凸透镜成像球差的模拟与测量

余昌恺, 岑 剡

(复旦大学 物理学系，上海 200433)

高性能光学成像系统在军事、科研、医学、民用上有大量应用，如导弹的导引头、光电系统中的热成像装置、天文望远镜、摄像机镜头等[1]. 对几何成像系统，像差是衡量成像质量的重要指标. 对像差进行测量，可以审核成像系统的设计和制造质量[2]. 在物理教学中，像差相关内容较少，学生对这方面问题缺乏理解. 因而有必要设计合适的像差实验，加深学生对像差的理解，形成正确的物理图像.

常见的球差测量方法包括焦面测量法、刀口阴影测量法、哈特曼测量法[3]和剪切干涉法[4-5]等. 焦面测量法是基于2组干涉条纹的重合获得各环带光束焦点的位置，在测量时需利用光的干涉现象反复移动CCD，测量过程反复，距离测量精度对结果影响极大. 刀口阴影测量法是利用刀口遮挡光束，基于遮挡位置与阴影图的关系进行球差测量，其中刀口位置与阴影亮暗交替条纹的宽度间定量关系复杂，不便于数值计算. 哈特曼测量法是二次截面测量法，巧妙地对光线追迹图进行模拟并进行球差的测量，其操作繁复，测量工作繁重，不利于实验的开展[1]. 剪切测量法是通过玻璃平行平板形成横向剪切干涉仪来观察单薄透镜形成的准直光束的剪切干涉条纹，并由干涉条纹分布求出对应的几何像差[4]，其数学计算过程过于复杂繁琐.

如何在有限时间内完成具有一定测量精度的物理教学实验具有一定挑战性，而上文所述的常见测量方法不能满足实验教学. 本文基于球差的模型及数值计算方法，利用CCD图像传感技术和计算机技术，设计了球差的快速定量测量方法.

1 凸透镜球差的数值计算

1.1 球差

球面像差简称球差，指透镜成像中入射高度不同的光线不会聚于一点，而分布在透镜焦点附近区域内的现象，如图1所示. 球差与透镜、入射光孔径角以及入射光与透镜交点到光轴的距离h相关，可用轴向球差定量描述.

图1 球差示意图

设入射光与透镜的交点到光轴的距离为h，由h入射的光经透镜会聚于Qh，理想成像点Q0. 轴向球差定义为[6]

δSh=Qh-Q0.

(1)

球差的影响因素较多且解析求解困难. 数值计算软件的发展为球差计算提供了有效途径[7].

1.2 球差的数值计算

球差是由于透镜对傍轴光线与非傍轴光线会聚能力不同造成的. 基于轴向球差的定义，可通过分别计算傍轴及非傍轴光线通过透镜后的会聚位置得到球差.

1.2.1 单个折射面的折射

考虑一般情况，先分析任意光线经过单个折射球面时的参量变化. 设体系光源为点光源.

对单个折射面，如图2所示，设折射面曲率半径r，物空间、像空间折射率分别为n和n′. 设光源到折射面距离l，入射光孔径角为u，入射角i；像到折射面距离l′，出射光孔径角为u′，折射角i′. 参量之间的关系为[8]

(2)

初始条件l和u确定后，由方程组(2)可得光线会聚位置l′和孔径角u′.

图2 单折射面光路示意图

1.2.2 透镜及透镜组的折射

对2个及以上折射面的情况，同样利用方程组(2)进行计算. 对后续的折射面，其初始条件l2及u2为[8]

(3)

其中,l1′及u1′为上一折射面的出射参量，d1为上一折射面与该折射面之间的距离. 将转换后的初始条件代入式(2)，即可得到光经过该折射面后的出射位置及相应孔径角. 通过连续的迭代，以上公式即可应用于透镜组、胶合透镜等几何光学成像体系.

1.2.3 基于Matlab的薄透镜球差数值计算

对于薄透镜，透镜参量已知. 将入射光初始条件代入式(3)进行数值计算，即可得到其出射光的会聚位置. 分别计算傍轴光线与非傍轴光线的会聚位置，即可求得透镜球差.

