走进数学“精神实体”培养学生“学科素养”

周浩

【摘要】培养学生良好的数学学科素养，需引领学生进入数学的“精神实体”。引领学生进入数学知识、学习过程、学习方法、数学思维的“精神实体”是践行这—理念的重要抓手。

【关键词】数学;精神实体;学科;核心素养

荷兰数学家、教育家弗赖登塔尔（H.Freudenthal）认为，数学教学的目标一个是“精神实体”，一个是“实体”。“精神实体”是数学的根本，是数学的灵魂。通过数学课程内容这些“实体”走进数学的“精神实体”，学生数学学科素养才能真正形成。

一、“结构-解构-建构”——引领学生进入数学知识的“精神实体”

学生在学习新知之前，总有一个属于他自身的知识结构验。教学中，我们一方面要帮助学生提高原有知识结构的稳定性与清晰度，另一方面，要让儿童真正体验数学知识的形成过程，扩充原有的知识结构，或将原有结构打破，实现知识结构的再建构，进入知识的“精神实体”，将培养学生数学素养落到实处。

【案例1】“平均数”

平均数既有它的算法意义，又有它的统计学意义，新课程特别强调数学教学要从统计学的角度引领学生理解平均数。在教学中如何落实这一理念呢？一位老师通过创设1分钟投篮比赛的情境，从以下三个层次进行落实。

（1）创设特殊数据—一唤起生活經验

师：小华投了3次：5、5、5。用哪个数表示小华1分钟投中的个数比较合适？

（2）引发矛盾冲突——感悟移多补少

师：小军出场了，他也投了3次：3、4、5。表示小军投篮的水平用哪个数比较合适呢？

（3）精心设计悬念——理解概念特性

师：老师想考考小强投篮到底怎么样，让他投四次，小强前3次投篮的情况：4、6、50从目前看，他平均1分钟投中几个？小强一定赢吗？小强第4次投篮的成绩是——1。小强是赢了还是输了？

生：输了，最后一次投得太少了，把前面投得多的个数拉下来了！

师：估—估，小强现在的平均成绩大约是几个？

生：大约是4个。

师：为什么不估计平均成绩是6个？

生：6个是最多的，它还要移一些补给少的，所以不可能是6个。

师：那为什么不估计平均成绩是1个呢？最后一次只投1个呀！

生：其他几次都比1多，移一些给它后，就比1多了。

师：平均成绩比最好的成绩一

生：小一些。

生：还要比最小的数大一些。

生：应该在最大数和最小数之间。

通过以上几个层次的教学，平均数不同于原始数据中的每一个数据（虽然有时可能等于某个原始数据），但又与每一个原始数据相关，平均数能刻画、代表一组数组的整体水平，深入学生心田;用移多补少和除法计算平均数的方法也是在学生感悟中所得。在这样的过程中，学生进入了平均数的“精神实体”，统计观念得以落实，数学素养自然得以提升。

二、“猜想-验证-探究”——引领学生进入学习过程的“精神实体”

《数学课程标准》要求数学教学要关注儿童的数学学习过程，帮助学生逐步积累数学活动经验。教学中，我们要让学生体验过程中的价值，感受过程中所蕴含的精神价值。

【案例2】“平行四边形的面积”

在引导学生推导平行四边形的面积公式时，多种版本的教材都有“你能把平行四边形转化为长方形吗”这样的提示语。而为什么要把平行四边形转化为长方形这一本质学生心中无数，—位老师从以下几个环节进行引导。

（1）引导猜想，验证聚焦

师：下面这个平行四边形的面积是多少，你能猜一猜怎样计算吗？

生1：9×5=45（平方厘米）

生2：5×4=20（平方厘米）

生3：9×4=36（平方厘米）

师：怎样证明大家的猜想是否正确呢？

生：可以用数方格有方法进行验证。

师：我们先来验证第—种。9×5——这是用“底×邻边”的，（验证的过程中渗透转化思想）你发现什么？

生：比平行四边形的实际面积大！用“底×邻边”计算平行四边形的面积是错误的。

师：猜想二中，5×4——这是用“邻边×高”的，是否正确呢？

生：也不正确，比平行四边形的面积小！

师：我们来继续验证猜想三，9×4——这是用“底×高”的，是否正确呢？

生：用“9×4=36”个面积单位去铺这个平行四边形，正好铺满。因此用“底×高”计算平行四边形的面积是正确的。

（2）引领方法，自主探索

师：这个平行四边形的面积可以用“底×高”来计算。这到底是巧合还是普遍适用的方法呢？我们还可以用什么方法去推导出平行四边形的面积呢？

生：我们可以把平行四边形剪拼成一个长方形，通过研究平行四边形和长方形之间的关系，得出平行四边形面积的计算方法。

在学生猜想的基础上通过验证聚焦到平行四边形的面积可以用“底×高”来计算。把平行四边形转化成长方形去探索，是学生的感悟所得，是学生的内心需求，学生进入转化的“精神实体”，转化思想进入学生心田，操作价值得以彰显，素养得以提升。

