速算三角

苏嘉炜

也许，很多人都曾经幻想过自己在《哈利·波特》的魔法世界里，成为一名出色的巫师，能操纵厉害的法器，击退来犯的劲敌。但你可曾想过，在数学世界里，也存在着许多令人称奇的“神兵利器”，本期魔术师所使用的“杨辉三角”便是其中之一。让我们屏住呼吸，一同来见证魔术师如何借助它，来呈现“一秒速算”的奇迹。

魔术道具：纸和笔

魔术步骤：

魔术师向观众展示出了一张纸板，上面有一个由许多数组成的三角形。魔术师请观众圈出一个小三角形，并且三角形顶点上的数必须为1。此时，只见观众圈出了如图所示的小三角形中的一条斜边。斜边上的数为“1，3，6，10，15，21”。

魔术师宣布演出即将进入激動人心的环节。他向观众表示，只需要一秒钟，他就可以算出斜边上的数字之和为多少。紧接着，魔术师就微微一笑说出了答案：“56。”

魔术师请台下观众动笔，验证一下自己所说的计算结果是否正确。在数十秒的计算过后，观众们发现自己算出的答案与魔术师速算得到的结果相同。台下瞬间开始沸腾，片刻后掌声雷动。

为了让观众再度一睹这个魔术的魅力，魔术师拿出另一张纸板，并在上面画了一个更大的三角形。这个三角形与上一个三角形对比，行数由8行增至9行。之后，魔术师请观众重新圈出一条斜边。

在观众向魔术师展示了所圈出的斜边上的数“1，2，3，4，5，6，7，8”后，魔术师仅花一秒，便不负众望地得出了结果“36”。至此，魔术师的精彩表演赢得了观众们的阵阵惊呼。

揭秘时刻

相信此时的你在惊叹魔术表演的神奇之余，也对其背后的原理无比好奇吧？让我们一同来探个究竟吧！

以1为端点作一个三角形，假设左侧斜边另一个端点上的数为大三角形的第i行的第j个数，那么左侧斜边上所有的数之和，就等于大三角形的第i+1行的第j+1个数，或者第i行的第j个数与第i行的第j+1个数的和。而对于右侧斜边来说，斜边上所有的数之和为大三角形的第i+1行的第j-1个数，或者第i行的第j个数与第i行的第j-1个数之和。

举个例子，如图所示的斜边上的一个端点为“6”，它是第7行的第2个数，那么这条斜边上的数之和，就是第（7+1）行第（2+1）个数，也就是“21”。