小样本下煤油加注温升模型参数估计方法

刘巾杰，许琪琪，扶山川，窦天恒

(西昌卫星发射中心，海南 文昌 571300)

0 引言

煤油作为目前液体火箭的主要推进剂之一，其温度波动会引起物性参数变化，对火箭发动机的性能产生影响。煤油加注系统是大推力运载火箭动力系统的重要组成部分，其主要功能是连续、可靠、准确地向箭上贮箱加注煤油[1]。在加注过程中，受到环境温度、加注管路、加注泵工作状态等因素的影响，煤油温度会发生显著变化[2-3]。因此，需要对煤油初始温度进行调整，控制煤油进箭温度。

采用准确的温升参数，建立科学的温升模型，才能对煤油温升过程进行精确模拟，进而根据最终温度要求反算出最优的煤油初始温度[2]。目前靶场采用的温升参数，皆为确定的经验参数。然而以往试验任务与新型运载火箭靶场实际加注设备、停放环境等差别较大，若仍然使用经验参数进行计算，会致使计算温度与煤油经过加注温升后的实际温度之间存在不可忽略的相对误差。因此有必要根据靶场实测温度数据，对煤油加注温升参数进行估计。目前，我国靶场进行液体火箭飞行试验的次数极少，如何利用仅有的几次实测数据样本，设计更为有效的估计方法，对温升参数进行估计，使煤油温度更好地满足发动机工作要求，对提升火箭发动机整体性能有着重要意义。

1 加注温升模型

常温煤油主要采用泵压式加注[1]。加注温升是指加注结束时火箭贮箱中的煤油温度(不考虑温度分层)与加注前库区储罐中煤油温度之差，其计算模型为

Tj=Tk+f1(Ta-Tk)+f0+ε

(1)

式中：Tj为煤油加注结束时温度；Tk为煤油库房储罐内温度；f1为加注温变系数；Ta为煤油加注开始时刻、结束时刻环境温度的平均值；f0为加注泵温升；ε为测量误差。

在实际煤油加注前，根据目标温度，依照给定的加注模型，对初始加注温度进行反算。而正式加注时，是给定初始加注温度的情况下，煤油从储罐加注到火箭贮箱的过程中，由于加注泵加压、环境热交换等多种原因，温度自然升高，获得加注最终温度。事实上，加注温升模型，就是对煤油在加注过程中温度升高过程的一种模拟。对同一个温升模型，从同一个初始温度出发，其温升参数越精确，解算出来的加注结束温度就与实际的加注结束温度最接近。图1为A,B两次任务加注温度数据。其中，A任务数据最大相对误差达到1.099 5 ℃，B任务数据最大相对误差达到4.557 9 ℃，均超出了煤油温度计算要求精度(要求为±1 ℃)。

图1 两次任务加注温度数据Fig.1 Filling temperature of two tests

不妨假设式(1)所示的模型是正确而完备的，其中Tj，Tk，Ta可以通过实测获得，可见造成计算结果相对误差的根本在于使用的经验参数f1，f0不够准确。

2 温升模型的贝叶斯回归分析

xi=Ta-Tk

令

Y=[y1,y2,…,ym]T

β=[f1,f0]T

将式(1)进一步写成

Y=Xβ+ε

(2)

由式(2)可见，这是一个一元回归模型[4]。

采用最小二乘求解，有[5]

(3)

小样本条件下，贝叶斯法进行回归分析是一种较好的估计方法[9-13]。贝叶斯方法通过将估计参数的先验信息加入回归分析中，能够有效降低测量误差对参数估计的影响，使小样本条件下仍然可以得到参数的合理估计[14-15]。

不妨假设测量的随机误差ε是一个高斯白噪声，式(2)中有：E(ε)=0，Cov(ε)=σ2Im。并且有先验分布：β～N(E(β),σ2I2)，其中E(β)=μ，(μ为已知超参数)。在煤油加注温升模型中，μ为给定的经验参数：加注温变系数f1和加注泵温升f0，记为μ=[f1,f0]T。

