三维球内近晶A相液晶径向对称缺陷构型的稳定性

赵方鑫，李思锐，罗永顺，王晓渊

(贵州大学 数学与统计学院, 贵州 贵阳 550025)

液晶是介于通常液体和固态晶体之间的中间态物质, 它既有晶体的分子有向特性，又有流体那样的流动性。液晶分子几何的各向异性促使液晶系统表现出像晶体一样的各向异性，其复杂而迷人的结构以及独特的物理化学性能吸引着众多科学家的关注。 随着温度从高到低的变化，液晶材料往往表现出从均匀相到向列相再到近晶相的相变过程。详细的液晶介绍可以参考文献[1]。

液晶除了呈现出各种丰富的相结构外, 它的一个十分重要物理现象就是缺陷的存在。 从直观上讲, 缺陷(包括点缺陷和线缺陷)就是局部分子排列不连续的地方。 缺陷存在的原因比较多，有杂质的存在、边界条件的限制、区域拓扑限制、液晶的流动等,他们会对液晶材料产生重要的影响。 缺陷结构的稳定性研究不仅数学上重要,而且也与许多物理现象直接相关联。因此，缺陷性态的研究已经成为液晶研究的重要问题之一。

液晶缺陷的早期研究主要集中在描述向列相的向量模型。对单常数近似情形的Oseen-Frank模型(即对应调和映照)，SCHOEN和UHLENBECK[2]证明了它的奇点为有限集。对一般形式的Oseen-Frank模型，HARDT等[3]证明了其极小解的奇点集的一维Hausdorff测度为零，这从数学上排除Oseen-Frank模型描述线缺陷存在的可能性。对于修正的Ericksen模型，ALPER等[4-5]研究了相应的液晶缺陷结构。由于Q-张量模型能够刻画更复杂的线缺陷结构，目前也有一些工作。例如，IGNAT等[6]研究线缺陷结构的存在性与稳定性。针对三维Q-张量模型，CANEVARI[7]研究了线缺陷在小弹性常数趋于零的渐近行为。

在不同区域拓扑的限制下,近晶A相与向列相的缺陷结构在物理性态上往往表现出巨大的差异性，近晶A相分子层排列促使其出现的缺陷结构更为丰富。 在二维情形，CALDERER等[8]研究了近晶A相径向对称缺陷结构和焦锥织构的物理性态；通过极小化能量泛函，在二维区域限制下获得了近晶A相缺陷的分类：向错、位错和焦锥织构。三维情形焦锥织构的稳定性研究仍是一个重要而有意义的公开问题，本文主要工作是在三维球形区域和边界条件限制下，研究近晶A相径向对称缺陷结构的稳定性。

1 近晶A相静力学模型

根据分子指向有序的不同，液晶可以分为：向列相(nematic phase)、胆甾相(cholesteric phase)、近晶相(smectic phase)等。 当液晶分子的空间位置和指向都处于无序状态时，称为均匀相。 向列相的特点是分子位置无序但分子排列长程有序，而且在局部区域分子倾向于朝某个方向排列，这个方向也称为分子的优取向，通常用一个单位向量n来刻画。胆甾相的特点是分子指向倾向于沿着某个方向螺旋式的改变。近晶相也称层状相，顾名思义，其特点是分子分层排列，每层之间的液晶可以自由流动。近晶A相是近晶相中最简单而重要的相结构，其分子层的法向与分子优取向平行，可以看成是分子层法向的一维晶体、分子层内的二维流体。

为了研究液晶的现象和性质，最有力的工具就是建立适当的数学模型。类似于向列相液晶，根据序参量选取的不同，近晶数学模型也大致分为三类：分子模型(molecular model),如McMillan模型[9]；张量模型(tensor model)和向量模型(vector model),它们的典型代表是Landau-de Gennes模型[10]和 Chen-Lubensky模型[11]。本文主要针对de Gennes向量模型，开展近晶A相径向对称缺陷结构的稳定性研究。 为了描述近晶相，除了向列相的分子指向序参数n之外，DE GENNES利用近晶相液晶与超导相似性,引入一个独立的复值序参数

Ψ(x)=ρ(x)eiø(x)

(1)

来刻画空间分子密度的非均匀性，如Nematic-Smectic相变等。于是，分子密度可以定义为

=ρ0(x)+ρ(x)cosø(x)。

式中：ρ0为分子平均密度，非负模量ρ(x)=|Ψ(x)|为调制密度的波幅，ø(x)为刻画分子层位置(也称为相位)的实值函数，ø 几乎处处平行于分子层的法向。 分子层的空间厚度定义为d=2π/q，其中q=|ø| 称为波数。

1972年，DE GENNES[12]建立了刻画向列相到层状A相相变的向量模型：

(2)

在能量泛函式(2)中，EF(n,n) 是刻画向列相液晶的Oseen-Frank自由能密度，其形式为[1]

