直梁内力与外力关系的教学探讨

?姚哲芳

摘 要：流行的《材料力学》教材，对直梁内力与外力之间的关系论述得不够全面完整。通过选取控制面而将直梁的外力分类，全面地讨论了直梁内力与外力之间的关系。

关键词：材料力学;直梁;内力;外力

基金项目：本文得到西南科技大学教改项目（项目编号：15xn0053）的资助。

1 引言

对于土木工程、机械制造专业来讲，作直梁的内力图（剪力、弯矩图）是材料力学课程中非常重要的内容。根据内力与外力之间的关系可直接快速地作出直梁的内力图。

目前国内流行的材料力学教材[1～2]中，对直梁弯曲变形时内力（剪力和弯矩）与分布外力集度之间的微（积）分关系， 都作了重要论述，但都没有给出内力与集中外力、集中外力偶之间的关系。

作者在讲解直梁内力与外力之间的关系时进行了有益的教学探索，通过选取控制面而将直梁的外力分类，分别讨论了各种情况下直梁内力与外力之间的关系，使得理论上更加全面和完整。教学实践表明，该方法更易于学生理解和接受，取得了良好的教学效果。

2 直梁内力与外力之间的关系

对于直梁来讲，外力包括载荷和约束力。载荷是已知的，利用理论力学静力学的知识求得约束力。约束力求得之后则与载荷同等看待，均称为外力。

对直梁选取控制面。通常将分布外力的起始点和结束点、集中外力或集中外力偶作用处的左侧面和右侧面取为控制面。

一般来说，取了这样一些控制面之后，发现相邻两控制面之间的外力无非有三种情况：（一）分布外力，包括外力为零的情况;（二）集中外力;（三）集中外力偶。图1同时给出了直梁的剪力图和弯矩图，显然，相邻两控制面之间的内力图形无非是直线、曲线或跃变。

下面就相邻两控制面之间的外力情况分类进行讨论。

2.1 直梁承受分布外力的情况

对于直梁内力与分布外力之间的关系，可参考图1进行推导，流行的《材料力学》采用的推导过程在数学上失于严密，苏少卿等根据函数导数定义和积分中值定理给出了逻辑严密的推导，这里不再赘述而直接给出结论。

这两个式子说明，B截面处的剪力值等于A截面处的剪力值与A、B之间分布外力集度图线所围面积的代数和;B截面处的弯矩值等于A截面处的弯矩值与A、B之间剪力图线所围面积的代数和。

2.2 直梁承受集中外力的情况

研究集中外力两侧控制面截取的梁段，如图2所示，左侧面上的剪力、弯矩设为、，右侧面上的剪力、弯矩设为、。

对该梁段列平衡方程有：

式中，C点为右侧面的形心。当Δx趋近于零时，由上两式即可得到：

这两个式子说明，在集中外力作用的地方，如图3所示的A截面处，剪力图出现突变，突变值即为集中外力的大小，突变方向与集中力的方向一致，即向上（下）的外力产生向上（下）的突变;弯矩图在此处是连续而不光滑的，即弯矩图在此处会出现尖角。

2.3 直梁承受集中外力偶的情况

这两个式子说明，在集中外力偶作用的地方，如图5所示的A截面处，剪力图不受影響;弯矩图出现突变，突变值即为集中外力偶矩的大小，突变方向的规律：顺（逆）时针外力偶产生向上（下）的突变。这里需要说明的是，在集中外力偶作用的地方，剪力图不受外力偶的影响，剪力图是否连续，要视此处是否同时作用有集中外力。

3 结语

作者给出了“内力与外力之间的关系”的提法，分类讨论了直梁内力与外力之间的关系，使得理论上更加全面和完整。在教学过程中，作者着重训练学生采用这些关系快速绘制直梁的内力图，让学生更深刻地体会到“力学是数学的乐园”。教学实践表明，该方法更易于学生理解和接受，取得了良好的教学效果。

参考文献

[1]刘鸿文编.材料力学（I）（第5版）[M].北京：高等教育出版社，2011.122-123

[2]苏少卿，孟益平，等.梁的载荷、内力微分关系推导方法的改进[J].力学与实践，2011，33（2）.