浅谈“解析几何”教学中空间想象能力的培养

杨立娟

( 绵阳师范学院数理学院，四川绵阳 621000)

“解析几何”是高等院校数学专业一门重要的基础课程，是中学平面解析几何与立体几何的继续和提高,是“微分几何”“高等几何”以及“拓扑学”等课程的基础，也为物理学和工程技术提供必要的数学工具.解析几何是用代数的方法研究几何问题，通过向量与坐标，建立曲线，曲面方程，研究空间曲线，空间曲面的性质特征.对于空间图形的掌握，学生的空间想象能力非常重要.因此空间想象能力是解析几何教学中需要培养的基本能力之一,通过解析几何课程的学习，需要掌握；

1)基本空间曲线，空间曲面的方程与图形形状，并会作图；

2)根据条件建立空间曲线，空间曲面的方程；

3)一些简单曲面所围成的空间图形的作图.

在教学实践中，发现不少学生空间想象能力较差，通过解析几何的学习，并没有提升相应的能力，尤其对空间图形感到困难.本文主要讨论解析几何课程的图形教学，以培养提高学生的空间想象能力.

1 课堂上的板书教学

数学课堂教学的特点之一，教师在讲解时要大量地在黑板上演算，推理，演示，每一步都是严谨而准确的，学生的思维与教师同步进行.这种传统的教学方式是根本，在这基础上加入现代教育技术手段后，教学方式更加完善，更有效率.解析几何课程也有大量的计算要板书，除此以外，作为几何教师，需要有良好的作图能力，快速，准确的做出空间图形.每一节课的教学，一些重要的计算，图形画法，图形分析，尤其学生有困难的地方，教师的板书讲解，学生更容易听懂理解，印象深刻，从而掌握所学知识.教学实例如：

(1)曲面，空间曲线的认识.

(2)典型曲面的画法.柱面，锥面，椭球面，双曲面，抛物面等.

柱面，锥面，利用几何定义，画母线和准线构成图形.椭球面，双曲面，抛物面利用平行截割法，了解用平面截割曲面得到的曲线形状，只需画若干椭圆，双曲线，抛物线就可构成图形.例如双曲抛物面，可以画四条抛物线和双曲线两支构成，抛物线，双曲线在什么位置，相互之间位置如何，开口大小，教师板书画图，同时学生同步练习本上画图，看起来复杂的曲面，几条曲线快速画出.画图的过程能很好的训练学生的空间想象能力.通过教学观察，部分学生是感到困难的，而这也是学习几何的基本能力.学生通过观察，动手去做，及教师指导，提高作图能力及空间感.

(3)曲面所围成的空间区域.

描绘由几个曲面围成的空间区域是解析几何的一个重点，也是难点，相比于前面的作图要复杂很多.数学分析三重积分的计算，经常用到曲面所围成的空间区域.要能正确画出曲面所围成的空间图形，可以分成几步进行：

(i)判断每个方程表示的曲面；

(ii)判断各个曲面的交线以及与坐标面的交线；

(iii)准确画出各曲面，各交线，关键点得到图形.

(iii)画出各曲面，各交线，关键点，得到图形(略).

学生能够正确画出曲面所围成的空间区域，并能想象出空间区域的形状，是对基础知识，基本能力的检验，将极大的训练和提高空间想象能力.这部分内容也有教学课件，学生能够观察到清晰动感的图形，曲面相交产生交线过程，但对于这个教学难点，需要教师步步分析，帮助学生理解，再辅助教学课件演示加上学生动手去做，才能完全掌握.

2 多媒体辅助教学

“解析几何”中大量的图形教学，教师手绘图形板书是必要的，但是在现代课堂教学中，仅依靠教师手绘是不够的，效率低，一部分空间想象能力不强的学生感到困难，因此数学软件的使用和教学课件的制作必不可少.使用教学课件，能增加课堂教学的信息量,展示空间图形的结构、形成过程，学生观察的更加清楚.例如解析几何第四章中：柱面、锥面、旋转曲面等曲面图形及形成过程；椭球面、双曲面、抛物面等用平行截割法观察曲面的结构；若干曲面所围成的空间区域，及直纹曲面，都利用了课件教学.学生可以验证自己的想象力，训练识图能力，提高学习兴趣和积极性.数学软件有强大的绘图功能,能够精确画出各种曲线，曲面，可以随时变换方程，变换参数，可以从不同角度观察，加上使用各种绘图命令，可以达到不同效果要求，相比于教学课件更准确、快速.教学课件和数学软件的使用，提高了课堂效率,提高了教学效果,有利于培养学生的空间想象能力.

另外,“解析几何”作为高等师范院校数学专业的基础课程,它的学习对学生今后从事中学数学教学具有指导作用.教学课件的制作和数学软件的运用是必不可少的现代教育技术基本技能,教师在教学过程中，会有良好的示范作用.教师会讲解课件的制作方法、数学软件的安装和使用方法，学生在学习解析几何过程中不仅学习了“解析几何”的课程内容，培养了几何能力，同时也学习了几何课程的教学方法，这对于他们将来成为数学教师具有重要意义.

例1 利用Mathematica画双曲抛物面，单叶双曲面的直母线.(双曲抛物面，单叶双曲面都是直纹曲面，曲面上有两族直母线，利用曲面的参数方程，Mathematica软件，画图，观察不同的参数，直线的运动形成曲面.)

图1

例2 利用几何画板制作内摆线.(大圆不动，小圆在大圆内无滑动的滚动，动圆周上某点的轨迹叫做内摆线.学生观察小圆的运动，想象点的轨迹，训练想象能力.同时学习使用几何画板.)

图2

3 作图训练

教师在课堂上手绘图形，或者利用教学课件，数学软件演示图形的制作，空间图形的形状，空间图形的形成，学生观察的清楚，也能正确理解.但要真正掌握这些内容，必须亲自动手.解析几何课时少，很多内容不能在课上完成.无论是手工画图，还是利用数学软件，画空间图形都是难点，而这也正是学习空间几何需要提高的地方，需要学生课下反复的练习与实验，不断的探索，教师可利用网络交流平台给予指导.为此教师布置手工绘图和软件作图作业，学生进行实验，交出合格的作业.

练习1 利用几何画板画外摆线.(图3)

练习2利用Mathematica画单页双曲面，双曲抛物面.(图4)

练习3画空间曲面围成的立体图形(解析几何课本175页第4题).略.

图3

图4

图形教学贯穿解析几何的始终，空间想象能力的形成是一个长期训练与培养的过程，板书教学与教学课件，数学软件恰当结合，准确把握教学的各个环节，有效调动学生认真思考与学习，才能取得较好的效果.