以植树问题为例谈如何培养学生数学思想

黑河市教师发展学院 宋 蕾

自从小学数学课程的总目标由“双基”调整为“四基”，从“两能”发展成“四能”以来，广大一线教师对此调整一直持有不同观点。其实写进课程标准里的这一要求，并不是简单的词语的堆砌，而是在数学发展过程中，我们反思过往，总结经验，指向未来的结果。“双基”变“四基”是我们看到了基础教育中的缺失，但写进要求当中之后，现在的教育就不缺失了吗？基础知识与基本技能我们可以通过一纸考卷来检测，那么基本思想与基本活动经验要怎样衡量呢？这需要在数学教育进步与发展的同时，教师自身也要有与之相对应的发展与提升，才能最终将其落实在课堂中。

谈到“数学思想”，一定不能就思想而教思想，要以数学知识为载体，二者不可割裂开分别教学，应该将数学知识与数学思想融为一体。人教版小学数学教材从二年级开始，每册都安排了一个“数学广角”，一共十个内容，使学生接触到最为基本的数学思想方法。重在引导学生在参与中感悟，在研究中理解，在交流中提升，最终达到发展学生思维，提高学生抽象能力的目的。

一、依托教材助推思想落地

以“植树问题”一课为例，应重在让学生从具体的事物中发现规律、找到规律，并进行建模。模型思想也是“植树问题”中须要落实的重要思想，这类课应在对教材的深入挖掘和理解的基础上，做到多种数学思想的落实，既要做到不脱离数学思想而单纯训练，又要做到不牵强为落实思想而生搬硬套。例如，教学“植树问题”一课时，教师就采用了化繁为简的数学思想。

课件出示问题：同学们在全长1000米的小路一侧植树，每隔5米栽一棵（两端要栽）。一共需要多少棵树苗？

师：从题中你获得了哪些信息？

生：我知道了小路的总长度是1000米，植树间隔是5米，两端都要栽树。

（师板书：总长度，间隔距离。）

师：他除了提到两个数学信息，还说了一个提醒，谁注意到了？

生：是两端都要栽。

师：两端都栽说的是什么意思呢？

生：就是路的两侧都要栽树。

师：老师这现在就有一条小路，请你到前面来给大家指一指你的理解。（生演示为道路的两侧。）

师：举手的同学有不同理解是吗？那我们看看大家是怎么说的。（生正确演示什么是两端。）

师：那刚刚那名同学指的是什么？

生：他指出来的是道路的两侧，而我们题中说的是两端都栽。

师：你说得真严谨，那这道题中有侧的要求吗？

生：有，题中说要在路的一侧植树。（让学生到前面演示。）

师：那也就是说，我们植树的时候有时可以栽一侧，有时可以栽两侧。那这道题中是哪一种？

生：是一侧栽树。

师：一侧栽树，还要两端都栽。那除了两端都栽，还可以怎么栽？

生1：还可以两端都不栽。

生2：还可以一端栽另一端不栽。

师：你们真善于总结。根据这些数学信息，你能不能猜测一下，需要栽多少棵树？

生 1：200棵。

生 2：210棵。

生3：200棵左右。

师：大家不是很确定，是吗？那准确的数量到底应该是多少呢？我们需要验证一下。平时我们解决类似这样的数学问题常用的是什么方法？

生：画线段。

师：那同学们就拿出练习纸，自己先试着画一画，解决一下这个问题。

师：看同学们画得很认真，但也很费力，遇到什么问题了吗？

生：这条路太长了，栽的树也太多了，这一张纸不够画。

师：就算是纸够，那麻不麻烦？

生：麻烦。

师：因为1000米太长了，那么既然大家都认为麻烦，就那让我们再来想一想还可以怎样研究呢？

生：可以研究短一点的。

师：你真善于思考，我们可以化繁为简，先研究20米的一段小路。

这一教学片段重在培养学生的数学思维，猜想、验证是学习数学的重要思想方法，也是小学阶段解决问题的主要方法，在学生经历猜想并验证的过程中巧设矛盾，激发学生深入思考、主动探究的欲望。通过猜测1000米小路要植多少棵树的问题，让学生在验证过程中发现存在的困难，即：利用画线段图的方式解决问题也极为烦琐，所以引导学生尝试用化繁为简的方法，研究1000米中的其中一小段来解决问题。教师不用去讲解何为化繁为简，便达到了水到渠成的效果。

二、探究活动促进模型构建

在课堂教学中，教师要向学生提供充分的从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。“植树问题”一课通过小组合作学习与独立自主学习，可以让学生进行充分的尝试，大量数据都是学生自己研究所得，学生依据自己所得数据归纳出所需的模型，并用大量的数据做验证和支撑，体现了数学的严谨性。真正的课堂是开放的、自主的、基于学生的，真实的学习是动态的、变化的、不断生成的。下面的例子就充分的体现了这一点。

