二次函数与等腰三角形问题

夏满

【摘要】初中数学知识可以分为两大类：一类为代数，其中代表知识为函数;另一类为几何，其中三角形是初中阶段学习的基本图形之一.函数问题与三角形的结合是常见的问题，主要考查学生对二次函数及三角形的基本性质是否熟练掌握，属于综合性较强的问题.

【关键词】二次函数;等腰三角形的性质;等腰三角形的画法

一、等腰三角形的轴对称性

如图1所示，△ABC是以AB为底边的等腰三角形.过点C作CD⊥AB，可得到以下重要性质：

（1）CD所在的直线是线段AB的垂直平分线;

（2）点D为线段AB的中点.

二、画等腰三角形

如图2所示，已知平面內有一条线段AB，请在平面内找一点C，使△ABC为等腰三角形.

解 （1）若三角形是以AB为腰的等腰三角形，如图3所示，分别以点A、点B为圆心，以AB的长为半径画圆，则该圆上所有点（除与直线AB共线时的点外）均可以与线段AB构成以AB为腰的等腰三角形，如△ABC1，△ABC2.

（2）若三角形是以AB为底边的等腰三角形，如图3所示，分别以点A、点B为圆心，以AB的长为半径画圆，两圆的交点分别记为点M、点N，连接MN，则该直线上所有的点（除与直线AB共线时的点外）均可以与线段AB构成以AB为底边的等腰三角形，如△ABC3.

（3）特别的，当点C与点M（或点N）重合时，此时△ABC为等边三角形.

三、典例赏析

如图4，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2-3x-4的图像交坐标轴于A（-1，0），B（4，0），C（0，-4）三点.

（1）在抛物线上是否存在点P，使△PBC是以BC为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的横坐标;若不存在，请说明理由.

（2）在x轴上是否存在点H，使△HBC是以BC为腰的等腰三角形？若存在，直接写出点H的坐标;若不存在，请说明理由.

分析 （1）方法一：已知△PBC是以BC为底边的等腰三角形，B（4，0），C（0，-4），利用中点坐标公式求出线段BC的中点坐标为（2，-2），过中点作BC的垂线，该垂线与抛物线的交点即为所求的点P.

方法二：设点P的坐标为（a，a2-3a-4），利用两点间的距离公式表示线段PB，PC，由PB=PC列出等量关系式，求出P点坐标.

（2）连接BC，分别以B，C为圆心、BC的长为半径画圆，该圆与x轴的交点即为所求的H点.利用两点间的距离公式可表示出线段BH，HC的长，依据BH=HC列出等量关系式再求解（或借助圆与等腰三角形的对称性求解）.

解

（1）方法一：如图5所示，∵B（4，0），C（0，-4），∴线段BC的中点H（2，-2）.

【参考文献】

陈汝作，钱耀邦.初中数学解题技巧[M].上海：东方出版中心，1998.