K1(·n)2+K2(n·×n)2+K3|n·(×n)|2+

(K2+K4)[tr(n)2-(·n)2]。

(3)

式中：K1,K2,K3,K4为Frank弹性系数。 前三个平方项是相互独立的，即其中任何一项在其他两项等于零时均可不为零。其对应明确的物理意义，即只引起·n,n·×n,n·(×n)之一不为零的那些形变相应地称为展曲(splay)、扭曲(twist)和弯曲(bend)。非形变状态的稳定性条件要求所有的三个系数K1,K2,K3都是正的，相应的称为展曲、扭曲和弯曲系数。最后一项主要源于液晶区域边界的贡献。 当时，Oseen-Frank自由能密度可以简化成一个常数近似的形式：

2 平衡态解

基于上述模型的介绍，本文主要研究简化的近晶A相静力学模型:

FdeG(Ψ,n)

(4)

假设近晶A相液晶材料区域为如下球形区域

Ω={(r,θ,φ):0

式中，R>0为球半径。 为简单起见,我们只考虑单位球区域

Ω={(r,θ,φ):0

设R>0为近晶A相系统的特征长度，若将式(1)带入能量泛函式(4)，并引入无量纲化参数

则可导出无量纲化能量泛函：

ρ2+K|n|2]dx，

(5)

而相应的Euler-Lagrange方程为

-ξ2(Δρ-ρ|ø-αn|2)+ρ=0,

(6)

(7)

-KΔn+αρ2(ø-αn)=λ,

(8)

式中：λ是相应于单位长限制|n|=1 的Lagrange乘子。

如果考虑三维球形区域径向对称时，选择如下序参数：

Ψ=Ψ(r)=ρ(r)eiø(r),

则能量泛函式(5)变为

(9)

相应的Euler-Lagrange方程(6)—(8)变为

-ξ2[(r2ρr)r-r2ρ(ør-α)2]+r2ρ=0,

(10)

[ρ2r2(ør-α)]r=0,

(11)

2K+αρ2(ør-α)=λ。

(12)

与文献[8]中的方法完全类似，在Dirichlet边界条件下，利用最大值原理，我们可以确定Euler-Lagrange方程(10)—(12)存在唯一解，而这样的解正好对应着一个平衡态结构。 在二维单位圆上，近晶A相的径向对称缺陷结构的特点是：缺陷中心位于单位圆心，而分子层是以缺陷中心为圆心的同心圆，分子排列方向平行于圆的半径方向[8]。类似地，在三维单位球上，我们也可以得到这样类似的缺陷结构：缺陷中心位于单位球心，分子层是以缺陷中心为球心的同心球，分子排列方向平行于球的径向方向。

3 稳定性分析

本节主要使用标准的二阶变分方法来讨论近晶A相径向对称缺陷结构的稳定性。 对序参数ρ,ø 和n作扰动：

ρε=ρ0+ερ1(r,θ,φ),

øε=ø0+εø1(r,θ,φ),

(13)

使得

我们首先对式(13)中的第三式进行渐近展开，可得

于是，通过整理可得

nε=n0+ε[n1-(n0·n1)]+

O(ε3)。

为了便于分析，我们令

如果(ρ0,ø0,n0)满足Euler-Lagrange方程(10)—(12)，则有

F (ρε,øε,nε)

=F(ρ0,ø0,n0)+ε2B (ρ1,ø1,n1)+O(ε3),

(14)

其中

B (ρ1,ø1,n1)

4ξ2ρ0ρ1(ø0-αn0)·(

(15)

而F(ρ0,ø0,n0)就是近晶A相液晶处于平衡态时的能量。

接下来证明

δ2F(ρ,ø,n)

=B (ρ1,ø1,n1)≥0。

(16)

从式(15)中第二项和第三项看出

4ρ0ρ1(ø0-αn0)·(

(17)

假设有坐标：

n1(r,θ,φ)

=U(r,θ,φ)ar+V(r,θ,φ)aθ+W(r,θ,φ)aø,

(18)

其中ar,aθ,aø是相应的标准正交基，

ar=(sinθcosφ,sinθsinφ,cosθ)T,

aθ=(cosθcosφ,cosθ)T,

aø=(-sinφ,cosφ,0)T。

于是，可得

(19)

已知n0=ar，将式(18)和(19)带入能量泛函式(17)后，则

由式(11)可以推出

其中C是与r无关的常数。又由式(12)知

于是可以推出

4 结语

缺陷结构是液晶实验中十分重要而且引人注目的图案样品。如何理解缺陷产生的机理以及它们的稳定性，已经成为液晶理论与实验研究的中心课题。在三维球内的区域限制下，本文针对描述近晶A相的de Gennes模型(本质就是向量模型)，研究了其径向对称点缺陷结构的性态，通过最大值原理确定了相应缺陷结构的存在性，然后利用标准的二阶变分方法证明了这样的点缺陷结构是稳定的。