物体位置与两平面镜成像数关系的探究

顾江鸿 段道伟 孙 龙

一、问题提出

两平面镜成像是经典物理问题。把两块夹角为θ的平面镜立放在桌面上，在两镜面间放一物体，物体在两平面镜中成多个像。笔者在教学实践中发现，大部分职前物理教师和一线教师认为，当360/θ为整数时，成像个数n为360/θ-1。这一观点忽视了物体所在位置对成像数的影响，如角度为120°时，物体在两镜夹角的角平分线上成2个像，物体在角平分线外成3个像。在图1中，S2在镜A、镜B中分别成像S2A′，S2B′，成像数为2。S1在镜A成像为S1A′，S1A′在镜B中继续成像S1A″；S1在镜B成像为S1B′，成像数为3。那么，除了夹角120°时物体的位置与成像数有关外，还有哪些角度物体的位置影响成像数？不同成像区域是如何划分的？本文利用CAD作图动态展示角度减小的连续过程，直观呈现物体位置与成像数的关系，归纳出不同成像区域的划分规律，供大家参考。

图1 夹角120°的成像区域分布图

二、作图探究

1.作图

在一个平面镜所成的像只要其位置落在另一块平面镜前面(不只是实际平面镜的正前方，而是平面镜所在的平面)，它必然在另一块平面镜中成像；同理，一旦在某一平面镜中所成的像落在另一平面镜的背面，将不能继续成像。为了能分析物体位置对成像数的影响及其变化趋势，本研究除了选取180°，120°，90°，72°等能均分圆周角360°的特殊角作为分析对象外，还在这些特殊角之间取角度，即从大到小取270°，180°，150°，120°，100°，90°，80°，72°，65°，60°等角度。利用物象之间的对称关系，找出在以上各角度物体成像数不同的区域，如图2～图10所示。

例如，两镜夹角为150°时，如图4所示，物体在从镜面到与镜面夹角为30°的邻镜区域Ⅰ，Ⅲ内成3个像。物点S1在镜A中成像点S1A′，S1A′在BB′的前面，在镜B中继续成像S1A″，S1A′在AA′的后面，不能再成像，S1通过镜A成像数为2；S1在镜B中成像为S1B′，S1B′在镜A的后面，不能再继续成像，因此物体在邻镜区域Ⅰ，Ⅲ成像数为3。物体在Ⅱ中央区域成像数仅为2，S2在镜A中所成的像S2A′位置在镜B的后面，不能再继续成像，S2在镜B中的像S2B′在镜A的后面，都不能再继续成像。与镜面所成的夹角30°是成像数2和3的分界角，再次称为临界角。

图2 夹角270°的成像区域分布图

图3 夹角180°的成像区域分布图

图4 夹角150°的成像区域分布图

图5 夹角100°的成像区域分布图

图6 夹角90°的成像区域分布图

图7 夹角80°的成像区域分布图

图8 夹角72°的成像区域分布图

图9 夹角65°的成像区域分布图

图10 夹角60°的成像区域分布图

2.结论

把平面镜夹角从360°到60°逐渐减小的过程填入表1中。根据图1～图10和表1，可以得出，两平面镜成像的区域分布具有周期性。从180°到90°与90°到60°的成像数区域分布规律是一样的。可以得出任意角度时，像的个数、成像数的分布和临界角大小的规律，见表1后5行，证明过程与图1～图10类似，限于篇幅证明从略。

表1 不同角度成像情况统计表

三、讨论

下面利用表1对常见的观点以及有代表性的研究进行讨论。

1.角度一定时，大多情况下成像数与物体的位置有关

在两平面镜成像问题上，一般直觉认为只要平面镜夹角固定，物体的成像数与物体在两平面镜间的位置无关；即使有关，也只是个别情况。从表1看出，大部分条件下，平面镜夹角一定时，物体的成像个数有两个。当n为偶数时，物体所在的位置与成像的个数无关，物体在两平面镜间任何位置的成像个数都是一样的，且最后两个像是重合的。其余情况下，在角度一定时，物体在平面镜中所成的像数都为两个连续的整数。

2.公式360/θ-1

成像数为360/θ-1是在职前中学物理教师和一线中学物理教师中较流行的观点。从上面分析可以看出，此结论仅在当n为偶数时成立。这时物体在两平面镜中所成的最后两个像重合，成像数与物体的位置有关。当n为奇数时，只有当物体在两平面镜夹角的角平分线上时，符合此规律。当n不是整数，或n为奇数但物体不在角平分线上时，物体在不同位置所成的像数不同，公式360/θ-1不再成立。

3.动态现象描述

当n为偶数时，有两个像重合；角度减小，两个重合的像分开，在邻镜区域的物体所成的像进入另一镜子的前面，成像数增加，这时中央区域的像数少于邻镜区域的像数；当角度减小到n为奇数时，中央区域缩小为角平分线，角平分线上的物体所成的像仍小于其他区域，角平分线上物体的两个像点刚好在两镜面的延长线上；当角度再减小时，在镜子延长线上的像点移到镜子的前面，在中央区域的像数增加两个，中央区域的总像数大于邻镜区域的像数；再随着角度的减少，中央区域逐渐变大，在n为偶数时，两像重合。如果保持物体始终在角平分线上，成像数始终为偶数；当n为奇数，角度稍减小时，在镜子延长线上的两个像点同时成像，像数增加2个。