（独立研究，深入思考。）

（课件展示）全长（ ）米的小路一边植树，每5米栽一棵，两端都要栽，一共要栽多少棵树？

师：你想研究多少米呢？

生：50米、60米、30米、10米。

师：看来同学们都知道用化繁为简的方式，选择比较短的距离，下面开始吧！

（学生自己探究。）

师：老师看同学们研究差不多了，谁先来汇报？

（实物展台展示学生自己研究成果。）

生：我研究的10米的小路，应该是2个间隔，栽3棵树，我们可以用 10÷5=2（个）间隔，2+1=3（棵）树。

师：还有谁研究其他长度了？（同时板书：2个间隔，3棵树。）

生1：我研究的是50米的小路，是10个间隔，11棵树。（师板书。）

生2：我研究的是55米的小路，是11个间隔，12棵树。（师板书。）

生3：我研究的是35米的小路，是7个间隔，8棵树。（师板书。）

生4：我研究的是40米的小路，是8个间隔，9棵树。（师板书。）

…………

师：看，同学们自己选择了很多米数来研究，大家看研究的米数不同，间隔数怎样？

生：发生了变化。

师：栽树的棵数怎样？

生：也发生了变化。

师：但有没变的，你发现了吗？

生：间隔数和棵数永远相差1。

师：那是什么关系你能说一下吗？

生：棵数－1=间隔数。

师：那我们也可以说成？

生：间隔数+1=棵数。

师：原来间隔数与棵数之间相差的数量永远不变，那看来我们要求的棵数和谁有关系？

生：和间隔数。

师：知道间隔数加上1就是棵数了是不是？

生齐答：是。

师：但这是怎么栽的情况下？

生：两端都栽的情况。

师：那你现在能用语言来描述一下，为什么棵数就比间隔数多1或者间隔数为什么就比棵数少1吗？

（学生沉默。）

师：是有些难以表达吗？那让我们一起看大屏幕，真是有用语言难以描述得很清楚的时候，那我们就用数学直观的形式来理解，这样会更好。

师：看，一棵树对应一个间隔，一棵树对应一个间隔，最后剩下一棵树。这回明白了吗？

生：明白了。

思考后结果的呈现，研究中问题的反馈，都通过汇报得以展示，真正体现出学生的主体性。通过共同收集的数据，学生很主动地梳理与归纳，总结并验证模型的正确性，发挥学生的抽象思维，构建模型思想。在理解棵数比间隔数多1时，通过数据得出结论，但在让学生表述时仍然存在困难，这时巧妙设计课件展示，通过一一对应的方式，让学生一目了然，更好地理解数学语言的不同形式，准确运用不同的数学思想，不同形式的数学语言，才能更好地表达出一种数学关系。在研究棵数与间隔时落实一一对应的数学思想，以及在汇报交流中归纳思想的运用都是因需而教、为用而学。这种对学生数学思想的培养，真正做到了帮助学生解决实际问题，也更加体现出数学思想的价值性，同时也促进了学生更好地理解模型思想。

三、生活数学关注应用本质

在植树问题教学中，单纯的模型记忆并不是我们的主要目标，更重要的是从本质上对模型进行理解，同时学会其在现实生活中的运用，学习数学其实就是回归现实生活的需要，就应以学生的真实生活和学习经验为基础。下一片段在建立模型后的运用中，教师从不同的植树问题进行引入，起到了梯度练习的作用。

1.基础热身（课件展示）

（1）一排同学之间有5个间隔，这一排有（ ）个同学。

（2）工人叔叔要在路的一边安装路灯，一共安装了10座。从第一座到最后一座一共有（）个间隔。

（3）小红住的楼房每上一层要走20个台阶，从一楼到三楼要走（）个台阶。

2.挑战自己（课件展示）

为美化环境，在一条全长2000米的街道两旁摆放盆景，两端也要摆放，每隔10米放一盆。一共要摆放多少盆盆景？

两个层次的巩固练习匀以生活数学为主线，第一层次考查学生对基本内容的掌握情况，第二层次通过简单变形考查学生对本节课的运用能力，起到思维提升的作用。练习中通过对站队、上楼、路灯等生活中类似的植树问题的引入，让学生体会各不相同的“树”，其实更是让学生感受数学在生活中无处不在，数学思想更有助于解决生活中的实际问题，真正建立起植树问题的数学模型，完成抽象化的过程。

在人教版小学数学教材中无论是“数学广角”部分，还是“四大领域”的内容，都将数学思想融于具体内容中，并呈螺旋上升的原则进行编排，我们教者在教学中应采用循序渐进的方式，让学生逐步加深对数学知识、数学方法和数学思想的理解，让数学思想真正融入每一节常规教学。