应用曲线积分与路径无关性求解恰当方程

李祖雄

[摘           要]  恰当方程求解是常微分方程的一个重要知识点， 而在常微分教材中往往只介绍积分求解法和分项组合法，这两种方法有时候不容易解出方程的通解，在这里介绍应用曲线积分与路径无关性求原函数的方法来求解恰当方程的通解， 方法简便， 学生容易掌握.

[关    键   词]  恰当方程;曲线积分;路径无关;通解

[中图分类号]  O151               [文献标志码]  A            [文章编号]  2096-0603（2020）10-0192-02

一、基本概念

定1[1]：方程M（x，y）dx+N（x，y）dy=0中左端正好为某函数u（x，y）的全微分，也就是M（x，y）dx+N（x，y）dy=du（x，y），則方程M（x，y）dx+N（x，y）dy=0是恰当方程.由此可得方程M（x，y）dx+N（x，y）dy=0的通解是u（x，y）=c，其中c是任意常数.

定2[2]：如果D？奂R2为单连通闭区域，又函数M（x，y）和N（x，y）在闭区域D内为连续函数，并且其一阶偏导数也连续，就有下列四个等价条件：

（1）曲线积分∮LM（x，y）dx+N（x，y）dy=0，这里曲线L是沿D内的任意分段光滑的闭曲线.

（2）曲线积分∫LM（x，y）dx+N（x，y）dy与路径无关，只和曲线L的起点与终点相关，其中封闭曲线L是D内的任意分段光滑的曲线.

（3）在D内有du（x，y）=M（x，y）dx+N（x，y）dy，也就是M（x，y）dx+N（x，y）dy是D内某个函数的全微分.

（4）对于D内任意一点处都

二、积分求解法和分项组合法

由常微分方程教材可知方程M（x，y）dx+N（x，y）dy=0是恰当方程的充要条件为：

积分求解法的一般步骤为：（1）判断M（x，y）dx+N（x，y）dy=0是否为恰当方程，若是则进入下一步;（2）求u（x，y）=∫M（x，y）dx+φ（y）;（3）由x，y）求出φ（y）;（4）写出通解u（x，y）=∫M（x，y）dx+？覫（y）=c.

分项组合法基本步骤为：（1）判断M（x，y）dx+N（x，y）dy=0是否为恰当方程，若是则进入下一步;（2）分出已构成全微分的那些项;（3）将剩下的项通过拆项、增减项凑出全微分;（4）求得全微分，写出通解u（x，y）=c.此方法还需要熟记一些常用的简单二元函数的全微分.

三、曲线积分与路径无关性方法解恰当方程

由，同样可得曲线积分∫LM（x，y）dx+N（x，y）dy与路径无关，所以可获得微分M（x，y）dx+N（x，y）dy的（一个）原函数为：

u（x，y））dx，（沿（x0，y0）→（x0，y）→（x，y）方向）.

由此我们可得恰当方程M（x，y）dx+N（x，y）dy=0的解为u（x，y）=c.

通常我在授常微分方程课时会将此法介绍给学生.综上可知曲线积分与路径无关性求解恰当方程的方法的基本步骤是：

（1）判断M（x，y）dx+N（x，y）dy=0是否为恰当方程;

（2）若是则有u（x，y）=（x，y）dx;

（3）写出通解u（x，y）=c.

四、例题

我们给出一道例题，用三种方法求解微分方程.下面这道例题由华东师范大学数学系《数学分析》[3]中的习题改编.

例 求解方程ex[ey（x-y+2）+y]dx+ex[ey（x-y）+1]dy=0.

这里的M（x，y）=ex[ey（x-y+2）+y]，N（x，y）=ex[ey（x-y）+1]，，

所以方程ex[ey（x-y+2）+y]dx+ex[ey（x-y）+1]dy=0为恰当方程.

解法1：积分求解法

u（x，y）=∫M（x，y）dx+φ（y）

=∫ex[ey（x-y+2）+y]dx+φ（y）

=ex[ey（x-y+1）+y]+φ（y）

由此可是u（x，y）=ex[ey（x-y+1）+y]=c.

解法2：分项组合法

原方程可变为ex+y（x-y）（dx+dy）+2ex+ydx+yexdx+exdy=0，

通过添项、拆项可得（x-y）d（ex+y）+ex+ydx-ex+ydy+ex+y（dx+dy）+d（yex）=0，

也就是（x-y）d（ex+y）+ex+yd（x-y）+ex+yd（x-y）+d（yex）=0，

由此可得d[（x-y+1）ex+y+yex]=0，

可得通解是u（x，y）=ex[ey（x-y+1）+y]=c.

解法3：曲线积分与路径无关求解法

取x0=0，y0=0，可有

=ex[ey（x-y+1）+y]-1，

由此可知通解是u（x，y）=ex[ey（x-y+1）+y]=c.

由上面三种解法能够看出：解法1中被积函数明显要比解法3的被积函数复杂，还得求解，步骤较繁杂，计算难度大于解法3;解法2的难度在于不好凑微分，这道例题还需要通过添项、减项、拆项等技巧才能得到全微分，难度显然比解法3的难度大.所以曲线积分与路径无关求解恰当方程法是一种易掌握且计算容易的方法，值得学习常微分方程这门课程的学生掌握.

参考文献：

[1]王高雄，周之铭，朱思铭，等.常微分方程[M].3版.北京：高等教育出版社，2006.

[2]陈纪修，於崇华，金路.数学分析[M].2版.北京：高等教育出版社，2004.

[3]华中师范大学数学系.数学分析[M].4版.北京：高等教育出版社，2010.

◎编辑 陈鲜艳