四阶方程的有理Legendre 函数全对角化谱方法

李 珊，栗巧玲

（上海理工大学 理学院，上海 200093）

1 问题提出

谱方法是一种古老的数值方法，广泛应用于数学物理和流体力学等理论研究中[1-2]。谱方法最吸引人的地方是它的“谱精度”，它的收敛性只与所逼近问题的光滑性有关，所求问题的解越光滑，收敛率越高。但是对于奇异问题以及无界区域问题，谱方法有时会出现不稳定的现象，可能会造成精度的损失。由于科学和工程中的微分方程常常设定在无界区域上，如何准确、高效地解决这些问题是一个非常重要的课题。近几十年，谱方法在无界区域上得到了迅速的发展，关于这一研究课题的大量文献也已经出现[3-4]，意味着谱方法的研究取得了进展和突破。

针对无界区域上的问题，通常采用的第一种方法是人工边界法；第二种方法是使用正交多项式相关的谱逼近，例如Laguerre 多项式和Hermite多项式；第三类方法是变量变换法，即将无界区域问题变换成有界区域上的奇异问题，再利用Jacobi谱方法等方法进行数值求解；第四种方法是有理谱方法[4-7]。前3 种方法已相对成熟，但由于其各自的局限性，使得第四种方法在近年快速发展起来。

众所周知，Fourier 函数是Laplace 算子[8]的特征函数，它具有很好的正交性，这个特性使得Fourier 谱方法在求解周期边值问题时形成了对角化的代数系统。同时，对于非周期边值问题通常采用Legendre 谱方法。然而，与高度稀疏（例如三对角线，五对角线）和条件数良好的正交多项式函数的代数系统相比，仍然希望得到一组完全对角化的Fourier 型的基函数，由此建立Fourier 型的Sobolev 正交多项式的基函数。本文的主要目的是实现半直线域上的四阶微分方程的有理Legendre谱方法的全对角化，构造Fourier 型的Sobolev 正交多项式基函数[9-10]，将原问题的真解展开成Fourier级数，同时将数值解表示成级数的截断形式，通过数值算例可以看出该算法的可行性以及高精度性。

2 预备知识

2.1 Legendre 多项式

首先回顾一下Legendre 多项式。令I=(-1,1)，Lk(y)是指数为 k次的Legendre 多项式，且是奇异的Sturm-Liouville 问题的特征函数：

其中， δk,l是 Kronecker 符号。Legendre 多项式满足如下递推式：

这里k ≥1，且Lk(±1)=(±1)k，∂yLk(±1)=(±1)k-1·。

2.2 Legendre 有理函数

其次回顾一下修正的Legendre 有理函数。令Λ=(0,∞)，( u,v) 是L2(Λ)空间的内积。

定义1[8]记Rk(x) 为k 次Legendre 有理函数，满足

为了方便起见， k＜0时， Rk(x)≡0。

Legendre 有理函数满足如下递推式：

且具有正交性：

因此，Legendre 有理函数展开式为

为了方便起见，可以用下列符号表示：

引理1 对 k≥0，有如下等式成立

证明 首先用数学归纳法来验证式（10），由定义1 可知

当 k =0,1,2 时 ，式 （10）成立。假设 k≤n 时，式（10）成立，只需验证k=n+1时式（10）成立即可。由式（7）可知

和

则

因此，由以上计算和归纳假设直接可计算得到k=n+1的结果，由式（10）可以很容易推导出式（11）的结果，即证。

引理2 对 k≥0，有

证明 由式（10）知，当 k≥2时，有

根据式（10）和式（11），当 k≥3, 则

所以对于 k≥3可直接得到结果。因此，对于0 ≤k ≤3, 由式（10）和式（11）很容易验证符合式（13），即证。

3 四阶Dirichlet 边值问题

本节主要研究四阶Dirichlet 边值问题的全对角化的有理Legendre 谱方法，构造相应的Fourier型Sobolev 正交基函数，使得方程的真解和数值解应展开成Fourier 级数的形式。考虑如下的四阶Dirichlet 边值问题：

显然，若f ∈(H2(Λ))′，由Lax-Milgram 引理可知，式（15）就存在唯一解。

Legendre 有理谱方法是寻找到uN∈RN(Λ)，使得

为了对式（16）提出一种完全对角化逼近格式， 需要在RN(Λ)中构造一组新的基函数，这组基函数与Sobolev 内积是相互正交的。

那么，可以得到如下递推关系：

其中，Pk(x)≡0(k ＜0)，σk=0(k ＜0)，ak=0(k ＜1),bk=0(k ＜2)，ck=0(k ＜3)，dk=0(k ＜4)，ek=0(k ＜5)，fk=0(k ＜6)，记：

证明 首先用数学归纳法验证式（14），由正交性有

根据式（12），（13）和（15），可以得到

进一步，可以假设，当1≤m ≤k-1和k＞7时，

接下来，只需要证明，当k ≥7

事实上，由式（12），（13）和（15），当k ＞m ≥0,k ≥7，则

取m=k-1, k-2, k-3, k-4, k-5, k-6，可以得到结论 b～g。

接下来计算常数 σk， 由式（12），（13），（15）和（17），当 k≥7时，有

另一方面

由此可以得到结论a，即证。

4 数值实验

在这一节中针对对角化Legendre 有理谱方法在半直线上求解椭圆型方程的有效性和精确度进行了检验。并考察了四阶方程（14）在μ=1, λ=1时测试函数具有不同衰减速度时的收敛性。

图 1 指数衰减时谱格式（16）的误差Fig.1 Errors of scheme (16) with exponential decay function

图 2 代数衰减时谱格式（16）的误差Fig.2 Errors of scheme (16) with algebraic decay function