三、“平衡-失衡-平衡”——引领学生进入数学方法的“精神实体”

图式理论启示我们，学生学习数学新知的过程是不断调用头脑中已有图式、不断丰富原有图式、不断构建新图式的过程。对学生来讲，数学知识的习得必须经历“平衡-失衡-再平衡”的过程。教学中，让学生进入知识背后所蕴含的数学思想、数学方法的“精神实体”，学生的数学素养才能自然萌生。

【案例3】“异分母分数加减法”

一位老师通过创设问题情境，让学生列出算式：1/2+1/4。如何计算结果呢？学生中出现了三种方法：一是将分数化成小数计算，结果是0.75;二是通过画图得到结果是3/4;三是先通分，1/2+1/4=2/4+1/4=3/4。在学生理解了这三种方法的基础上，教师出示了5/6-1/3让学生继续探索。在分享阶段，学生没有用小数解决（无法转化成有限小数），少数人用画图的方法解决（比较麻烦），绝大多数人均运用通分的方法计算。教师在引导学生比较中懂得：异分母分数加减法，运用通分转化成同分母分数加减法计算具有普遍性。

通过这样的过程，学生充分理解了异分母加减法“先通分，再计算”的道理，学生通过对学习过程的反思与比较，在“掌握了方法-感悟某些方法的局限性-理解通分方法的普适性”中，进入异分母加减法背后的数学思想（转化：新旧知识之间的转化、分数小数之间的转化、数与图形之间的转化等）和基本方法（异分母分数转化为同分母分数;计算单位不统一转化为计算单位统一）的“精神实体”，课堂的教学有了宽度、广度与深度。

四、“铺垫-创造-延伸”——引领学生进入数学思维的“精神实体”

数学知识的前后联系较强，在教学新知之前，教师要通过不同的方式，暴露学生的思维，让学生的思维看得见，让学生的数学学习与数学思维同行，在思维中体会数学的力量，引向数学思维中的“精神实体”。

【案例4】“整万数的认识”

师：老师报数，请同学们在计算器上拨数。（学生根据老师报的数在只有四个位的计数器上拨出5、50、500、5000）

师：刚才拨出的四个数，它们的大小—样吗？

生：不—样，因为它们所在的数位不同。

师：同样是五颗珠子，因为拨在不同的数位上，表示的数的大小不—样。猜—猜，老师下面要报哪一个数？

生：50000。

师：50000是我们以前没有学过的大数。你能想出办法拨出这个数吗？

生1：50000是五位数，我们的计数器只有四个数位，我们把同座两人的计数器拼在一起就有了八个数位，在左边计数器的个位上拨出五个珠子就是50000。

生2：我有—点建议，在左边的计数器的个位上拨五颗珠子，表示的是五，不是五万，应该把左边计数器上的“个”改成“万”。

生3：“个”改成了“万”，“十”“百”“千”也应该改一改。

师：谁能说说你是怎么改的吗？

生4：原来“十”的位置正好对着“十万”，只要直接添一个“万”字，“百万”“千万”也—样。

师：今天学习的计数单位千万、百万、十万、万和原来的计数单位千、百、十、个之间存在一—对应的关系。正因为如此，我國的计数方法中，把这四个数位称为“万级”;原先学习的千位、百位、十位、个数称为“个级”。

位值原理是认识自然数的核心所在。教师以“你能想出办法拨出50000吗？”点燃了学生创新思维的火花，学生产生了“把两个计数器叠起来变成八位计数器”的方法，在交流分享中学生实现了知识的同化。这样的教学充分尊重了儿童的认知水平，又培养了学生创新能力，促进学生学会数学的思维，将思维的触角指向数学的背后，感受到了认数实体后的“精神实体”。

让数学的“精神实体”永存学生心间，让数学素养在“精神实体”中自然萌发，是培养学生核心素养的一个重要抓手。