对一道好题的多维解析与火热思考

何雪冰

[摘  要] 文章以一道实际应用题为例，探讨并教会学生选择解题路径与方法.通过对一个问题的研究、一题多解的探讨，引导学生将所学知识融会贯通，重在引导学生善于方法的总结与优化，让学生学会主动归纳总结问题的各种解法，掌握处理各种问题的通性通法，通过一题多解最终实现多题一解.

[关键词] 解法探析;通性通法;学会选择;反思提升

最近笔者在高三年级进行高中数学二轮微专题复习时，遇到一道模考题，内涵丰富，立意深刻，着实是一道好题.本文就其解法做了一些探析与反思，抛砖引玉，期望能引起大家更多的思考.

■原题呈现

如图1，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N （异于村庄A），要求PM=PN=MN=2（单位：千米）. 如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离最远）？

■解法探析

1. 构建三角函数

如图1，设∠AMN=θ，在△AMN中，■=■.

因为MN=2，所以AM=■sin（120°-θ）.

在△APM中，cos∠AMP=cos（60°+θ）.

AP2=AM2+MP2-2AM·MP·cos∠AMP

=■sin2（120°-θ）+4-2×2×■·sin（120°-θ）cos（60°+θ）

=■sin2（θ+60°）-■sin（θ+60°）cos（θ+60°）+4

=■[1-cos（2θ+120°）]-■·sin（2θ+120°）+4

=-■[■sin（2θ+120°）+cos（2θ+120°）]+■

=■-■sin（2θ+150°），θ∈（0，120°）.

当且仅当2θ+150°=270°，即θ=60°时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2■.

解法评析：这种解法是此类问题的通性通法，利用正余弦定理确定边角关系，关键在于恰当设角，建立已知量与未知量的函数模型，从而解决目标，但是对三角运算要求较高.

2. 构造直角三角形

如图2，设∠PMD=θ，在Rt△PMD中，

因为PM=2，所以PD=2sinθ，MD=2cosθ.

在△AMN中，∠ANM=∠PMD=θ，所以■=■，

AM=■sinθ，所以AD=■·sinθ+2cosθ（θ≥■时，结论也正确）.

AP2=AD2+PD2=■sinθ+2cosθ■+（2sinθ）2

=■sin2θ+■sinθcosθ+4cos2θ+4sin2θ

=■·■+■sin2θ+4=■sin2θ-■cos2θ+■

=■+■sin2θ-■，θ∈0，■.

当且仅当2θ-■=■，即θ=■时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2■.

此时AM=AN=2，∠PAB=30°

解法评析：方法2与方法1本质一样，都是恰当设角构建三角函数模型，但是方法2利用化斜为直的思想，构造直角三角形搭建未知量与已知量的桥梁，从而使得运算简捷一些.

3. 利用基本不等式

设AM=x，AN=y，∠AMN=α.

在△AMN中，因为MN=2，∠MAN=60°，

所以MN2=AM2+AN2-2 AM·AN·cos∠MAN，

即x2+y2-2xycos60°=x2+y2-xy=4.

因为■=■，即■=■，

所以sinα=■y，cosα=■=■=■.

cos∠AMP=cos（α+60°）=■cosα-■sinα=■·■-■·■y=■.

在△AMP中，AP2=AM2+PM2-2 AM·PM·cos∠AMP，

即AP2=x2+4-2×2×x×■=x2+4-x（x-2y）=4+2xy.

因为x2+y2-xy=4，4+xy=x2+y2≥2xy，即xy≤4.

所以AP2≤12，即AP≤2■.

当且仅当x=y=2时，AP取得最大值2■.

解法评析：通过三角关系建立二元等式，借助基本不等式求最值，这是求解最值十分重要的基本方法，难点在于能否构建二元等式，并且未知量较多.

4. 利用坐标法

如图3，以AB所在的直线为x轴，A为坐标原点，建立直角坐标系.

設M（x■，0），N（x■，■x■），P（x■，y■）.因为MN=2，

所以（x■-x■）2+3x■=4.

MN的中点K■，■x■.

因为△MNP为正三角形，且MN=2.所以PK=■，PK⊥MN.

所以PK2=x■-■■+y■-■x■■=3，k■·k■=-1，即■·■= -1，

所以y■-■x■=■x■-■，所以y■-■x■■=■x■-■■.

所以1+■x■-■■=3，即■x■-■■=3，所以x■-■■=■x■.

因为x■-■>0，所以x■-■=■x■，

所以x■=■x■+2x■，所以y■=■x■.

所以AP2=x■+y■=2x■+■x■■+■x■=x■+4x■+2x■x■=4+4x■x■≤4+4×2=12，

即AP≤2■.

解法评析：坐标法即为图形问题代数化，将部分思维量转化为运算量，能够降低思维难度，但是坐标运算复杂.

5. 矩阵变换法

如图4，以AB所在的直线为x轴，A为坐标原点，建立直角坐标系.

设M（x■，0），N（x■，■x■），P（x■，y■）.

因为MN=2，所以（x■-x■）2+3x■=4. 即x■+4x■=4+2x■x■，

所以4+2x■x■≥4x■x■，即x■x■≤2.

因为△MNP为正三角形，且MN=2.所以PK=■，PK⊥MN.

■順时针方向旋转60°后得到■.

■=（x■-x■，y■），■=（x■-x■，■x■）.

所以■   ■-■  ■ x2-x1■x2=x0-x1 y0，即x■-x■=■（x■-x■）+■x■，y■= -■（x■-x■）+■x■. 所以x■=2x■+■x■，y■=■x■.

所以AP2=x■+y■=2x■+■x■■+■x■=x■+4x■+2x■x■=4+4x■x■≤4+4×2=12，

即AP≤2■.

解法评析：矩阵变换法给本题注入了一股清风，突出变换的作用，能够将复杂的运算简单化.但是由于高中阶段对矩阵要求较低，很少有学生能想到用这个解法.

6. 平面几何法

如图5，由运动的相对性，可使△PMN不动，点A在运动. 由于∠MAN=60°，所以点A在以MN为弦的一段圆弧（优弧）上，设圆弧所在的圆的圆心为F，半径为R，由图形的几何性质知：AP的最大值为PF+R.

在△AMN中，由正弦定理知：■=2R，

所以R=■，所以FM=FN=R=■. 又PM=PN，所以PF是线段MN的垂直平分线.

设PF与MN交于E，则FE2=FM2-ME2=R2-12=■，即FE=■.

又PE=■，所以PF=■，所以AP的最大值为PF+R=2■.

解法评析：平面几何法让人耳目一新，更加揭示本题的本质，从∠MAN=60°，MN=2这一组对角对边为定值，也许能让人联想到正弦定理和三角形的外接圆，从而探寻到解题思路.只有平时经常增强图形意识，强化读图、识图、想图、用图的能力，才能不断增强感觉，提升解题能力.

■反思感悟

对于数学解题，很多时候刚开始可能没有思路，或许思路太多导致无从上手，那么此时需要我们能够静下心来认真读题、冷静分析，做出合理恰当的选择. 平时解题时应当尽量用多种方法解题，通过对一道题的深入探究，回顾和深化相关的知识及解题思想方法，实现一类问题的解决，即通常我们说的通过一题多解，最终实现多题一解.

在掌握基本思想方法的同时，还要善于方法的选择和优化，主动归纳、学会总结，这样在遇到问题时，才会少走弯路，这样的解题才更加有意义.