在式(2)所示的回归模型中参数的最小风险贝叶斯线性无偏估计(简称MRBLUE)定义如下[8]：

其中

(4)

b=(Im-AX)μ

(5)

计算贝叶斯风险

E[A(Y-Xμ)-(β-μ)]TD[A(Y-Xμ)-(β-μ)]=

Etr{D[A(Y-Xμ)-(β-μ)][A(Y-Xμ)-(β-μ)]T}=

σ2tr{DA(Im+XXT)AT+DAX-DXTAT}

(P+BCBT)-1=P-1-P-1B(BTP-1B+C-1)-1BTP-1

即

A=(XXT+Im)-1XT

(6)

所以β的最小风险贝叶斯线性无偏估计为

(7)

对上式进行进一步梳理，有

(8)

(9)

3 加注温升参数估计

图2 基于A试验任务数据的加注温度对比Fig.2 Comparison of filling temperature based on test A

3种方法测得的参数中，由贝叶斯回归参数得到的加注结束温度与实测温度最为相近。进一步计算3种方法得到的加注结束温度与实测温度的误差，如表1所示。

表1 基于A样本数据的误差对比

经过贝叶斯回归估计参数后得到的加注结束温度与实测温度最为吻合，相对经验参数的结果改善了53.89%。最小二乘结果与经验参数结果相似，但最小二乘方法受测量误差影响，估算得到的加注泵温升f0=-6.579 9<0，与实际情况不符，可见小样本条件下最小二乘方法并不适用。

将从此次加注过程中计算得到的贝叶斯回归参数用于该型火箭飞行试验任务B的加注过程，使用煤油初始加注温度计算得到加注结束温度，联合使用实验测定参数算出的结果与实测温度进行比较，结果如图3所示。

图3 基于B试验任务数据的加注温度对比Fig.3 Comparison of filling temperature based on test B

进一步计算三种方法得到的加注结束温度与实测温度的误差，如表2所示。经过贝叶斯估计参数后得到的加注结束温度与实测温度最为吻合，相对经验参数的结果改善了65.12%。相对于A样本数据，B样本数据体现出来的实验测定结果误差更小，是因为本文中使用的A任务给定的经验参数，其本身就是针对B样本中拟合不好的问题进行修正过的结果，所以采用此参数计算A任务数据效果要优于B任务数据。同时，可以看到，直接根据靶场小样本数据进行贝叶斯回归修正后的参数，其拟合结果在A、B数据中皆优于经验参数的拟合结果。

表2 基于B样本数据的误差对比

上述结果说明利用历史数据进行贝叶斯回归得到的参数与实验测定参数相比，能更好地拟合加注过程的煤油温升。据此验证了贝叶斯回归进行参数估计，改进未来煤油加注温度计算这一方法的可行性和科学性。

值得注意的是，贝叶斯回归不仅在小样本情况下实现科学合理的参数估计，它同样可以在样本量增加的情况下，提高自身的估计精度。图4所示为使用A，B两次样本数据进行估计的参数，与只使用A一次样本数据进行估计的参数，对A加注结束温度进行拟合解算的效果对比。

图4 样本数量对参数估计效果的影响Fig.4 The influence of sample size to estimation result

使用两次数据样本估计的参数，解算出的加注结束温度与实际测量温度的均方误差为4.056 6，与一次数据样本估计的参数得到的均方误差5.937 5(见表1)相比，有了进一步改善。

4 结语

为适应未来火箭飞行试验更大推力、更高精度的要求[15]，精准加注是靶场必须解决的技术问题。在最快的时间内估计出最精确的参数，建立最精确的推进剂温升模型，是其中的关键环节。利用仅有的几次飞行试验数据，本文采用贝叶斯回归分析方法，很好地解决了靶场小样本下煤油加注温升参数估计问题。相比于目前使用的经验参数和经典的最小二乘方法，贝叶斯回归能够综合经验参数先验信息和靶场实地实测数据进行科学估计，有效抑制测量误差的影响，显著提高估计精度。随着液体火箭飞行试验任务的逐渐增多，可用的数据样本容量相应增大，贝叶斯回归分析的参数估计精度会得到进一步提升，为精准加注提供更为坚实的理论基础。