.所以直线l的参数方程为x=3+12ty=5+32t（t为参数）.

（2）直线l的普通方程为3x-y+5-33=0，圆C：（x-1）2+（y-2）2=16的圆心为（1，2），半径为4，因为圆心到直线l的距离为d=|3-2+5-33|2=23-32<4，所以直线l与曲线C相交.

点评：本题主要考查参数方程和直角坐标方程互化.直线与曲线的位置关系的判断一般转化为直角坐标方程，在直角坐标系中判断比较方便.当然本题也可将直线的参数方程直接代入圆的普通方程，进而通过考察该方程的根的情况来判断它们的位置关系.

题型四、参数方程的应用

应用参数方程解题时，需关注参数的几何意义，利用参数的几何意义，能使解答过程更快捷.

例4 平面直角坐标系xOy中，曲线C：（x-1）2+y2=1.直线l经过点P（m，0），且倾斜角为π6.

（1）求圆C和直线l的参数方程;

（2）若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|PA|·|PB|=1，求实数m的值.

解析：（1）由曲线C：（x-1）2+y2=1，

得参数方程为x=1+cosθ，y=sinθ（θ为参数）.

直线l的参数方程为x=m+32t，y=12t（t为参数）.

（2）设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，将直线l的参数方程代入x2+y2=2x中，

得t2+（3m-3）t+m2-2m=0，

所以t1t2=m2-2m，由题意得|m2-2m|=1，得m=1，m=1+2或m=1-2.

点评：（1）对于形如x=x0+at，y=y0+bt（t为参数），当a2+b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题.（2）在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解.

题型五、极坐标方程与参数方程的综合应用

涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程.这是高考中“出镜率”最高的题型.

例5 在平面直角坐标系中，已知直线l的参数方程为x=m+ty=t（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12，点F的极坐标为（22，π），且F在直线l上.

（1）若直线l与曲线C交于A、B两点，求|FA|·|FB|的值;

（2）求曲线C内接矩形周长的最大值.

解析：（1）∵点F的极坐标为（22，π），

∴直角坐标为（-22，0），

由题意得-22=m+t0=tm=-22，

∵曲線C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12，∴直角坐标方程为x2+3y2=12.

将直线l的标准参数方程x=-22+22t′y=22t′（t′

因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于035m3的概率的估计值为0.48.

（3）该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为

x1=150（0.05×1+0.15×3+0.25×2+0.35×4+0.45×9+0.55×26+0.65×5）=0.48.

该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为

x2=150（0.05×1+0.15×5+0.25×13+0.35×10+0.45×16+0.55×5）=0.35.

估计使用节水龙头后，一年可节省水

（0.48-0.35）×365=47.45（m3）.

点拨：该题考查的是有关统计的问题，涉及到的知识点有频率分布直方图的绘制、利用频率分布直方图计算变量落在相应区间上的概率、利用频率分布直方图求平均数，在解题的过程中，需要认真审题，细心运算，仔细求解，就可以得出正确结果.