赋值Banach代数的锥b-度量空间中的公共不动点定理

(昭通学院 数学与统计学院，云南 昭通 657000)

1 预备知识

不动点理论已经越来越广泛的应用于当今科学技术的发展中，由古典的Banach压缩映像原理所产生的不动点理论已经不能满足发展的需求了，于是出现了各种推广，尤其是锥度量空间[1]，锥b-度量空间[2]等. 然而，文献[3，4]发现锥度量空间与度量空间之间存在等价关系. 直到2013年，文献[5]定义了赋值Banach代数的锥度量空间，并举例证明了这种空间与度量空间是不等价的. 因此，有关这类空间不动点理论与应用是非常有价值的. 本文主要是在赋值Banach代数的锥b-度量空间中，探究两个单值扩张映射的公共不动点定理，本文的结论推广了文献中的许多重要定理.

假设A为实Banach 代数，即A是具有乘法运算的实Banach空间，其运算具有如下性质， 对任意的x,y,z∈A,α∈R:(1)(xy)z=(yz)(2)x(y+z)=xy+xz以及(xy)z=xz+yz

(3)α(xy)=(αx)y(4)‖xy‖=‖x‖‖x‖[16].

本文总假设Banach代数A具有单位元 (即乘法单位元)e使得对∀x∈A有xe=ex=x.元素x∈A称为可逆的，如果存在一个元素(称为它的一个逆元)y∈A使得xy=yx=e.x的逆元记为x-1，文[16].

注1[16]若r(x)<1，则‖xn‖→0(n→∞).

定义1[5]设A为Banach代数，θ和e分别是E中零元和单位元，P是A的一个非空闭子集，R+为非负实数集. 若满足(1){θ,e}∈P;(2)∀a,β∈R+⟹aP+βP⊂P; (3)P2=PP⊂P; (4)P∩(-P)={θ},则P称A是中的锥. 对于锥P⊂A，定义≤半序如下:即∀x,y∈A,y-x∈P,则x≤y;x0，使得θ≤X≤Y⟹‖x‖≤K‖y‖，则称锥P为A中正规锥，其中满足条件的最小正数K称为P的正规常数.

定义2[2,6]设X是一个非空集合，s≥1为给定的实数，若d:X×X→A映射满足

(i)θ≤d(x,y)对一切x,y∈X.d(x,y)=θ当且仅当x=y;

(ii)d(x,y)=d(y,x)∀x,y∈X;

(iii)d(x,y)≤s[d(x,z)+d(z,y)],∀x,y,z∈X.

则d称X是的一个锥b-度量. (X,d)称为赋值Banach代数的锥b-度量空间.

定义3[2,6]设(X,d)为赋值Banach代数的锥b-度量空间，x∈X且{xn}n≥1是X中的一个序列，则

(i) 若对任意的c∈intP，存在正整数N，使得对所有的n,m>N，d(xn,xm)≪c，则称{xn}n≥1为Cauchy列;

(iii) 若X中的每个Cauchy列都收敛，则称(X,d)为完备的.

定义4[12]设P是体锥，对于任意c▯θ，存在n0∈N当n≥n0时有un≪c，则称{un}是P中的c-序列.

定义5[13]设f,g是集合X中的两个自映射，若存在x∈X，使得w=fx=gx，则称x是f和g的重合点,w是f和g的耦合点.

定义6[13]设是集合X中的两个自映射，若存在x∈X且fx=gx,有fgx=ggx，则称f和g是弱相容的.

引理1[6]设{un}与{vn}是锥P中的两个c-序列，且α,β∈P，则{αun+βvn}也是c-序列.

引理 2[7,8](i)若u≤v,v≪w，则u≪w.

(ii) 若a≤ha，其中a,h∈P且r(h)<1，则a=θ.

(iii) 设对每一个c∈intP,θ≤u≪c成立，则u=θ.

(iv) 设c∈intP且un→θ(n→∞)，则存在N使得当n>N时有un≪c.

引理 3[13]设f,g是集合X中的两个弱相容自映射，若f,g有唯一的耦合点w=fx=gx，则w是f和g唯一的公共不动点(即w=fw=gw).

2 主要结果

定理1[13]设(X,d)是赋值Banach代数的锥b-度量空间，且常数≥1，P是A中的体锥. 设映射f,g:X→X，对任意的x,y∈X满足条件:

d(fx,fy)≥kd(gx,gy)+ld(fx,gy), (1)

证明:设x0∈X，由g(X)⊆f(X)，可得序列{gxn}⊆X：fxn=gxn-1，n=1,2...,从而由(1) 式得

d(gxn,gxn-1)=d(fxn+1,fxn)≥kd(gxn+1,gxn)+ld(fxn+1,gxn)

=kd(gxn+1,gxn)+ld(gxn,gxn)

=kd(gxn+1,gxn)

由于k-1∈P，则有

d(gxn+1,gxn)≤k-1d(gxn,gxn-1).

d(gzn+1,gxn)≤hd(gxn,gxn-1)≤…≤hnd(gx1,gx0).

d(gxn.gxm)≤s[d(gxn,gxn+1)+d(gxn+1,gxm)]

≤sd(gxn,gxn+1)+s2[d(gxn+2,gxn+2)+d(gxn+2,hxm)]

≤sd(gxn,gxn+1)+s2d(gxn+2,gxn+2)+[d(gxn+2,gxn+3)+d(gxn+3,gxm)]

≤sd(gxn,gxn+1)+s2d(gxn+1,gxn+2)+…+sm-nd[(gxm-10,gxm)]

≤(shn+s2hn+1+…+sm-nhm-1)d(gx1,gx0)

≤[e+sh+(sh)2+…+(sh)m-n-1]shnd(gx1,gx0)

=(e-sh)-1shnd(gx0,gx1),

d(u,gxn+1)=d(fv,fxn)≥kd(gv,gxn)+ld(fv,gxn)=kd(gv,gxn)+ld(u,gxn),

而d(u,gxn+1)≤s[d(u,gxn)+d(gxn,gxn+1]，代入上式得

kd(gv,gxn)≤(se-l)d(u,gxn)+sd(gxn,gxn+1).

