关于数形模型的思考

刘晓

（南昌工程学院 水利与生态工程学院，江西 南昌330099）

模型方法是现代科学的核心方法,在科学认识活动中，常借助于理想模型来进行分析、推理和运算，以揭示客体所遵循的规律，数学也不例外。本文通过对科学模型方法进行再认识，指出现行数形模型在阐释微积分基本原理时存在的不足，提出对于现行数形模型的若干思考。

1 科学模型再认识

自然科学是研究自然界的形态、结构、性质和运动规律的科学，它的目的是认识自然规律，为人类正确改造自然开辟道路。[1]从本质上说，科学是人脑借助于模型或常数，运用逻辑的形式对规律的近似体系。逻辑包括形式逻辑和形象逻辑等，前者以数学为代表，后者以中医为代表。科学并不等于规律自身，因为人们对真理（规律）的认识是由相对到绝对不断演化的过程，每一真理都是无限发展的物质世界在有限范围内和有限程度上所作的正确反映。[2]

人的认识能力和人使用的观测手段具有局限性，使得人对规律的认识是个逐渐逼近的过程。以对原子的认识为例。法拉第的电解定律实验（1834 年）反映了电荷的不连续性；汤姆生（1897 年）发现电子是这种不连续电荷的最小单元，提出枣核模型，但不能解释卢瑟福1906 年发现的α 射线的散射现象；卢瑟福（1911 年）设想出原子的行星模型，但解释原子的稳定性等问题遇到困难，得到的推论和实验事实相矛盾；玻尔抓住该矛盾（1913 年）提出了量子化假设，建立了量子化的原子模型；薛定谔（1926 年）在德布罗意关系式的基础上将电子运动描绘为电子云，由于电子具有波粒二象性，因此画不出它的运动轨迹。这反映了人们认识发展的阶段性[3]。接着海森堡（1927 年）提出了著名的不确定性关系（测不准关系），对我们的世界观产生了深远的影响。有学者指出，不确定性关系的逻辑基础是光学放大器的分辨率公式，观测行为存在介入性干扰问题，测不准是人的观测手段的产物，解决介入性干扰的出路在于改用系统学方法研究微观客体，一旦采用新的方法和新的观测手段认知微观事物，人们未来会发现微观领域根本不存在不确定问题，人们会揭示出更多对原子运动规律的认识。

科学要揭示规律就要进入定量认识的水平，数量化的表达形式必须借助于科学模型，并涉及数学工具问题，所以模型方法是现代科学的核心方法。在科学认识活动中，常运用抽象的思维模型进行分析、推理和运算，以获得对客体的规律性认识。思维模型是人脑对客体简化和理想化的结果，包括理想模型、数学模型等。

客体与世界的联系是无限的，它的属性很多，理想模型是对客体的一种抽象、简化和理性化，客体有许多没有直接关系的属性和作用是不予考虑的。例如，在经典力学中，当只考虑物体的位置移动，且空间尺度远大于物体尺度时，将物体的质量集中于一点，即理想化和简化为质点模型；当考虑物体自身的转动时，忽略掉物体受力时发生的形变，物体被理想化为刚体模型；当考虑物体自身形变时，物体被理想化为弹性体模型。同样的，理想气体模型将气体分子看成弹性小球，忽略其体积和分子间的相互作用。物理中的理想流体和点电荷、化学中的理想溶液等都是经过简化和理想化处理的模型，是科学抽象的结果，只存在于人的思维中，在实际中并不存在，因此，以此为模型所建立的科学体系都不免是近似的。

在数学中，没有长宽高的点，没有厚度和宽度的线，没有厚度的面，都是人脑中的东西，人们在现实中找不到点线面，也画不出点线面。同样的，人们也找不到圆、双曲线、圆球、正方体等。在研究实际问题时，把现实中形状近似的物体等同于人脑中相应的模型，比如将与圆柱形状相近的物体等同于圆柱体，把现实中运动着的物体看作静止物体来认定其质量，把质量分布不均匀的物体看作质点，把微小带电体看作点电荷等，那么在此前提下抽象出数学方程就会存在失真性，已经不能完整而准确地反映现实。

再好的模型也是一种阶段性的认识成果，模型方法通过不断改进模型，去逐步逼近真实客体。模型的积极意义在人借助模型可以接近规律，它的消极作用在于失真性。科学工作者要充分利用模型的代表性而警惕模型的失真性，充分而恰当地发挥模型的种种功能。[4]

2 数形模型再思考

马克思说：“一门科学只有当它达到了能够运用数学时，才算真正发展了”。成熟的科学要达到定量认识的水平，需要利用数学工具来揭示规律。数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学[5]，即“形”和“数”的科学。数学同样要借助于模型，实数体系和几何元素就是数学基本的数形模型。

古人在实践中，从一只羊、一棵树等一定物群的共有性方面抽象出整数的概念，分割整数产生分数，整数运算出现了零和负数，它们构成有理数，有理数的开方产生无理数，这是实数的发生史。无理数的出现曾经引发“第一次数学危机”，动摇了毕达哥拉斯学派关于万物皆依赖于整数的信条，遭到他们的强烈反对，直到2000 多年后戴德金用有理数的“分割”来定义无理数，才确立了实数定义及其“完备性”。

然而在对微积分基本原理的研究中，有学者指出现行数形模型的不足之处。在坐标轴中，任何两个点（数）之间可以插入无数个点（数），所以点（数）是离散的，无法描述连续，没有描述两个点分合过渡和两个数异同过渡的方式。点无长度，即无测度；数无度量，数的差即数量才有测度。那么不连续无测度的点如何滚动生成连续有测度的线呢？现行数形模型说不清楚。事实上，无理数和有理数一样，是无度量的，所以实数无法填满数轴，点再多数轴都有孔隙。[6]

现行微积分原理的基础之一是极限论，其一个来源是“正多边形边数无限增多的极限是圆”，但依据点的规定性，不管正多边形的边数怎样无限增多，其任意一个边的两个端点都无法重合，得到的将是边长无限小下去的动态正多边形，极限不存在了。同样的，瞬时变化率、切线等也不存在，解析几何中得到的是切割长度无限减小的割线。[7]

笔者沿着莱布尼茨的思路探讨过微分问题，从哲学上说微分本应用来描述无到有的质变过程，但事实上现行的微分定义对这个过程说不清楚；从本质上看，微分是点级微化的产物，微分在量上是有无相互过渡的中介，定性为有，定量为零，在点上是分合过渡的中介。[8]无论把微分看作零或者其极限为零，都难以描述其本质，问题的根本在于数形模型。

有学者将数和点的规定性进行修正为：每个实数的有性扩张为0，准有性扩张不为零；点的有性度量的0，准有性度量不为0，相同的数（点）变为不同的数（点）有一个异同（合分）的过渡过程。这才有合理的连续概念，他将微分表述为“准有”，进一步揭示出微分的本质。借助于新的数形模型，测度有了承担者，微积分基本原理能得到更清楚的阐释，并且不需要依赖于极限论，张景中院士和林群院士[9]同样地不依赖于极限论来建立微积分原理。

3 结论

科学对规律的逼近离不开模型，而模型是人脑中理想化的东西，相对客体具有失真性。现有的数形模型在微积分应用中表现出不足，使得微积分原理的阐释出现问题，解决的办法之一是优化数形模型，并按照“持之有故，言之成理”的科学准则来评判。