由上述分析可知，对于单个薄透镜，出射光的会聚位置L′是入射光位置l、孔径角u及透镜参量的函数，即

L′=L′(u,l,r1,r2,n,n′),

(4)

入射光与透镜的交点到光轴的距离h与孔径角u的关系为

(5)

则可以将L′改写为l，h及透镜参量的函数，即

L′=L′(h,l,r1,r2,n,n′).

(6)

当入射光为平行光时，其会聚位置为光源位于无穷远处时L′的极限为

(7)

对平行光中的傍轴光线，取Qh的h趋向于零时的极限为

(8)

将初始条件式(6)～(8)，并根据式(1)，即可进行球差的数值计算. 在Matlab中进行球差的数值计算，体系参量如表1所示.

表1 球差数值计算体系参量表

图3 Matlab球差数值计算

计算结果如图3所示，可以看到，球差随着h的增大而增大.

2 球差测量

2.1 球差测量方法

凸透镜成像的光线追迹如图4所示. 透镜位于图中左侧纵轴处. 为了排除孔径角对球差的影响，实验使用平行光入射. 要对球差进行测量，只需测量Qh和Q0，二者相减得δsh.

图4 凸透镜成像光线追迹图

2.1.1Qh测量方法

如图4所示，Qh为透镜边缘光线在光轴上的会聚位置. 在靠近焦点的区域内，由于透镜外侧光线的会聚速度较快，与透镜内侧的光线相交，光斑边缘由内侧光线组成；在靠近透镜的区域内，光斑边缘仍由透镜边缘射出的光线组成，光斑的半径随光斑位置线性变化.

基于以上分析，实验在线性变化区域内，记录光斑半径-光斑位置关系，并进行拟合，得到透镜边缘光线的直线方程. 利用直线方程算出光与光轴的交点，即可得到Qh. 其中，光斑半径利用CCD拍摄照片，并利用计算机程序对照片中光斑进行拟合得到.

2.1.2Q0测量方法

如图4所示，在光斑最小处后，光斑呈现外暗内亮. 随着观察位置后移，中心光斑逐渐减小. 在焦点之后，光全部开始发散，中心光斑消失. 反复测量中心光斑最小到消失的临界位置并取平均，即可得到Q0.

2.2 实验装置

实验装置如图5所示. 准直管产生的平行光，经过透镜会聚在CCD处. CCD连接计算机，利用计算机进行成像的观察. CCD相机用支座、一维燕尾平移台及宽滑块安装在光具座上. 通过转动平移台鼓轮前后移动相机，观察成像. 平移台鼓轮最小分度0.01 mm，不确定度限值0.004 mm. CCD传感器尺寸为1/1.8英寸，分辨率为1 280×1 024.

图5 实验装置图

实验所用透镜为BK7玻璃. 准直管红光波长为630 mm，对应折射率n′=1.515 2.

图6为准直管的结构原理图. 准直管由物镜及置于物镜焦平面上的带有小孔的分划板、光源以及为使分划板被均匀照亮而设置的毛玻璃组成. 由于分划板置于物镜的焦平面上,因此,当光源照亮分划板后,分划板上小孔处发出的光经过透镜后成为平行光. 这样,对观察者来说,分划板又相当于无限远距离的目标.

图6 准直管结构原理图

3 实验结果及讨论

3.1 轴向球差测量结果

用上述方法对轴向球差进行多次测量，记录Qh和Q0测量值，求出轴向球差并取平均，实验结果如表2所示. 计算得球差δsh=(1.52±0.07) mm. 在Matlab中用上述原理进行计算，得球差数值计算结果为δsh=1.55 mm. 实验测量值相对偏差为2%. 计算所得理论值在实验不确定度范围内，在目前测量条件下，二者互相吻合，实验误差较小.

表2 球差测量实验数据表

3.2 初级球差的光斑特征

球差现象对凸透镜成像的影响是实验设计的基础与核心. 对球差现象的观察能有力促进学生对球差的理解. 在一般的凸透镜成像实验中，由于光源亮度过大，肉眼无法直接观察到光斑内部的光强分布. 本实验通过减弱光源强度并结合CCD图像传感技术，可在完成具有一定精度测量的同时直观地展示初级球差的光斑特征，便于学生形成物理图像.

球差对光斑的影响主要体现为：光无法会聚至一点并形成具有一定面积的光斑；光斑半径与位置的非线性关系；光斑内部的光强分布及最小光斑前后光强分布的不对称性.