由se-l,k-1∈P即得

d(gv,gxn)≤k-1(se-l)d(u,gxn)+sk-1d(gxn,gxn+1).

因为{d(u,gxn)}和{d(gxn,gxn+1)}都是c-序列，由引理1知{d(gv,gxn)}也是c-序列. 故gxn→gv(n→∞).根据极限的唯一性知gv=u，即fv=gv=u.

下证耦合点u是唯一的. 假设fw=gw=r，则有

d(u,r)=d(fv,fw)kd(gv,gw)+ld(fv,gw)≥kd(u,r).

即d(u,r)≤k-1d(u,r)，根据r(k-1)<1及引理2(ii)得d(u,e)=θ. 因此u=r. 得证.

定理2设(X,d)是赋值Banach代数的锥b-度量空间，且常数s≥1，P是A中的体锥. 设映射T:X→X是满射且对任意的x,y∈X满足条件:

d(fx,fy)≥kd(gx,gy)+ld(gx,fx)+pd(gy,fy), (2)

证明:设x0∈X，由g(X)⊆f(X)，可得序列{gxn}⊆X：fxn=gxn-1,n=1,2...，从而由(1) 式得

d(gxn,gxn-1)=d(fxn+1,fxn)

≥kd(gxn+1,gxn)+ld(fxn+1,gxn)+pd(gxN,fxN)

=kd(gxn+1,gxn)+ld(fxn+1,gxn)+pd(gxn,gxn-1),

则有

(k+l)d(gxn+1,gxn)≤(e-p)d(gxn,gxn-1).

d(gxn+1,gxn)≤hd(gxn,gxn-1)≤...≤hnd(gx1,gx0).

d(gxn,gxm)≤s[d(gxn,gxn+1)+d(gxn+1,gxm)]≤sd(gxn,gxn+1)+s2[d(gxn+1,gxn+2)+d(gxn+2,gxm)]

≤sd(gxn,gxn+1)+s2d(gxn+1,gxn+2)+s3[d(gxn+2,gxn+3)+d(gxn+3,gxm)]

≤sd(gxn,gxn+1)+s2d(gxn+1,gxn+2)+...+sm-nd(gxm-1,gxm)]

≤(shn+s2hn+2+...+sm-nhm-1)d(gx1,gx0)

≤[e+sh+(sh)2+...+(sh)m-n-1]shnd(gx1,gx0)

=(e-sh)-1shnd(gx0,gx1),

由r(h)<1知‖hn‖→0(n→∞)，于是{hn}是c-序列. 根据引理1得{(e-sh)-1shnd(gx0,gx1)}是c-序列，由引理2(i)知{d(gxm,gxn)}是c-序列，所以由定义3(i)得{gxn}是Cauchy列. 由于f(X)完备，存在u∈f(X)使得，且使得fxn+1=gxn→u(n→∞),且∃v∈X，使得fv=u(若g(X)完备，因为g(X)⊆f(X)，则上式同样成立). 下证gv=u. 由(2)式及注2有

d(u,gxn)=d(fx,fxn+1)≥kd(gv,gxn+1+ld(gv,fv)+pd(gxn+1,fxn+1)=kd(gv,gxn+1)+ld(gv,u)+pd(gxn+1,gxn)

而d(u,gxn)≤s[d(u,gxn+1)+d(gxn+1,gxn)]，代入上式得

由se-p,(k+l)-1∈P即得

d(gv,gxn+1)≤s(k+l)-1[(se+l)d(u,gxn+1)+(se-p)d(gxn+1,gxn)].

因为{d(u,gxn+1)}和{d(gxn+1,gxn)}都是c-序列，由引理1知{d(gv,gxn+1)}也是c-序列. 故gxn→gv(n→∞)根据极限的唯一性知gv=u，因此gv=fv=u.

进一步，若r(k-1)<1，则可证明耦合点u是唯一的. 假设fw=gw=r，则有

d(u,r)≤d(fv,fw)≥kd(gv,gw)+ld(gv,fv)+pd(gw,fw)=kd(u,r).

即d(u,r)≤k-1d(u,r)，根据r(k-1)<1及引理2(ii)得d(u,r)=θ. 因此u=r. 得证.

推论1设(X,d)是赋值Banach代数的锥b-度量空间，且常数s≥1，P是A中的体锥. 设映射f,g:X→X是满射且对任意的x,y∈X满足条件:

d(fx,fy)≥kd(gx,gy),

注3由于本文在赋值Banach代数的锥b-度量空间得出了不动点的唯一性,故定理1,2，推论1改进了文献[11]中的定理2.1，2.2以及推论2.3,定理2改进了文献[14]中的定理2.1. 同时，定理2和推论1分别推广了文献[9]的推论3.11，推论3.10,以及文献[15]的推论2.1,2.2.

注4由于赋值Banach代数的锥b-度量空间是不等价于b-度量空间(见文[3,4])，故本文中的结论改进文献[17-20]中的结论.