在理想情况下，入射平行光被透镜会聚于焦点并发散. 会聚形成的光斑亮度均匀且关于焦点对称. 在实际情况下，非傍轴光线被会聚于透镜焦点前某处；而傍轴光线被会聚于焦点处. 由于会聚位置分布在焦点附近的一片区域内.

如图7所示，A区域光线分布相对均匀，光斑亮度相对均匀；B区域光线外侧密集，内部稀疏，光斑由外部亮圆环与内部较暗的圆组成；C区域光线内部密集外侧稀疏，光斑内亮外暗，分为内部较亮的圆与外部较暗的圆环；D区域光线发散，光斑亮度从内向外递减.

图7 光线追迹图及其分区

在距离透镜不同位置利用CCD拍照，图像及在追迹图中的对应区域如图8所示. 图8(a)中光斑亮度相对均匀；图8(b)中光斑外亮内暗；图8(c)中光斑内亮外暗；图8(d)中光线发散，亮度从内向外递减. 实验现象符合预期.

图8 凸透镜成像实拍图

3.3 光斑半径-位置关系

理想透镜中，光斑半径与位置呈线性关系. 实际情况中，如图7所示，由于透镜边缘光线会聚速度快，在B区与透镜内侧光线相交，光斑半径与位置呈非线性关系. 实验测得二者关系如图9所示.

图9 光斑半径-位置关系图

由图9可知，在光斑最小处前，光斑半径随位置先线性减小，随后曲线斜率逐渐减小，二者呈非线性关系；光斑最小处后，光斑半径随位置线性增大. 因此进行Qh测量时，光斑最小处前方直线的测量应选取距离光斑最小处前较远位置，否则测得球差具有一定误差.

3.4 曝光时间的影响

在CCD图像的获取中，曝光时间是影响图像质量的重要因素. 如图10所示，随着曝光时间增加，光斑细节更加清晰. 另一方面曝光时间增加导致过曝光的出现且噪声、环境光的影响增大. 过曝光区域面积随曝光时间增大而增大. 观察及拍照时应选择合适的曝光时间以在背景光、噪声较小的前提下，避免图像细节的丢失.

(a)40 ms (b)60 ms (c)80 ms图10 不同曝光时间下的B区光斑

在Q0测量中，图像的中心亮斑观察与曝光时间密切相关. 若曝光时间过长，Q0前后一段区域内图像均有中心亮斑，且亮斑较大，不利于Q0测量；另一方面，从Qh处至Q0处，光轴上的光通量逐渐减小，若曝光时间过短，或观察不到中心亮斑，导致Q0测量值偏小.

3.5 Qh测量误差及其改进

实验不确定度主要来源于Qh的测量误差，Qh贡献了90%以上的不确定度.Qh的测量精度受CCD图像质量及圆识别算法的限制.

实验采取霍夫变换法对CCD拍摄图像进行圆识别. 圆形识别的精确度受光斑对比度、边缘连续度、噪声等的影响[9]. 如上文所述，Qh的测量需要A区域光斑半径的测量. 实验所取测量位置的光斑半径为光斑最小半径的20～30倍，因而光斑光强、边缘亮度梯度较小. 实验采取了改变图像整体亮度、对比度的方法增大光斑亮度，但由于原图像亮度较低，环境光及噪声的相对强度较大，亮度提升的同时噪声强度也得到了增强，光斑半径测量具有一定误差.

实验改进应主要考虑图像质量的提升以及图像预处理方法的改进. 图像质量上，可通过提升光源亮度、减少背景光的办法提升原图像中的光斑对比度. 图像预处理方面，考虑通过改进预处理方法，减少背景光、噪声对圆识别的影响.

4 结 论

根据凸透镜成像的理论模型，设计了简单的球差定量测量方法. 该方法基于轴向球差的定义，通过分别测量非傍轴光线以及傍轴光线的会聚位置测得透镜球差，相比于其他测量方法更易于理解，测量过程也更加简便. 根据模型计算结果，推测凸透镜成像过程中光斑呈现从亮度均匀到外亮内暗，再到外暗内亮直至最后完全发散的现象. 利用CCD图像传感技术观察光斑内部光强分布，实验结果符合预期. 实验测得在平行光入射条件下，待测透镜轴向球差δsh=(1.52±0.07) mm，相对误差2%.